\documentclass[a4paper]{book}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[top=30mm, bottom=25mm, left=25mm, right=30mm,includehead=true,includefoot=true]{geometry}
\usepackage{xepersian}
\settextfont{Yas}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\fancyhead[R]{\leftmark}
\fancyhead[L]{\thepage}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\chapter{استنباط بیزی درباره شاخص عملکرد طول عمر بر اساس داده های فزاینده نوع 2 در توزیع وایبل}   
 \section{معرفی توزیع وایبل}
 توزیع وایبل در زمینه های گوناگونی از موارد کاربردی مورد استفاده قرار می گیرد، مخصوصاً به عنوان یک مدل مناسب برای مدل بندی طول عمر محصولات در صنعت شناخته می شود. این توزیع همچنین به عنوان توزیع فرسودگی، شکنندگی و استحکام مواد مورد استفاده قرار گرفته است. توزیع وایبل یکی از سه توزیع مقدار فرین حدی  \footnote {نوع سوم از توزیع های حدی مینیمم (بین و انگلهارت ترجمه دکتر مشکانی(1384))}
 برای مثال ، استحکام یک زنجیر دراز(یا زمان خرابی یک سیستم به صورت سری) برابر زمان خرابی ضعیفترین حلقه زنجیر یا مؤلفه است. همچنین نیروی شکنندگی یک سرامیک به وسیله ضعیفترین ترک حاصل اندازه گیری می شود. اگر یک دستگاه شامل اجزای زیادی باشد که توزیع زمان خرابی آنها یکسان باشند، آنگاه اگر با از کار افتادن یک جزء از این دستگاه، کل دستگاه از کار بیافتد آنگاه توزیع وایبل می تواند یک توزیع مناسب برای چنین دستگاهی باشد . برای مثال یک خازن
\LTRfootnote{capacitor}
 را در نظر بگیرید که با از کار افتادن یکی از عایقها خازن از کار می افتد، لذا طول عمر خازن وابسته به طول عمر ضعیفترین جزء آن است.\\
توزیع وایبل از نام یکی از فیزیکدانان اهل سوئد به نان والودی وایبل 
\LTRfootnote{Waloddi Weibull}
 گرفته شده است که در سال 1939 از این توزیع برای مدل بندی توزیع استحکام شکست مواد 
\LTRfootnote{breaking strength of materials}
استفاده کرد. چون این توزیع یکی از سه توزیع مقدار فرین حدی است که توسط ندنکو(1943) ارائه شده است، به همین دلیل در برخی متون آماری 
روسی این توزیع با نام وایبل-ندنکو 
\LTRfootnote{Weibull-Gnedenko}
 به کار می رود.\\  توزیع وایبل 
\LTRfootnote{Weibull}
با پارامتر مقیاس
\LTRfootnote{scale parameter}
$\lambda>0$ 
و  پارامتر شکل
\LTRfootnote{shape parameter}
$\beta>0$
دارای تابع چگالی و توزیع تجمعی به شکل زیر است.
\begin{align}
\label{l-302} 
f_X(x;\lambda,\beta)  &=\frac{\beta}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{\beta-1}\exp\left\{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^\beta\right\},\qquad x>0,\\
\label{l-303}
F_X(x;\lambda,\beta)&=1-\exp\left\{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^\beta\right\},\qquad x>0,
\end{align}
یکی از مهمترین دلایل شهرت این توزیع برای برازش داده ها این است که توزیع وایبل دارای اشکال گوناگونی است و این خاصیت موجب شده که از این توزیع برای برازش بسیاری از مجموعه داده ها استفاده شود. دو شکل ممکن است برای تابع چگالی اتفاق بیفتد که عبارتند از:\\الف) به طور یکنواخت نزولی باشد.\\ ب) تک مدی باشد.\\ 
شکل تابع چگالی ففط به پارامتر شکل $\beta$ وابسته است و مستقل از پارامتر مقیاس $\lambda$است. نتایج عبارتند  از:\\

الف)برای $\beta\leq1$شکل تابع چگالی به طور یکنواخت نزولی است.\\  ب) برای $\beta>1$چگالی این توزیع تک مدی در$t_{Mode}=\lambda(1-\frac{1}{\beta})^\frac{1}{\beta}$ می باشد.\\


توزیع وایبل سه پارامتری با پارامتر مکان $\mu$دارای تابع توزیع تجمعی زیر می باشد.\\
\begin{align}
\label{l-304}
F_X(x;\lambda,\beta)&=1-\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\lambda}\right)^\beta\right\},\qquad x\geq \mu,
\end{align}
که در آن $\lambda>0$پارامتر مقیاس و  $\beta>0$پارامتر شکل می باشند.\\

تابع قابلیت اعتماد
 \LTRfootnote{reliability function}
 توزیع وایبل دو پارامتری عبارت است از:\\
\begin{align}
\label{l-305}
R(t)=1-F(t;\lambda,\beta)
=\exp\left\{-\left(\frac{t}{\lambda}\right)^\beta\right\},\qquad t>0,
\end{align}
تابع نرخ خطر 
\LTRfootnote{hazard rate  function}
برای توزیع وایبل به صورت
\begin{align}
\label{l-306}
h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{\beta}{\lambda^\beta}t^{\beta-1},\quad t>0,
\end{align}
به دست می آید. با توجه به این که تابع نرخ خطر تنها به پارامتر شکل وابسته است، لذا سه حالت برای  تابع نرخ خطر می توان بیان کرد:\\    -تابع نرخ خطر برای $\beta<1$  نزولی است.\\ -تابع نرخ خطر برای $\beta=1$   ثابت است.\\ -تابع نرخ خطر برای $\beta>1$   صعودی است. \\  توزیع وایبل دارای کاربردهای زیادی است از جمله\\در تحلیل بقا
\LTRfootnote{Survival analysis}\\
در نظریه مقادیر غایی
\LTRfootnote{Extereme value theory} \\
پیش بینی آب و هوا
\LTRfootnote{Weather forecasting }\\
برای زمان تحویل کالا در صنعت.\\ در مهندسی قابلیت اعتماد و تحلیل شکست. \\در سیستم های رادار برای مدل بندی پراکندگی سطح سیگنال های دریافتی تولید شده توسط برخی انواع ناهنجاری ها. \\برای مدل بندی مطالبه مجدد بیمه در صنعت بیمه.\\ برای توزیع سرعت باد. \\
\section{شاخص CL در توزیع وایبل}

\end{document}