توصیه من این است که برای نقطه توپر و توخالی استایلهای جداگانهای تعریف کنید و هر یک را در مکان مناسب قرار دهید.
\tikzstyle{soliddot}=[color=blue,only marks,mark=*]
\tikzstyle{hollowdot}=[color=blue,fill=white,only marks,mark=*]
کد کامل
\documentclass{article}
\usepackage{pgfplots}
\tikzstyle{soliddot}=[color=blue,only marks,mark=*]
\tikzstyle{hollowdot}=[color=blue,fill=white,only marks,mark=*]
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis equal image,
axis x line=middle, axis y line=middle,
xmin=-1.2, xmax=2.2,
ymin=-0.2, ymax=1.2,
xtick={-1,1,2}, ytick={1},
xticklabels={}, yticklabels={},
every axis x label/.style={
at={(ticklabel* cs:1)},
anchor=west,
},
every axis y label/.style={
at={(ticklabel* cs:1)},
anchor=south,
},
xlabel={$x$}, ylabel={$y$},
]
\addplot[blue,very thick,domain=-1:0]{1};
\addplot[blue,very thick,domain=0:1]{0};
\addplot[blue,very thick,domain=1:2]{1};
\addplot[soliddot]coordinates{(-1,1)(0,0)(1,1)};
\addplot[hollowdot]coordinates{(0,1)(1,0)(2,1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}