\documentclass{article}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
\usepackage[top=35mm, bottom=25mm, left=30mm, right=30mm]{geometry}
\usepackage{array}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.1]{B Nazanin}
‎\defpersianfont\titr[scale=1]{B Titr}‎
\setlatintextfont[Scale=1]{Times New Roman}
\setdigitfont[Scale=0.9]{XB Zar}
\title{
{\titr
به نام خدا
\\
\vspace{40pt}


نام فایل:
\lr{27\_ p\_8\textit{ \textbf{ZZZZ}}}\\
\vspace{40pt}
استاد: خانم دکتر\\
\vspace{40pt}


دانشجو: زهرا \\

}}
\linespread{1.5}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}
\begin{document}
\maketitle

\thispagestyle{empty}


\\

\clearpage

\thispagestyle{empty}

در آن صورت
$Z_1$
و
$Z_2$
مستقل اند و دارای 
{\titr
توزیع نرمال استاندارد 
}
هستند.\\
\\
{\titr
اثبات:}
نگاشت یک به یک 
$\Phi : [0,1) \times [0,1] \rightarrow R^2$
را به صورت زیر تعریف می کنیم:
\begin{equation*}
\Phi (u_1,u_2)=\left( \sqrt{-2logu_1} ln 2\pi u_2 , \sqrt{-2logu_1}sin(2\pi u_2)\right)=(z_1,z_2)
\end{equation*}
توجه داریم 
$z_1^2 +z_2^2=-2 log u_1$
. چون ژاکوبی 
$\Phi$
 توسط
 \begin{equation*}
 J_{\Phi}=det
    \left[
\begin{matrix}
  -\frac{1}{ \sqrt{-2logu_1}}\frac{ln2\pi u_2}{u_1}&\sqrt{-2logu_1}(-2\pi sin(2\pi u_2))\\
    -\frac{1}{ \sqrt{-2logu_1}}\frac{sin2\pi u_2}{u_1}&\sqrt{-2logu_1}(-2\pi cos(2\pi u_2))\\
    \end{matrix}
  \right]
  =\frac{-2\pi}{u_1}
 \end{equation*}
 داده می شود، داریم برای 
 $A \subset [0,1)\times [0,1)$
 ،
  \begin{equation*}
 \begin{align}
 \int\int_A f_{u_1,u_2}(u_1,u_2)\ud u_1 \ud u_2 &= Pr\Big( (u_1,u_2)\in A \Big) \notag\\ 
&= Pr\Big( (z_1,z_2)\in \Phi(A) \Big) \notag\\
&=  \int\int_{\Phi(A)} f_{z_1,z_2}(z_1,z_2)\ud z_1 \ud z_2 \notag\\
&=  \int\int_A f_{z_1,z_2}\big(\Phi(u_1,u_2)\big)|J_{\Phi}|\ud u_1 \ud u_2 \notag\\
&=  \int\int_A f_{z_1,z_2}\big(\Phi(u_1,u_2)\big)\frac{2\pi}{u_1}\ud u_1 \ud u_2 \notag\\
 \end{align}
  \end{equation*}
  چون چگالی احتمال توأم توسط 
  \begin{equation*}
 f_{u_1,u_2}(u_1,u_2)=1,\quad (u_1,u_2)\in [0,1)\times[0,1)
 \end{equation*}
  داده می شود، داریم
    \begin{equation*}
 f_{z_1,z_2}(z_1,z_2)=\frac{u_1}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(z_1^2 +z_2^2)}
 \end{equation*}
\end{document}