\documentclass[11pt,a4paper]{article} % استفاده از بسته‌ی زیر الزامی نیست ولی با استفاده از آن می‌توانید لینکهای رنگی به مراجع خود داشته باشید. ّ \usepackage[colorlinks,citecolor=blue]{hyperref} \usepackage{xepersian} \settextfont{XB Zar} \setlatintextfont[Scale=1]{Linux Libertine} \newtheorem{Theorem}{قضیه}{} \newtheorem{Definition}{تعریف}[section] \newtheorem{Corollary}{نتیجه}[section] \newtheorem{Lemma}{لم}[section] \newtheorem{Proof}{اثبات}[section] \newtheorem{Proposition}{گزاره}[section] \newtheorem{Example}{مثال}[section] \newtheorem{Remark}{تبصره}[section] \def\NZQ{\mathbb} % the font for N,Z,Q,R,C \def\NN{{\NZQ N}} \def\QQ{{\NZQ Q}} \def\ZZ{{\NZQ Z}} \def\RR{{\NZQ R}} \def\CC{{\NZQ C}} \def\AA{{\NZQ A}} \def\PP{{\NZQ P}} \def\DD{{\NZQ D}} \def\FF{{\NZQ F}} \def\GG{{\NZQ G}} \def\HH{{\NZQ H}} \def\EE{{\NZQ E}} \def\KK{{\NZQ K}} \def\MM{{\NZQ M}} % %------------------------------------------------ % Symbols in "Fraktur" % \def\frk{\mathfrak} % font for "Fraktur" \def\aa{{\frk a}} \def\pp{{\frk p}} \def\Pp{{\frk P}} \def\qq{{\frk q}} \def\Qq{{\frk Q}} \def\mm{{\frk m}} \def\Mm{{\frk M}} \def\nn{{\frk n}} %\def\Phi{{\frk n}} %\def\Phi{{\frk N}} % %------------------------------------------------ \def\MI{{\mathcal I}} \def\MJ{{\mathcal J}} \def\ML{{\mathcal L}} \def\MR{{\mathcal R}} \def\Ic{{\mathcal I}} \def\Jc{{\mathcal J}} \def\Lc{{\mathcal L}} \def\G{{\mathcal G}} \def\F{{\mathcal F}} \def\C{{\mathcal C}} \def\D{{\mathcal D}} \def\B{{\mathcal B}} \def\P{{\mathcal P}} \def\Ac{{\mathcal A}} \def\S{{\mathcal S}} \def\Mc{{\mathcal M}} \def\Hc{{\mathcal H}} % Small letters in bold % \def\ab{{\mathbf a}} \def\bb{{\mathbf b}} \def\xb{{\mathbf x}} \def\yb{{\mathbf y}} \def\zb{{\mathbf z}} \def\cb{{\mathbf c}} \def\db{{\mathbf d}} \def\eb{{\mathbf e}} \def\ab{{\mathbf a}} \def\fb{{\mathbf f}} \def\wb{{\mathbf w}} \def\Soc{{\mathbf Soc}} % \def\opn#1#2{\def#1{\operatorname{#2}}} % to make operators %------------------------------------------------ % Numerical invariants of rings, ideals, and modules % \opn\chara{char} \opn\length{\ell} \opn\pd{pd} \opn\rk{rk} \opn\projdim{proj\,dim} \opn\injdim{inj\,dim} \opn\rank{rank} \opn\depth{depth} \opn\grade{grade} \opn\height{height} \opn\embdim{emb\,dim} \opn\codim{codim} \def\OO{{\mathcal O}} \opn\Tr{Tr} \opn\bigrank{big\,rank} \opn\superheight{superheight}\opn\lcm{lcm} \opn\trdeg{tr\,deg}%\emph{ \opn\reg{reg} \opn\lreg{lreg} \opn\ini{in} \opn\lpd{lpd} \opn\size{size} \opn\sdepth{sdepth} \opn\link{link}\opn\fdepth{fdepth}\opn\lex{lex} \opn\tr{tr} \opn\type{type} \opn\gap{gap} \opn\arithdeg{arith-deg} \opn\Deg{Deg} \opn\sat{sat} %------------------------------------------------ % Divisors % \opn\div{div} \opn\Div{Div} \opn\cl{cl} \opn\Cl{Cl} % %------------------------------------------------ % Subsets of the spectrum of a ring % \opn\Spec{Spec} \opn\Supp{Supp} \opn\supp{supp} \opn\Sing{Sing} \opn\Ass{Ass} \opn\Min{Min}\opn\Mon{Mon} % %------------------------------------------------ % Standard operations on ideals and modules % \opn\Ann{Ann} \opn\Rad{Rad} \opn\Soc{Soc} % %------------------------------------------------ % Linear algebra and homology, endo- and automorphisms % \opn\Im{Im} \opn\Ker{Ker} \opn\Coker{Coker} \opn\Am{Am} \opn\Hom{Hom} \opn\Tor{Tor} \opn\Ext{Ext} \opn\End{End} \opn\Aut{Aut} \opn\id{id} \def\Frob{{\mathcal F}} \opn\nat{nat} \opn\pff{pf}% \pf exists already \opn\Pf{Pf} \opn\GL{GL} \opn\SL{SL} \opn\mod{mod} \opn\ord{ord} \opn\Gin{Gin} \opn\Hilb{Hilb}\opn\sort{sort} \opn\PF{PF}\opn\Ap{Ap} \opn\mult{mult} \opn\bight{bight} % %------------------------------------------------ % Convexity % \opn\aff{aff} \opn\relint{relint} \opn\st{st} \opn\lk{lk} \opn\cn{cn} \opn\core{core} \opn\vol{vol} \opn\inp{inp} \opn\nilpot{nilpot} \opn\link{link} \opn\star{star}\opn\lex{lex}\opn\set{set} \opn\width{wd} \opn\Fr{F} \opn\QF{QF} \opn\G{G} \opn\type{type}\opn\res{res} \opn\conv{conv} \opn\Shad{Shad} %------------------------------------------------ % Graded rings and Rees algebras \opn\gr{gr} \def\Rees{{\mathcal R}} \def\NZQ{\Bbb} % the font for N,Z,Q,R,C \def\NN{{\NZQ N}} \def\QQ{{\NZQ Q}} \def\ZZ{{\NZQ Z}} \def\RR{{\NZQ R}} \def\CC{{\NZQ C}} \def\AA{{\NZQ A}} \def\BB{{\NZQ B}} \def\PP{{\NZQ P}} \def\FF{{\NZQ F}} \def\GG{{\NZQ G}} \def\HH{{\NZQ H}} % %------------------------------------------------ % Symbols in "Fraktur" % \def\frk{\frak} % font for "Fraktur" \def\aa{{\frk a}} \def\pp{{\frk p}} \def\Pp{{\frk P}} \def\qq{{\frk q}} \def\Qq{{\frk Q}} \def\mm{{\frk m}} \def\Mm{{\frk M}} \def\Phi{{\frk n}} \def\Phi{{\frk N}} % %------------------------------------------------ % Small letters in bold % \def\ab{{\bold a}} \def\bb{{\bold b}} \def\xb{{\bold x}} \def\yb{{\bold y}} \def\zb{{\bold z}} \def\cb{{\bold c}} \def\eb{{\bold e}} \def\mb{{\bold m}} \def\pb{{\bold p}} \def\fb{{\bold f}} \def\MR{{\bold R}} % \def\opn#1#2{\def#1{\operatorname{#2}}} % to make operators %------------------------------------------------ % Numerical invariants of rings, ideals, and modules % \opn\chara{char} \opn\length{\ell} \opn\pd{pd} \opn\rk{rk} \opn\projdim{proj\,dim} \opn\injdim{inj\,dim} \opn\rank{rank} \opn\depth{depth} \opn\grade{grade} \opn\height{height} \opn\embdim{emb\,dim} \opn\codim{codim} \def\OO{{\mathcal O}} \opn\Tr{Tr} \opn\bigrank{big\,rank} \opn\superheight{superheight}\opn\lcm{lcm} \opn\trdeg{tr\,deg}%\emph{ \opn\reg{reg} \opn\lreg{lreg} \opn\ini{in} \opn\lpd{lpd} \opn\lc{lc} \opn\lcm{lcm} \opn\dlex{dlex} \opn\sign{Sign} \opn\lex{lex} \opn\rev{rev} \opn\size{size} \opn\type{type} \opn\Ap{Ap} %------------------------------------------------ % Divisors % \opn\div{div} \opn\Div{Div} \opn\cl{cl} \opn\Cl{Cl} \opn\Prin{Prin} % %------------------------------------------------ % Subsets of the spectrum of a ring % \opn\Spec{Spec} \opn\Supp{Supp} \opn\supp{supp} \opn\Sing{Sing} \opn\Ass{Ass} \opn\Min{Min} % %------------------------------------------------ % Standard operations on ideals and modules % \opn\Ann{Ann} \opn\Rad{Rad} \opn\Soc{Soc} % %------------------------------------------------ % Linear algebra and homology, endo- and automorphisms % \opn\Im{Im} \opn\Ker{Ker} \opn\Coker{Coker} \opn\Am{Am} \opn\Hom{Hom} \opn\Tor{Tor} \opn\Ext{Ext} \opn\End{End} \opn\Aut{Aut} \opn\id{id} \def\Frob{{\mathcal F}} \def\mC{{\mathfrak m}} \opn\nat{nat} \opn\sat{sat} \opn\ann{ann} \opn\rad{rad} \opn\pff{pf}% \pf exists already \opn\Pf{Pf} \opn\GL{GL} \opn\SL{SL} \opn\mod{mod} \opn\ord{ord} \opn\gin{gin} \opn\Hilb{Hilb}\opn\sdepth{sdepth}\opn\Mon{Mon} \opn\H{H} \opn\Z{Z} \opn\divs{divs} \opn\soc{Soc} % %------------------------------------------------ % Convexity % \opn\aff{aff} \opn\con{conv} \opn\relint{relint} \opn\st{st} \opn\lk{lk} \opn\cn{cn} \opn\core{core} \opn\vol{vol} \opn\link{link} \opn\star{star} %------------------------------------------------ % Graded rings and Rees algebras \opn\gr{gr} \def\Rees{{\mathcal R}} % %Tonys commands \def\Ac{{\mathcal A}} \def\Bc{{\mathcal B}} \def\Sc{{\mathcal S}} \def\Ic{{\mathcal I}} \def\Gc{{\mathcal G}} \def\Lc{{\mathcal L}} \def\Fc{{\mathcal F}} \def\Cc{{\mathcal C}} \def\Ec{{\mathcal E}} \def\Qc{{\mathcal Q}} \def\Rc{{\mathcal R}} \def\Mc{{\mathcal M}} \def\Pc{{\mathcal P}} % %------------------------------------------------ % Polynomials and power series % \def\poly#1#2#3{#1[#2_1,\dots,#2_{#3}]} \def\pot#1#2{#1[\kern-0.28ex[#2]\kern-0.28ex]} \def\Pot#1#2#3{\pot{#1}{#2_1,\dots,#2_{#3}}} \def\konv#1#2{#1\langle #2\rangle} \def\Konv#1#2#3{\konv{#1}{#2_1,\dots,#2_{#3}}} % %------------------------------------------------ % Direct and inverse limits % \opn\dirlim{\underrightarrow{\lim}} \opn\inivlim{\underleftarrow{\lim}} % % % Names with a meaning % \let\union=\cup \let\sect=\cap \let\dirsum=\oplus \let\tensor=\otimes \let\iso=\cong \let\Union=\bigcup \let\Sect=\bigcap \let\Dirsum=\bigoplus \let\Tensor=\bigotimes % %------------------------------------------------ % \let\to=\rightarrow \let\To=\longrightarrow \def\Implies{\ifmmode\Longrightarrow \else \unskip${}\Longrightarrow{}$\ignorespaces\fi} \def\implies{\ifmmode\Rightarrow \else \unskip${}\Rightarrow{}$\ignorespaces\fi} \def\iff{\ifmmode\Longleftrightarrow \else \unskip${}\Longleftrightarrow{}$\ignorespaces\fi} \let\gets=\leftarrow \let\Gets=\longleftarrow \let\followsfrom=\Leftarrow \let\Followsfrom=\Longleftarrow \let\:=\colon % % % \input{amssym} \font\dsrom=dsrom10 \def\mathfrak#1{\frak{#1}} \def\mathbf#1{\hbox{\bfrom#1}} % % % \newtheorem{Theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{Lemma}[Theorem]{Lemma} \newtheorem{Corollary}[Theorem]{Corollary} \newtheorem{Proposition}[Theorem]{Proposition} \newtheorem{Remark}[Theorem]{Remark} \newtheorem{Remarks}[Theorem]{Remarks} \newtheorem{Example}[Theorem]{Example} \newtheorem{Notation}[Theorem]{Notation} \newtheorem{Examples}[Theorem]{Examples} \newtheorem{Claim}[Theorem]{Claim} \newtheorem{Definition}[Theorem]{Definition} \newtheorem{Problem}[Theorem]{} \newtheorem{Conjecture}[Theorem]{Conjecture} \newtheorem{Question}[Theorem]{Question} % % We like the var forms of some greek letters (as taught in German schools) % \let\epsilon\varepsilon \let\phi=\varphi \let\kappa=\varkappa % % We print on A4 paper % \textwidth=15cm \textheight=22cm \topmargin=0.5cm \oddsidemargin=1.5cm \evensidemargin=0.5cm \pagestyle{plain} % % The pf environment of AMSART needs a little help \def\qed{\ifhmode\textqed\fi \ifmmode\ifinner\quad\qedsymbol\else\dispqed\fi\fi} \def\textqed{\unskip\nobreak\penalty50 \hskip2em\hbox{}\nobreak\hfil\qedsymbol \parfillskip=0pt \finalhyphendemerits=0} \def\dispqed{\rlap{\qquad\qedsymbol}} \def\noqed{\def\qed{\relax}} % % ------ END OF GENERAL MACROS ------- \opn\dis{dis} \def\pnt{{\raise0.5mm\hbox{\large\bf.}}} \def\lpnt{{\hbox{\large\bf.}}} \opn\Lex{Lex} \def\homgr{{^{*}\hbox{\rm Hom}}} \settextfont[BoldItalicFont={XB Zar Bold Italic},ItalicFont={XB Zar Italic},Scale=1.15,HyphenChar="002D]{XB Zar}%این خط حذف شود \linespread{1.6} \begin{document} \thispagestyle{empty} $$\vspace{-55mm}$$ \begin{center} \begin{figure}[h!] \centering includegraphics[width=0.20\textwidth]{logo} \end{figure} %\includegraphics[width=0.20\textwidth]{armjpg}\\[0mm] \text{\large دانشکده علوم ریاضی}{\rl{ }}\\ \vspace{2.5cm} $$\vspace{-35mm}$$ \text{\large چکیده مبسوط رساله دکتری}{\rl{}}\\[15mm] %\begin{LARGE} \settextfont[Scale=1.5]{XB Yas} \settextfont[Scale=1]{XB Yas} \text{\large عنوان:}\\ \begin{Huge} \textbf{\rl{ تعداد مولدهای مینیمال و عدد اشباع توان\mbox{}های ایده\mbox{}آل\mbox{}های تک\mbox{}جمله\mbox{}ای \\ }}\\ \end{Huge} \settextfont[Scale=1]{XB Yas} \text{\large دانشجو:}\\ \textbf{\large رضا عبدالملکی}\\ \vspace{0.5cm} \text{\large استاد راهنما:}\\ \textbf{\large دکتر رشید زارع نهندی}\\ \text{\large استاد مشاور:}\\ \textbf{\large پروفسور یورگن هرزوگ}\\ \vspace{1.5cm} \text{تیرماه 1399} \end{center} \newpage \begin{document} \section{ مقدمه} مفهوم ایده\mbox{}آل یکی از مهمترین مفاهیم در جبر جابجایی، هندسه جبری و نظریه اعداد است. به عنوان مثال در هندسه\mbox{}ی جبری، اگر $K$ یک میدان جبری بسته و $V \subset \AA^n(K)$ یک واریته\mbox{}ی آفین باشد، آن\mbox{}گاه مجموعه چندجمله\mbox{}ای\mbox{}هایی که روی $V$ صفر می\mbox{}شوند، تشکیل یک ایده\mbox{}آل می\mbox{}دهند (برای اطلاعات بیشتر می\mbox{}توان به مراجع \cite{GW}, \cite{Hart} مراجعه کرد). همچنین در نظریه\mbox{}ی اعداد، به منظور یکپارچه سازی نظریه، عناصر اول با ایده\mbox{}آل\mbox{}های اول جایگزین می\mbox{}شوند (برای اطلاعات بیشتر می\mbox{}توان به مرجع \cite{La} مراجعه کرد). یک عامل مهم در راستای شناخت و رده\mbox{}بندی ایده\mbox{}آل\mbox{}ها، آگاهی از تعداد مولدهای آن\mbox{}هاست. در مورد حلقه\mbox{}های موضعی و $K$-جبرهای مدرج، بنا به لم ناکایاما، همه\mbox{}ی مجموعه\mbox{}های مولد مینیمال یک ایده\mbox{}آل، دارای عدد اصلی یکسان هستند. تعیین دقیق تعداد مولدهای مینیمال ایده\mbox{}آل\mbox{}ها و یا دست کم، بدست آوردن کران\mbox{}هایی برای آن\mbox{}ها کاملا دشوار و از جمله موضوعاتی است که همواره مورد توجه ریاضیدانان قرار گرفته است. در سال\mbox{}های اخیر کارهای تحقیقاتی زیادی روی خواص جبری و همولوژیکی توان\mbox{}های ایده\mbox{}آل\mbox{}های مدرج در حلقه\mbox{}ی چندجمله\mbox{}ای\mbox{}های $S=K[x_1,\ldots,x_n]$ روی میدان $K$ انجام شده است. در حالت کلی، بسیاری از ناورداهای شناخته شده، از این حیث خوش\mbox{}رفتار هستند. بدین معنی که برای توان\mbox{}های به اندازه کافی بزرگ، پایاهستند و یا رفتار منظم از خود نشان می\mbox{}دهند. مثال\mbox{}های کلاسیک از این ویژگی، نتایج بردمن (مراجع \cite{B1} و \cite{B2}) هستند که نشان می\mbox{}دهند $\depth S/I^k$ برای $k\gg 0$ ثابت است و $\Ass(I^{k+1})=\Ass(I^k)$ برای $.k\gg 0$ همچنین، نتایج کاتکوسکی، هرزوگ و چونگ (مرجع \cite{CHT}) و نیز نتیجه کدیالام (مرجع\cite{K2} ) نشان می\mbox{}دهند که $\reg (I^k)$ برای $k\gg 0$ یک تابع خطی است. نتیجه\mbox{}ی دیگری از کدیالام (مرجع \cite{K1} ) نشان می\mbox{}دهد که برای ایده\mbox{}آل $I$ در یک حلقه\mbox{}ی نوتری موضعی یا ایده\mbox{}آل مدرج $I$ در یک حلقه\mbox{}ی چندجمله\mbox{}ای\mbox{}، $i$-امین عدد بتی\footnote{\lr{Betti number}} برای $I^k$، یعنی $\beta_{i}(I^k)$، به\mbox{}ازای مقادیر بزرگ $k$ یک چندجمله\mbox{}ای است. دانستن چگونگی رفتار $\beta_{i}(I^k)$ برای مقادیر کوچک $k$ آسان نیست. در این پایان\mbox{}نامه به مطالعه\mbox{}ی رفتار توان\mbox{}های ایده\mbox{}آل\mbox{}ها برای دو ناوردای مختلف می\mbox{}پردازیم. ابتدا به مطالعه\mbox{}ی رفتار آغازین تعداد مولدهای مینیمال توان\mbox{}های کلاس\mbox{}هایی ازایده\mbox{}آل\mbox{}های تک\mbox{}جمله\mbox{}ای می پردازیم (یعنی مطالعه\mbox{}ی $\mu (I^k)=\beta_{0}(I^k)$). سپس برای کلاس\mbox{}هایی از ایده\mbox{}های تک\mbox{}جمله\mbox{}ای، عدد اشباع\footnote{\lr{saturation number}} توان\mbox{}ها، یعنی $\sat(I^k)$ را مورد بررسی قرار می\mbox{}دهیم. در ادامه به جزئیات بیشتری در این خصوص می\mbox{}پردازیم. در سال 1974، جودیث سالی\footnote{\lr{Judith Sally}} از یورگن هرزوگ\footnote{\lr{J\"urgen Herzog}} سؤال کرد که آیا یک دامنه\mbox{}ی موضعی یک-بعدی وجود دارد که توان دوم ایده\mbox{}آل ماکسیمال آن کمتر از خود ایده\mbox{}آل ماکسیمال مولد داشته باشد. چنین مثالی در مرجع \cite{HW} توسط هرزوگ و والدی ارائه شده است. بعدها، مثال\mbox{}های بیشتری توسط دیگر محققان ارائه شد. از سوی دیگر، در یک حلقه\mbox{}ی چندجمله\mbox{}ای، تعداد مولدهای یک ایده\mbox{}آل $I$ که از یک درجه تولید شده است (یعنی مولدهای مینیمال آن هم\mbox{}درجه هستند)، همواره صعودی است و در حالتی که ایده\mbox{}آل مورد نظر تک\mbox{}جمله\mbox{}ای و از یک درجه تولید شده باشد، یک کران پایین کلی برای $\mu (I^k)$ بر اساس قضیه\mbox{}ی فریمن\footnote{\lr{Freiman}} ارائه شده است (مراجعه شود به \cite{HHZ} و \cite{HMZ} ). اما در حالتی که ایده\mbox{}آل $I$ از یک درجه تولید نشده باشد، ممکن است $I^2$ کمتر از $I$ مولد داشته باشد. برای ایده\mbox{}آل\mbox{}های تک\mbox{}جمله از دو متغیر، یک کران پایین دقیق برای $\mu (I^2)$ در \cite{E1} ارائه شده است. همچنین گازانووا (در مرجع \cite{Ga} ) مثال\mbox{}هایی از ایده\mbox{}آل\mbox{}های $I$ ارائه داده است با این ویژگی که برای هر عدد داده شده $k$، داریم $\mu(I^k)<\mu(I)$. مسأله\mbox{}ی اصلی این است که رفتار آغازین تابع $f_I(k)=\mu(I^k)$ برای یک ایده\mbox{}آل تک\mbox{}جمله\mbox{}ای $I$، تا چه اندازه می تواند غیرمنتظره باشد. البته $f_I(k)$ برای $k\gg 0$ یک تابع چندجمله\mbox{}ای است، چرا که همان تابع هیلبرت مخروط تاری $I$ است. به\mbox{}عنوان نتیجه\mbox{}ی اصلی فصل دوم پایان\mbox{}نامه، خانواده\mbox{}ای از ایده\mbox{}آل\mbox{}های تک\mbox{}جمله\mbox{}ای $I$ معرفی می کنیم با این ویژگی که تعداد ماکسیمم\mbox{}های (مینیمم\mbox{}های) موضعی تابع $f_I(k)$ از هر تعداد دلخواه، تجاوز کند. در بخش 1.2 از پایان نامه، ایده\mbox{}آل\mbox{}های اساسی ساختارمان را که ایده\mbox{}آل\mbox{}هایی از ارتفاع $n$ در حلقه\mbox{}ی $ S=[x_1,\ldots,x_n]$ و به شکل $J=(x_1^{am},\ldots,x_n^{am})(x_1^m,\ldots,x_n^m)$ هستند، معرفی می کنیم. برای این ایده\mbox{}آل\mbox{}ها که با پارامترهای $a$ , $m$ معین می\mbox{}شوند، $s(J^k)$ (\lr{The socle degree of $I$}) و $\mu(J^k)$ را برای هر $k \geq 1$ محاسبه می\mbox{}کنیم. در بخش 2.2، به بررسی ایده\mbox{}آل\mbox{}های اساسی اصلاح\mbox{}شده\mbox{}ی $I$ می\mbox{}پردازیم که از اضافه کردن توان $c$-ام ایده\mbox{}آل ماکسیمال، به $J$ به\mbox{}دست می\mbox{}آیند که درآن $c\leq s(J)$ و از کوچکترین درجه\mbox{}ی $J$ بزرگتر است. برای این ایده\mbox{}آل\mbox{}ها که به پارامترهای $a$، $m$ و $c$ بستگی دارند (برای $n$ ثابت)، $\mu(I^k)$ را که فرمول پیچیده\mbox{}ای دارد، محاسبه می\mbox{}کنیم. البته این فرمول در حالت $n=2$ چندان پیچیده نیست. در بخش 3.2 (پایان فصل 2)، نتایج بخش\mbox{}های پیشین را برای بدست آوردن ایده\mbox{}آل\mbox{}هایی با حداقل تعداد ماکسیمم\mbox{}های (مینیمم\mbox{}های) نسبی دلخواه، به\mbox{}کار می\mbox{}بندیم. در حلقه\mbox{}ی چندجمله\mbox{}ای\mbox{}های دومتغیره، ایده\mbox{}آل\mbox{}های اساسی اصلاح شده را با پارامترهای $a, m\geq 3$ و $c=s(J)-(a-2)m+1$ با $I_{a,m}$ نشان می\mbox{}دهیم. برای مقادیر مناسب $a$ و $m$، می\mbox{}توان دید که $f(k)=\mu(I_{a,m}^k)$ از یک توان معین به بعد، اکیدا" و به تعداد مرتبه دلخواه، نزول می\mbox{}کند. همچنین، پارامترها می\mbox{}توانند به\mbox{}گونه\mbox{}ای انتخاب شوند که برای هر عدد صحیح نامنفی داده شده\mbox{}ی $b$، تابع $f(k)=\mu (I^k)$ در $k=b$ ماکسیمم (مینیمم) داشته باشد. در نهایت، فرض می\mbox{}کنیم $l\geq 1$ و برای هر $j=1,\ldots,l$، ایده\mbox{}آل $I_{a_j,m_j}\in K[x_j,y_j]$ در نظر می\mbox{}گیریم و فرض می\mbox{}کنیم $I\subset K[x_1,\ldots,x_l,y_1,\ldots,y_l]$ ایده\mbox{}آل $I_{a_1,m_1}\cdots I_{a_l,m_l}$ باشد. توان\mbox{}های چنین ایده\mbox{}آل\mbox{}هایی می\mbox{}توانند بیشتر از هر تعداد دلخواه ماکسیمم داشته باشند. به طور دقیق\mbox{}تر، با در نظر گرفتن $a_j=ja$ و $a_j=ja$ برای هر $j$، نشان می\mbox{}دهیم برای هر عدد صحیح مثبت داده شده $q$، پارامترهای $a$ و $l$ را می\mbox{}توان به گونه\mbox{}ای انتخاب کرد که $f(k)=\mu (I^k)$ حداقل $q$ ماکسیمم داشته باشد. فصل سوم پایان\mbox{}نامه نیز به موضوع تعداد مولدهای مینیمال توان\mbox{}های ایده\mbox{}آل\mbox{}ها اختصاص دارد. در بخش 1.3 کلاس\mbox{}هایی از ایده\mbox{}آل\mbox{}های تک\mbox{}جمله\mbox{}ای دومتغیره\mbox{}ی $I$ معرفی می\mbox{}کنیم با این ویژگی که تابع $f(k)=\mu (I^k)$ به هر تعداد مرحله\mbox{}ی دلخواه، نزول می\mbox{}کند. به\mbox{}طور دقیق\mbox{}تر، نشان می\mbox{}دهیم برای هر عدد داده شده\mbox{}ی $r$، ایده\mbox{}آل تک\mbox{}جمله\mbox{}ای $I$ وجود دارد به\mbox{}طوری\mbox{}که $\mu(I)>\mu(I^2)>\cdots >\mu(I^r)$. بخش 2.3 به یافتن کران\mbox{}هایی برای تعداد مولدهای مینیمال توان\mbox{}های چند کلاس ویژه از ایده\mbox{}آل\mbox{}های تک\mbox{}جمله\mbox{}ای اختصاص یافته است. در فصل چهارم به مطالعه\mbox{}ی $Soc(I)$ و $\sat(I)$ برای کلاس\mbox{}های معینی از ایده\mbox{}آل\mbox{}های تک\mbox{}جمله\mbox{}ای و توان\mbox{}های آن\mbox{}ها می\mbox{}پردازیم. اخیراً در \cite{HKM} نشان داده شده است که اگر همه\mbox{}ی توان\mbox{}های ایده\mbox{}آل $I$ تحلیل خطی داشته باشند، آن\mbox{}گاه برای $k\gg 0$، تابع $\sat(I^k)$ یک تابع شبه-خطی است. در اینجا، منظور از $\sat(I)$، عدد اشباع ایده\mbox{}آل $I$ است که در واقع کوچک\mbox{}ترین عدد $\ell$ است که به ازای آن داشته باشیم $I:\mm^{\ell+1}=I:\mm^\ell$ که در آن $\mm=(x_1,\ldots, x_n)$ ایده\mbox{}آل مدرج ماکسیمال حلقه\mbox{}ی $S$ است. چنین ایده\mbox{}آلی موجود است، زیرا حلقه\mbox{}ی $ُS$ نوتری است و داریم $I\subseteq I:\mm \subset I:\mm^2\subseteq\ldots $. ایده\mbox{}آل $I^{\sat}=\Union_{\ell\geq 0}(I:\mm^\ell)$ اشباع $I$ نامیده می\mbox{}شود. در واقع $\sat(I)$ بیان می\mbox{}کند که چند مرحله تا رسیدن به $I^{\sat}$ نیاز است. برای ایده\mbox{}آل\mbox{}های قویاً پایا\footnote{\lr{strongly stable}}، نشان می\mbox{}دهیم که \lr{ $\sat(I)=\max\{\ell\:\; x_n^\ell|u, \hspace{2mm} G(I) \hspace{2mm} $\text{\rl{ برای $u$ای در}}$\}$ } که در آن $G(I)$ نشان\mbox{}دهنده\mbox{}ی مجموعه\mbox{}ی منحصربفرد مولدهای مینیمال $I$ است. از این نتیجه می\mbox{}توان استنتاج کرد که برای ایده\mbox{}آل\mbox{}های قویاً پایای $I$ و $J$ خواهیم داشت \[ {\sat(IJ)\leq \sat(I)+\sat(J), \lr} \] که در حالتی که مجموعه مولدهای مینیمال هر کدام از ایده\mbox{}آل\mbox{}ها هم\mbox{}درجه باشند، تساوی برقرار است. اگر یکی از ایده\mbox{}آل\mbox{}ها دارای مجموعه مولدهای مینیمال هم\mbox{}درجه نباشند، ممکن است نامساوی اکید باشد و اگر ایده\mbox{}آل\mbox{}ها قویاً پایا نباشند، نامساوی لزوماً برقرار نیست. به\mbox{}عنوان مثال برای ایده\mbox{}آل $I=(x_1x_2,x_1x_3,x_2x_3)$ داریم $\sat(I) =0$ درحالیکه $\sat(I^2)=1$. در بخش 1.4 $\soc(I)$ را برای ایده\mbox{}آل $\cb$-کراندار قویاًپایای $I$ محاسبه می\mbox{}کنم و نشان می\mbox{}دهیم اگر چنین ایده\mbox{}آلی از درجه\mbox{}ی $d$ تولید شده باشد، آن\mbox{}گاه $I:\mm=I+J$، که در آن $J$ ایده\mbox{}آلی $(\cb-\eb)$-کراندار است و از درجه\mbox{}ی $d-1$ تولید شده است. در این\mbox{}جا $\eb=(1,1,\ldots,1)$ . در بخش 2.4 عدد اشباع ایده\mbox{}آل\mbox{}های $\cb$-کراندار قویاً پایا را که از درجه منحصرفرد تولید شده\mbox{}اند، معین می\mbox{}کنیم. در بخش 3.4 فرمول بدست آمده برای $\sat(I)$ را برای تعیین $f(k)=\sat(I^k)$ برای ایده\mbox{}آل\mbox{}های اصلی $\cb$-کراندار قویاً پایا به کار می\mbox{}بندیم. در آخرین بخش از فصل آخر پایان\mbox{}نامه، یک فرمول صریح برای عدد اشباع ایده\mbox{}آل\mbox{}های از نوع ورونزه\footnote{\lr{Veronese}} و توان\mbox{}های آن\mbox{}ها پیدا می\mbox{}کنیم. همچنین، برای چنین ایده\mbox{}آل\mbox{}هایی، نشان می\mbox{}دهیم که تابع $f(k)=\sat(I^k)$ یک تابع شبه-خطی است. \newpage \begin{section}{رفتار آغازین تعداد مولدهای توان\mbox{}های ایده\mbox{}آل\mbox{}های تک\mbox{}جمله\mbox{}ای} فرض کنیم $I \subset K[x_1,\ldots,x_n]$ یک ایده\mbox{}آل مدرج و $F(I)$ مخروط تاری\footnote{\lr{fiber cone}} آن باشد. می\mbox{}دانیم که $\mu(I^k)=H(F(I),k)$، که بنا به قضیه\mbox{}ی هیلبرت برای $k \gg 0$ یک چندجمله\mbox{}ای از درجه\mbox{}ی $\dim F(I)$ است. از این قضیه نتیجه می\mbox{}شود که اگر $I$ یک ایده\mbox{}آل غیراصلی باشد، آن\mbox{}گاه $\mu(I^k)<\mu(I^{k+1})$. اما در حالت کلی، این حکم اخیر برای $k$های کوچک لزوماً برقرار نیست (مراجعه شود به مراجع \cite{Ga} و \cite{E1}). در این فصل به\mbox{}عنوان نتیجه\mbox{}ی اصلی، برای هر عدد داده شده $ض$ یک ایده\mbox{}آل $I$ معرفی می\mbox{}کنیم به\mbox{}طوری\mbox{}که تعداد ماکسیمم\mbox{}های نسبی تابع $f(k)=\mu (I^k)$ حداقل برابر $q$ است. فرض کنیم $S=K[x_1,\ldots,x_n]$ و $\mm=(x_1, \ldots x_n)$ ایده \mbox{}آل مدرج ماکسیمال $ُ$ باشد. اعداد $ m \geq 1$ $ a \geq 3 $ و $n \geq 2$ را ثابت در نظر می\mbox{}گیریم و قرار می\mbox{}دهیم \[ J=(x_{1}^{am}, \ldots , x_{n}^{am}) (x_{1}^{m}, \ldots , x_{n}^{m}). \] این ایده\mbox{}آل را ایده\mbox{}آل اساسی ساختارمان می\mbox{}نامیم. فرض کنید $H$ یک ایده\mbox{}آل مدرج باشد به\mbox{}طوریکه $\dim(S/H)=0$. بزرگ\mbox{}ترین اندیس (مؤلفه\mbox{}ی) $i$ را که به\mbox{}ازای آن داشته باشیم $(S/H)_i \neq 0$، با $s(H)$ نمایش می\mbox{}دهیم. \begin{Lemma}\label{socle} فرض کنیم $H \subset S $ یک ایده\mbox{}آل تک\mbox{}جمله\mbox{}ای $\mm$-اولیه باشد. آن\mbox{}گاه $$s(H^{[r]})=r(s(H)+n)-n.$$ \end{Lemma} \begin{Proposition} فرض کنیم $E=(x_{1}^{a}, \ldots , x_{n}^{a}) (x_{1}, \ldots , x_{n})$. آن\mbox{}گاه \label{soclepower} \begin{eqnarray*} s(E^k)= \left \{ \begin{array}{rl} a(k-1)+(a-1)n, & \hspace{3mm} k \leq (n-1)(a-1)\hspace{3mm} $\text{اگر}$\\ (a+1)k-1. & \hspace{3mm}k > (n-1)(a-1)\hspace{3mm} $\text{اگر}$ \end{array}\right \end{eqnarray*} \end{Proposition} \begin{Corollary}\label{sp} \begin{eqnarray*} s(J^k)= \left \{ \begin{array}{rl} ma(k+n-1)-n, & \hspace{3mm} k \leq (n-1)(a-1) \hspace{3mm} $\text{اگر}$\\ m(ak+k+n-1)-n. & \hspace{3mm}k > (n-1)(a-1)\hspace{3mm} $\text{اگر}$ \end{array}\right \end{eqnarray*} \end{Corollary} \begin{Proposition} برای ایده\mbox{}آل اساسی $J$ داریم \[ \mu(J^k)=\sum_{i\geq 0}(-1)^i{n+k-1 \choose k+i}{k+i-1 \choose k-1}{k-ia+n-1 \choose n-1}. \] به\mbox{}علاوه اگر $k>(n-1)(a-1)$، داریم \[ \mu(J^k)={n+ak+k-1 \choose ak+k}. \] \end{Proposition} \begin{Corollary} \label{power} در گزاره\mbox{}ی فوق به\mbox{}ازای \hspace{1mm} $n=2$، خواهیم داشت \begin{eqnarray*} \mu(J^k)=\mu(E^k)= \left \{ \begin{array}{rl} (k+1)^2, & \hspace{3mm} k \leq a-1 \hspace{3mm} $\text{اگر}$\\ (a+1)k+1. & \text{اگر} \hspace{3mm}k > a-1 \hspace{3mm} $\text{اگر}$ \end{array}\right \end{eqnarray*} \end{Corollary} \begin{thebibliography}{99} \begin{latin} \bibitem{B1} M. Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, {\it Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.}, \textbf{86} (1979), 35--39.ّ\bibitem{B2} M. {\it Brodmann, Asymptotic stability of $\Ass\,(M/I^nM)$}, Proc. Am. Math. Soc., \textbf{74} (1979), 16--18. \bibitem{BH} W. Bruns and J. Herzog, {\it Cohen-Macaulay rings}, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1998. \bibitem{BV} W. Bruns and U. Vetter, {\it Determinantal rings}, Lecture Nots in Mathematics, Springer, 1988. \end{thebibliography} \end{document}