\documentclass[11pt]{book}
\usepackage{tikz, pgfplots}
\usepackage{placeins}
\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=blue,urlcolor=black, citecolor=blue]{hyperref}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{datatool}
\usepackage[xindy,acronym,nonumberlist=true]{glossaries}
\usepackage{multicol}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epstopdf}
\DeclareGraphicsRule{.tif}{png}{.png}{`convert #1 `dirname #1`/`basename #1 .tif`.png}
\thispagestyle{empty}
\usepackage{fancyhdr}  

\newcommand*\circled[1]{\tikz[baseline=(char.base)]{
            \node[shape=circle,draw,inner sep=2pt] (char) {#1};}}

\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm,enumerate,bm,dsfont,a4}
\usepackage[ a4paper,  paperwidth=16cm, paperheight=24cm, top=3cm, margin=2.5cm]{geometry}
\newtheorem{قضیه}{\noindent قضیه}[chapter]
\newtheorem{definition}[قضیه]{Definition}
\newtheorem{مثال}{مثال}[chapter]
\newtheorem{تمرین}{تمرین}[chapter]
\newtheorem{یاداشت}{یاداشت}[chapter]
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epstopdf}
\DeclareGraphicsRule{.tif}{png}{.png}{`convert #1 `dirname #1`/`basename #1 .tif`.png}
\usepackage[perpagefootnote]{xepersian}


\usepackage[T1]{fontenc}

 

\AtBeginDocument{\addtocontents{toc}{%
    \protect\thispagestyle{empty}}%
}

 %\renewcommand{\theequation}{\lr{\thechapter}.\lr{\arabic{equation}}}


 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\bidi@patchcmd{\@makechapterhead}{\thechapter}{\tartibi{chapter}}{}{}
%\bidi@patchcmd{\chaptermark}{\thechapter}{\tartibi{chapter}}{}{}
\bidi@patchcmd{\Hy@org@chapter}{%
\addcontentsline{toc}{chapter}%
{\protect\numberline{\thechapter}#1}%
}{\addcontentsline{toc}{chapter}%
{\protect\numberline{\@chapapp\,\tartibi{chapter}}\qquad\quad\quad#1}%
}{}{}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\titleformat{\chapter}[display]
{\normalfont\huge\bfseries\centering}
{\chaptertitlename\ \tartibi{chapter}}{20pt}{\Huge}

\makeatletter
\bidi@patchcmd{\chapter}{plain}{empty}{}{}
\makeatother
%%%% ترتیبی کردن
\makeatletter
\bidi@patchcmd{\@makechapterhead}{\thechapter}{\tartibi{chapter}}{}{}
%\bidi@patchcmd{\chaptermark}{\thechapter}{\tartibi{chapter}}{}{}
\makeatother
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\settextfont[Ligatures=TeX]{XB Zar}


\settextfont{XB Zar}

\ExplSyntaxOn
\cs_set_eq:NN
\etex_iffontchar:D
\tex_iffontchar:D
\cs_undefine:N \c_one
\int_const:Nn \c_one { 1 } 
\ExplSyntaxOff

\setdigitfont{XB Zar}
%\setdigitfont{XB Zar}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
\newenvironment{rcases}
  {\left.\begin{aligned}}
  {\end{aligned}\right\rbrace}
  \setcounter{chapter}{2}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[ER,OL]{\thepage}
\fancyhead[EL]{\leftmark}
\fancyhead[OR]{\rightmark}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{\chaptername\ \tartibi{chapter}.\ #1}{}}


\begin{document}
%\pagestyle{plain}
\pagenumbering{alph}
\tableofcontents
\chapter{درونیابی}\label{ch3}
\pagestyle{headings}
\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{87}
\section{مقدمه}

عبارت 
\[y=f(x)    ,  \quad               x_0\le x\le x_n.\]
به این معنی است که: نظر به هر قیمت $ x $  یک یا چند قیمت  $ y $  در انتروال $ x_0\le x\le x_n  $ وجود دارد. فرض کنیم $ f(x)  $ یک تابع یک متحوله، متمادی و صریح باشد، پس قیمت‌های $ f(x)$ نظر به قیمت‌های مشخص  $ x$ یعنی
$ x_0$، $x_1$،...، $x_n $
به آسانی قابل محاسبه می‌باشد.  برعکس این مسئله، بحث اساسی انالیز عددی را تشکیل می‌دهد. یعنی، یک ست از قیمت‌های 
$ (x_0, y_0) $، $(x_1, y_1)$، $(x_2, y_2)$،...، $(x_n, y_n)$  
که رابطه $ y=f(x) $  را صدق میکند در یک جدول داده‌شده است، اما معادله صریح $ f(x)$ معلوم نمی باشد. نیاز است تا ساده ترین تابع مانند  $   \phi(x)$ را دریافت نماییم، طوریکه $ f(x) $ و  $ \phi(x)  $ نسبت به \emph{ست قیمت‌های داده‌شده در جدول دارای عین قیمت باشند}. این روند بنام \emph{درونیابی} یا انترپولیشن\LTRfootnote{Interpolation}
\index{درونیابی}
یاد می‌شود. هرگاه    $ \phi(x)  $   یک پولینوم باشد، این روند بنام \emph{درونیابی پولینومی} 
\index{درونیابی! پولینومی}
یاد شده و   $ \phi(x)  $   بنام \emph{پولینوم درونیاب} 
\index{پولینوم! درونیاب} 
یاد می‌شود. به روش مشابه انواع مختلف درونیابی نسبت به    $ \phi(x)  $     که آیا یک سلسله مثلثاتی معین، سلسله تابع بیسل و غیره می‌باشد، وجود دارد. در این فصل فقط با درونیابی پولینومی سروکار خواهیم داشت.  در اینجا برای تقریب یک تابع مجهول بوسیله یک پولینوم، یک قضیه را بدون اثبات به 
عنوان یک دلیل ذکر می‌کنیم. یک قضیه مشهور وایرشترس\LTRfootnote{Weierstrass  (1885)} بیان می‌کند: هرگاه  $ f(x) $ در  $ x_0\le x\le x_n  $ متمادی باشد، پس برای هر             $  \varepsilon >0   $ یک پولینوم  $   P(x)   $   وجود دارد، طوریکه برای هر x از  $ (x_0,x_n)  $  داریم:
\[   |f(x)-p(x)|<\varepsilon. \]
یعنی هرگاه یک   $  \varepsilon >0   $ داده شده باشد برای هر $ x  $ از  $(x_0,x_n)  $ می‌توانیم یک پولینوم  $ P(x)  $ را دریافت نماییم، طوریکه گراف آن در ساحه محدود شده بین 
 $y=f(x)-\varepsilon   $ و  $y=f(x)+\varepsilon  $
قرار دارد.
وقتیکه یک تابع  $ f(x) $ را بوسیله یک پولینوم $ p(x)  $ تقریب می‌زنیم، سوالات ذیل مطرح می‌شود: (i) تفاوت قیمت تقریبی و قیمت دقیق تابع چگونه محاسبه می‌شود؟ و (ii) شرایط دریافت بهترین تقریب تابع چیست؟  اگر چه جواب این سوالات مهم است و مربوط به مسائل درونیابی عملی می‌باشد اما از دایره بحث این کتاب بیرون است. در بخش بعدی یک فورمول را برای دریافت خطای تقریب یک تابع جدولی بوسیله یک پولینوم دریافت می‌نماییم.
\section{خطای درونیابی پولینومی}
\index{خطای! درونیابی پولینومی}
فرض کنیم تابع $ y(x)  $ که بوسیله  $(n+1) $ نقاط
  $(x_i,y_i)$، $i=0,1,2,...,n $
تعریف شده است، متمادی و $ (n+1) $ بار مشتق پذیر باشد، و فرض کنیم $ y(x)$ بوسیله یک پولینوم  $  \phi_n (x)  $ با درجه کمتر یا مساوی به n تقریب زده شده است، طوریکه
\begin{equation}\label{31}
    \phi_n  (x _i)=y_i,  \quad    i =0,1,2,...,n.    
\end{equation}
حال، هرگاه برای بدست آوردن یک قیمت تقریبی دیگر $  y(x) $ در یک نقطه غیر از نقاط
 \eqref{31}، $ \phi_n (x) $ 
را بکار ببریم، دقت این تقریب چه مقدار خواهد بود؟ چون جمله $ y(x)-\phi_n (x)  $ برای قیمت‌های
$ x=x_0, x_1,... , x_n $
صفر است. داریم:
\begin{equation}\label{32}
y(x)-\phi_n (x)=L\sideset{}{_{n+1}}\prod  (x),    
\end{equation}
طوریکه
\begin{equation}\label{33}
\sideset{}{_{n+1}}\prod (x)=(x-x_0 )(x-x_1 )...(x-x_n ).  
\end{equation}
و $ L $ طوری دریافت می‌گردد که  برای هر قیمت  $ x=x^{\prime}$، $x_0<x^{\prime}<x_n $ معادله   \eqref{32} صدق کند. واضح است 
\begin{equation}\label{34}
L=\frac{y(x^{\prime} )-\phi_n (x^{\prime} )}{\sideset{}{_{n+1}}\prod  (x^{\prime})}.
\end{equation}
تابع $ F(x) $  را طور ذیل تشکیل می‌دهیم:
\begin{equation}\label{35}
F(x)=y(x)-\phi_n (x)-L\sideset{}{_{n+1}}\prod  (x),    
\end{equation}
طوریکه $  L  $ در معادله   \eqref{34} قبلا داده شده است. آشکار است که
\[       F(x_0 )=F(x_1 )=...=F(x_n )=F(x^{\prime} )=0,     \]
یعنی $ F(x) $ برای  $(n+2)  $ نقاط در آنتروال $ x_0\le x\le x_n $ مساوی به صفر است در نتیجه با کابرد متوالی قضیه رول (قضیه \ref{th13} را در بخش \ref{s12} نگاه کنید)   $  F^{\prime}(x)  $ در  $(n+1) $ نقاط و   $ F^{\prime\prime} (x)  $ در  $ n  $ نقاط و ... در $ x_0\le x\le x_n $
صفر است. بویژه  $ F^{(n+1)} (x)  $  در یک نقطه‌ای این انتروال مساوی به صفر می‌باشد. فرض کنیم این نقطه با 
 $x=\xi $، $x_0\le \xi \le x_n$
  داده شده باشد.
هرگاه معادله \eqref{35} را $ (n+1)$   بار نظر به $ x $ مشتق بگیریم و $  x=\xi  $  وضع نماییم،  داریم:
\[       0=y^{(n+1)} (\xi)-L(n+1)!,       \]
طوریکه
\begin{equation}\label{36}
L=\frac{y^{(n+1)} (\xi)}{(n+1)!}. 
\end{equation}
از مقایسه معادلات     \eqref{34}   و     \eqref{36}   داریم: 
\begin{equation}\label{37}
y(x)-\phi_n (x)=\frac{\sideset{}{_{n+1}}\prod  (x)}{(n+1)!} y^{(n+1)}(\xi), \quad    x_0<\xi<x_n,
\end{equation}
که افاده مورد نظر برای خطا می‌باشد. چون $ y(x) $ بصورت عموم نامعلوم می‌باشد، بنابرین ما در مورد  $ y^{(n+1) } (x)  $، هیچ نوع معلوماتی نداریم، فورمول  \eqref{36} همیشه در محاسبات عملی بدون کاربرد می‌باشد. از طرف دیگر در کارهای نظری در بخش‌های مختلف انالیز عددی  بیشترین کاربرد را دارد. بویژه برای دریافت خطای فورمول درونیابی نیوتن که در بخش  \ref{s36} بررسی خواهد شد بکار می‌رود.
\section{تفاضلات معین}
\index{تفاضل! معین}
فرض کنیم یک جدول از نقاط
 $(x_i,y_i)$, $i=0,1, 2,..., n$
 یک تابع $ y=f(x) $ داده شده است، قیمت‌های $x$ 
دارای فواصل مساوی می‌باشد. یعنی
$ x_i=x_0+ih$، $i=0,1,2,...,n$. 
فرض کنیم به قیمت $ f(x) $ برای بعضی قیمت‌های $ x $ غیر از $x_i$ ضرورت داریم، یا به  مشتق تابع  $ f(x) $ برای برخی قیمت‌های $ x $ در انتروال  
$  (x_0, x_n) $ 
 ضرورت داریم. روش‌های حل این مسائل مبتنی بر مفهوم «تفاضلات\LTRfootnote{Differences}» یک تابع می‌باشد که ذیلاً تعریف می‌شود.
\subsection{تفاضلات پیشین}
\index{تفاضل! پیشین}
فرض کنیم
 $y_0$،  $y_1$، $y_2$، ...، $y_n$ 
یک ست از قیمت‌های $ y $ را نشان می‌دهد، پس
$y_1- y_0$، $y_2-y_1$،...، $y_n-y_{n-1}$
 بنام \emph{تفاضلات} $ y $ یاد می‌شود. این  تفاضلات را به ترتیب به 
$\Delta y_0$، $\Delta y_1$، ...، $\Delta y_{n-1}$
نشان می‌دهیم، یعنی
\[  \Delta y_0=y_1-y_0, \,\,    \Delta y_1=y_2-y_1, ..., \,\,    \Delta  y_{n-1}=y_n-y_{n-1}.                  \]
طوریکه $  \Delta$ بنام \emph{ اوپراتور تفاضل پیشین}\LTRfootnote{Forward Difference Operator}
 و
$\Delta y_0$، $\Delta y_1$، ...،$ \Delta y_{n-1} $ 
بنام \emph{تفاضلات اول پیشین} یاد می‌شود. تفاوت میان دو تفاضلات اول متوالی پیشین  بنام \emph{تفاضلات دوم پیشین} یاد شده و با 
$\Delta^2 y_0$، $\Delta^2 y_1$، ...، 
و غیره نمایش داده می‌شود. با روش مشابه میتوان \emph{تفاضلات پیشین سوم، چهارم} و ... را نیز تعریف نماییم. بنابرین
\begin{align*}
\Delta^2 y_0&= \Delta y _1-\Delta y_0=y_2-y_1-(y_1-y_0 )=y_2- 2y_1+y_0,\\
\Delta^3 y_0&=\Delta^2 y_1-\Delta^2 y_0 =y_3- 3y_2+ 3y_1-y_0,\\
\Delta^4 y_0&=\Delta^3 y_1-\Delta^3 y_0 =y_4-4y_3+6y_2-4y_1+y_0.
\end{align*}
در نتیجه واضح است که هر تفاضل مرتبه-بلندتر به آسانی با $ y $ ‌ها قابل ارایه می‌باشد، چون ضرایب طرف راست ضرایب بینوم می‌باشند.
جدول \ref{t31} چگونگی تشکیل تفاضلات پیشین تمام مرتبه‌ها را نشان می‌دهد.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{جدول تفاضل پیشین.}
\label{t31}
\renewcommand{\arraystretch}{0.5}
\begin{tabular}{c c c c c c c c }
\hline\\[-1ex]
$   \Delta  ^6        $&$   \Delta  ^5       $&$    \Delta  ^4    $&$    \Delta  ^3    $&$         \Delta  ^2  $&$         \Delta         $&$         y       $&$        x    $     \\  [0.1ex]  
\hline   \\[-1ex]
$                           $&$                          $&$                         $&$                        $&$                           $&$                           $&$          y_0       $&$      x_0  $     \\ 
$                          $&$                           $&$                         $&$                        $&$                          $&$      \Delta y_0    $&$                        $&                  \\ 
$                          $&$                           $&$                         $&$                        $&$ \Delta^2 y_0   $&$                             $&$         y_1      $&$         x_1      $  \\ 
$                          $&$                           $&$                         $&$ \Delta^3 y_0 $&$                          $&$       \Delta y_1    $&$                   $&               \\     
$                          $&$                           $&$  \Delta^4 y_0 $&$                        $&$ \Delta^2 y_1    $&$                           $&$         y_2       $&$         x_2      $  \\ 
$                          $&$  \Delta^5 y_0   $&$                         $&$  \Delta^3 y_1 $&$                          $&$       \Delta y_2    $&$                   $&               \\ 
$  \Delta^6 y_0  $&$                           $&$  \Delta^4 y_1  $&$                        $&$ \Delta^2 y_2    $&$                          $&$         y_3       $&$         x_3   $     \\ 
$                         $&$  \Delta^5 y_1    $&$                         $&$ \Delta^3 y_2  $&$                          $&$       \Delta y_3  $&$                   $&                \\ 
$                         $&$                           $&$  \Delta^4 y_2  $&$                        $&$ \Delta^2 y_3     $&$                          $&$         y_4       $&$         x_4    $    \\ 
$                         $&$                           $&$                         $&$ \Delta^3 y_3  $&$                           $&$       \Delta y_4   $&$                   $&                \\ 
$                         $&$                           $&$                         $&$                        $&$  \Delta^2 y_4    $&$                         $&$         y_5      $&$         x_5    $    \\ 
$                         $&$                           $&$                         $&$                        $&$                          $&$       \Delta y_5    $&$                   $&               \\ 
$                         $&$                           $&$                         $&$                        $&$                          $&$                           $&$         y_6       $&$         x_6     $   \\ [0.1ex]
\hline         
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
در محاسبات عملی، جدول تفاضل پیشین قرار ذیل تشکیل شده می‌تواند:
 برای نقاط
$(x_i,y_i) $، $  i=0,1,2,...,n$
 و
$ x_i=x_0+ih $
داریم:
 \[        \Delta y_j=y_{j+1}-y_{i},    \quad     j=0,1,...,n-1.     \]
هرگاه $y_j   $ را به       $DEL(0,j) $  نشان دهیم، معادله بالا را قرار ذیل نوشته می‌توانیم:
\[   \Delta y_j=DEL(0,j+1)-DEL(0,j)=DEL(1,j). \]
در نتیجه
\[  \Delta^i y_j=DEL(i-1,j+1)-DEL(i-1,j),\]
که تفاضل $i$ –ام پیشین  $ y_j  $ می‌باشد. 
 برای نقاط
 \[(x_i,y_i), \quad i=0,1,2,...,6 \]
جدول تفاضل  \ref{t32} را تشکیل میدهیم.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{جدول تفاضل پیشین}
\label{t32}
\renewcommand{\arraystretch}{0.5}
\begin{tabular}{p{0.8cm} p{0.8cm} p{0.8cm} p{0.8cm} p{0.8cm} p{0.8cm} p{0.9cm} c }
\hline\\[-1ex]
$   \Delta  ^6        $&$   \Delta  ^5       $&$    \Delta  ^4    $&$    \Delta  ^3    $&$         \Delta  ^2  $&$         \Delta         $&$         y       $&$        x    $     \\ [0.1ex]   
\hline   \\[-1ex]
$                           $&$                          $&$                         $&$                        $&$                           $&$                           $&$         {\scriptscriptstyle DEL(0,0) }      $&$      x_0  $     \\ 
$                          $&$                           $&$                         $&$                        $&$                          $&$   {\scriptscriptstyle   DEL(1,0)} $&$                        $&                  \\ 
$                          $&$                           $&$                         $&$                        $&$ {\scriptscriptstyle DEL(2,0) }  $&$                             $&$        {\scriptscriptstyle DEL(0,1) }    $&$         x_1      $  \\ 
$                          $&$                           $&$                         $&${\scriptscriptstyle  DEL(3,0) }  $&$                          $&$     {\scriptscriptstyle  DEL(1,1)}   $&$                   $&               \\     
$                          $&$                           $&$ {\scriptscriptstyle DEL(4,0) } $&$                        $&${\scriptscriptstyle DEL(2,1) }     $&$                           $&$      {\scriptscriptstyle  DEL(0,2)  }     $&$         x_2      $  \\ 
$                          $&$ {\scriptscriptstyle DEL(5,0) }  $&$                         $&$ {\scriptscriptstyle  DEL(3,1) } $&$                          $&$    {\scriptscriptstyle  DEL(1,2) }   $&$                   $&               \\ 
${\scriptscriptstyle  DEL(6,0) }  $&$                           $&$ {\scriptscriptstyle DEL(4,1)}  $&$                        $&$  {\scriptscriptstyle DEL(2,2)   }   $&$                          $&$      {\scriptscriptstyle   DEL(0,3)   }    $&$         x_3   $     \\ 
$                         $&$ {\scriptscriptstyle DEL(5,1) }    $&$                         $&$ {\scriptscriptstyle DEL(3,2) }  $&$                          $&$      {\scriptscriptstyle DEL(1,3)}  $&$                   $&                \\ 
$                         $&$                           $&${\scriptscriptstyle  DEL(4,2) } $&$                        $&${\scriptscriptstyle DEL(2,3)   }   $&$                          $&$      {\scriptscriptstyle  DEL(0,4)  }   $&$         x_4    $    \\ 
$                         $&$                           $&$                         $&${\scriptscriptstyle DEL(3,3)}   $&$                           $&$    {\scriptscriptstyle   DEL(1,4)}  $&$                   $&                \\ 
$                         $&$                           $&$                         $&$                        $&$ {\scriptscriptstyle  DEL(2,4)  }    $&$                         $&$      {\scriptscriptstyle   DEL(0,5)  }  $&$         x_5    $    \\ 
$                         $&$                           $&$                         $&$                        $&$                          $&$     {\scriptscriptstyle  DEL(1,5) }   $&$                   $&               \\ 
$                         $&$                           $&$                         $&$                        $&$                          $&$                           $&$      {\scriptscriptstyle   DEL(0,6) }    $&$         x_6     $   \\ [0.1ex]
\hline         
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

 در جدول \ref{t32}
\begin{align*}
DEL(4,0)&=DEL(3,1)-DEL(3,0)\\
&=DEL(2,2)-DEL(2,1)-[DEL(2,1)-DEL(2,0)]\\
&=DEL(1,3)-DEL(1,2)-2[DEL(1,2)-DEL(1,1)]\\
&+DEL(1,1)-DEL(1,0)\\
&=DEL(0,4)-DEL(0,3)-3[DEL(0,3)-DEL(0,2)]\\
&+3[DEL(0,2)-DEL(0,1)]-[DEL(0,1)-DEL(0,0)]\\
&=DEL(0,4)-4DEL(0,3)+6DEL(0,2)\\
&-4DEL(0,1)+DEL(0,0)\\
&=y_4- 4y _3+6y_2-4y_1+y_0,
\end{align*}
می باشد.
حال جدول تفاضل پیشین را  با استفاده از جملات ساده تشکیل نموده می‌توانیم.
\begin{flushleft}
\LTR{
Do $ i=1(1)n$\\
Do $j=1(1)n-i$\\
DEL $(i, j)=$DEL $(i-1, j+1)-$DEL $(i-1, j)$\\
NEXT $ j$\\
NEXT $ i$\\
End}
\end{flushleft}
\subsection{تفاضل پسین}
\index{تفاضل! پسین}
تفاضلات
 $y_1-y_0$، $y_2-y_1$،...، $y_n-y_{n-1}$
بنام \emph{تفاضلات اول پسین} یاد می‌شود، که به ترتیب به
 $\nabla y _1$، $\nabla y _2$،...، $\nabla y _n$
 نمایش داده می‌شود. یعنی
\[        \nabla y _1=y_1-y_0  , \nabla y _2=y_2-y_1  ,...,  \nabla y _n=y_n-y_{n-1}       \]
در فوق
 $\nabla$ 
بنام \emph{اوپراتور تفاضل پسین}\LTRfootnote{Backward Difference Operator} یاد می‌شود. و با روش مشابه تفاضلات مراتب بلندتر پسین  را می‌توان تعریف نمود.
بنابرین داریم:







\addcontentsline{toc}{section}{نمایه}
\printindex


 



\end{document}