\documentclass[a4paper,20pt,openany,oneside,msc]{report}
%\documentclass{report}
\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[nottoc]{tocbibind}
\usepackage{float}
\usepackage[top=2.5cm,right=3cm,bottom=2.5cm,left=2.5cm]{geometry}       
\usepackage{xepersian}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1]{IranNastaliq}
\settextfont[Scale=5]{Tahoma}
\usepackage{xepersian}
%دستور زير براي تعيين فونت متن فارسي مي‌باشد.
\settextfont[Scale=5]{Tahoma}
\settextfont[Scale=1.5]{B Nazanin}
\setlatintextfont[Scale=1.5]{Times New Roman}
\setdigitfont[Scale=1.1]{XB Zar}
\usepackage{makeidx}
\pagestyle{myheadings}
\textwidth=16cm
\textheight=25cm
\oddsidemargin=-.5cm
\evensidemargin=-.5cm
\voffset=-.045cm
\setlength{\unitlength}{10mm}
\pagestyle{fancy}
\newtheorem{definition}{تعريف}[section]
\newtheorem{example}{مثال}[section]
\newtheorem{remark}{تذکر}[section]
\newtheorem{theorem}{قضيه}[section]
\newtheorem{corollary}{نتيجه}[section]
\newtheorem{lemma}{لم}[section]
\newtheorem{proposition}{گزاره}[section]
\newtheorem{notation}{نماد}[section]
\newtheorem{relation}{رابطه}[section]
\newtheorem{mention}{یادآوری}[section]
\renewcommand{\proofname}{\textbf{برهان}}%as
\renewcommand{\bibname}{مراجع}%as
\cfoot{}
%\input{amssym}
\lhead{\thepage}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.2]{IranNastaliq}
\pagenumbering{harfi}
\begin{document}
%\maketitle
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{figure}[t]  
\centerline{\includegraphics[width=3cm]{m}}
\end{figure}
\thispagestyle{empty}
\vspace{.05cm}
\begin{Large}
دانشکده علوم رياضي و آمار \\
گروه آمار\\
پايان نامه کارشناسي ارشد رشته آمار رياضي \\
\end{Large}
\vspace{3.25cm}
\begin{Huge}
\textbf{برخی آزمون‌های ناپارامتری در محیط فازی}\\
\end{Huge}
\vspace{2cm}
استاد راهنما:\\
\vspace{.5cm}
\begin{Large}
\textbf{دکتر محسن عارفی}\\
\end{Large} 
\vspace{1.7cm}
نگارش:\\
\vspace{.5cm}
\begin{large}
\textbf{امیر قاینی}\\
\end{large}
\vspace{1.7cm}
بهار 96 \\
\end{center}
\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{figure}[mn]
\centerline{\includegraphics[height=10cm ,width=12cm]{0001}}
\end{figure}
\newpage
\thispagestyle{empty}
\baselineskip=1cm
\vspace{1cm}
\hspace{1cm}
\chapter*{}
\thispagestyle{empty}
\vspace{3cm}
\begin{center}
\textbf{کليه
 مزايا اعم از چاپ و تکثير، نسخه$ $برداري، ترجمه، اقتباس و ... 
از پايان$ $نامه کارشناسي$ $ارشد براي دانشگاه بيرجند محفوظ مي$ $باشد. نقل مطالب با ذکر منبع بلامانع است.}
\end{center}

\newpage\thispagestyle{empty} 
\baselineskip= 1.15cm
\vspace*{5cm}
{\nastaliq
\begin{large}
ماحصل آموخته هایم را تقدیم می کنم به\\
\vspace{1cm}

\paragraph*
~مقدس‌ترین واژه ها در لغت نامه دلم،
\paragraph*
~ مادر مهربانم که زندگیم را مدیون مهر و عطوفت آن می دانم.
\paragraph*
~پدر، مهربانی مشفق، بردبار و حامی.\\ 
\paragraph*   
  ~همسرم که نشانه لطف الهی در زندگی من است. 
\paragraph*
~برادر و خواهرم همراهان همیشگی و پشتوانه های زندگیم.
\paragraph*
~آموزگارانی که برایم زندگی؛ بودن و انسان بودن را معنا کردند حال این برگ سبزی است تحفه درویش تقدیم آنان....
\end{large}
\\
}
\baselineskip= 1cm

\newpage\thispagestyle{empty}
	\hspace*{1cm}
	\begin{large}
		\nastaliq{
			\vspace*{3.5cm}
\paragraph*
~الهي! \\
\paragraph*
  ~همه به تن غريبند و من به جان و دل غريبم $.$ \\
  \paragraph*
 ~همه در سفر غريبند و من در حضر غريبم$.$\\
\paragraph*
~الهي‌!\\ 
\paragraph*
 ~هر بيماري را شفا از طبيب و من بيمار از طبيبم$.$ \\
\paragraph*
 ~هر کس را از قسمت بهره است و من بي‌نصيبم$.$ \\
\paragraph*
 ~هر دلشده‌اي را ياري و غمگساري است و من بي‌يار و غريبم$.$ \\ 
\paragraph*
 ~همه شب مردمان در خواب و من بيدار چون باشم \qquad\qquad غنوده هر کسي با‌يار و من بي‌يار چون باشم  \\
 (کشف‌الاسرار،ج چهارم،ص 169)
			
	\begin{center}
		\end{center}	
			\begin{center}
		\end{center}
	\begin{center}
		\end{center}		\qquad \qquad 	\qquad \qquad
		\qquad \qquad
		\qquad \qquad
				خدايا چنان کن سرانجام کار توخشنود باشي ما رستگار
		}
	\end{large}


 \newpage
\newpage\thispagestyle{empty}
	\hspace*{1cm}
	\begin{large}
		\nastaliq{
			\vspace*{3.5cm}

سپاسگزاري...

سپاس آفريدگاري را که آغاز همه از اوست و انجام همه بدوست، بلکه خود همه، اوست. خداوندي که
سخنوران از ستودن او عاجزند و حسابگران از شمارش نعمتهاي او ناتوان و افکار ژرفانديش، قاصر از درك
ذات او. پروردگارا؛ من که در دانش خود جاهلم، چگونه در جهل خويش نادان نباشم. من که در توانگري خود
نيازمندم، چگونه نباشم نيازمند، در نداري خود!

	معبودا؛ پناه ميبرم به تو از نفسي که سير نشود، از قلبي که خاشع نشود، از دانشي که بهره ندهد. بار خدايا
آنچه دارم از توست. هم اکنون که به لطف تو اين مهم را به پايان رسانيدهام بر خود واجب ميدانم از زحمات
عزيزاني که در اين راه مرا ياري نمودهاند، سپاسگزاري نمايم. از پدر و مادر و همسر عزيزم که همواره موجبات
دلگرمي‌ام را فراهم نموده‌اند، سپاسگزارم و قدردان زحماتشان هستم.

از جناب آقاي دکتر محسن عارفی که در کمال سعي صدر، با حسن خلق و فروتني از هيچ کمکي در اين
عرصه بر من دريغ ننمودند و زحمت راهنمايي اين رساله را بر عهده داشتند، تشکر و قدرداني ميکنم و همچنين از جناب اقاي دکتر ----- و  دکتر------ که زحمت خواندن و داوري اين رساله را کشيدند، تشکر و قدرداني ميکنم.

در پايان از خداوند منان، توفيق و کاميابي روزافزون را براي همگيشان آرزومندم. باشد
که اين خردترين، بخشي از زحمات آنان را سپاس گويد.
		}
	\end{large}
\pagenumbering{harfi}
\tableofcontents
\listoffigures
\listoftables
\newpage
\thispagestyle{empty}
\newpage
\chapter*{نمادها و علائم اختصاري }\markboth{نمادها و علائم اختصاري}{نمادها و علائم اختصاري}
\thispagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}
بورس تجاري شيکاگو
\dotfill $CME$\\
بورس شيکاگو
\dotfill $CBOT$\\
تابع نشانگر
\dotfill $I$\\
تقریباً مطمئن
\dotfill $a.s.$\\
%تقریباً همه جا
%\dotfill $a.e.$\\
سيگما ميدان
\dotfill $\mathcal{F}$\\
سيگما ميدان بورل
\dotfill $\mathcal{B}$\\
مجموعه‌ي اعداد حقيقي
\dotfill $ \Bbb{R}$\\
مجموعه‌ي اعداد طبيعي
\dotfill $ \Bbb{N}$\\
معادلات دیفرانسیل تصادفی
\dotfill $ SDE $\\
معادلات دیفرانسیل تصادفی پسرو
\dotfill $ BSDE $\\
معادلات دیفرانسیل جزئی
\dotfill $ PDE $\\
نرخ بهره بين بانكي لندن
\dotfill $ LIBOR $\\

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
\chapter{مقدمات و مفاهیم}
\pagenumbering{arabic}
\vspace*{1cm}
نظريه$\-$ی مجموعه$\-$های فازی، توسط پروفسور لطفی عسگرزاده 
\cite{zadeh1},\cite{zadeh2}، 
دانشمند ايرانی و استاد دانشگاه بركلی آمريكا، ارائه شد. اين نظريه از آن زمان تاكنون، گسترش و تعميق زيادی يافته و كاربردهای گوناگونی در زمينه$\-$های مختلف پيدا كرده است.\\
مجموعه$\-$های فازی تعمیمی از مجموعه$\-$های معمولی هستند.
در هر بحث و موضوع، مجموعه$\-$ی شامل تمام عناصر مورد بحث را مجموعه$\-$ی مرجع نامیده و با علامت
$X$
یا 
$U$ 
نشان می$\-$دهیم.
در نظريه$\-$ی مجموعه$\-$های معمولی، مجموعه$\-$ها به$\-$صورت گردايه$\-$ای معيّن از اشياء تعريف می$\-$شود. به$\-$عبارت ديگر، يک مجموعه$\-$ی معمولی، با یک ويژگی دقيق و معيّن مشخص می$\-$شود. یعنی اگر 
$P$
یک ویژگی خوش$\-$تعریف در مورد عناصر
$X$ 
باشد که مجموعه$\-$ی 
$A$ 
توسط آن مشخص می$\-$شود، می$\-$توان نوشت
\begin{center}
 $ A= \left\lbrace x\in X \vert{P}(x) \right\rbrace. $ 
 \end{center}
در نظریه$\-$ی مجموعه$\-$ها بر لفظ معيّن، در تعریف مجموعه تأکید می$\-$شود. این تأکید به مفهوم عضویت باز می$\-$گردد. به این معنی که به یک گردایه وقتی و فقط وقتی لفظ مجموعه اطلاق می$\-$شود که اعضای آن دقیقاً مشخص باشند. مثلاً اگر $X$ مجموعه$\-$ی انسان$\-$ها و $P$ ویژگی «قد بلندتر از ۱۸۰ سانتی$\-$متر» باشد، آن$\-$گاه $A$ مجموعه$\-$ی تمام انسان$\-$هایی است که دارای این ویژگی هستند و می$\-$توان یک تابع نشانگر تعريف كرد كه برای هر عضو متعلق به $A$ مقدار یک و برای هر عضو غير متعلق به $A$ مقدار صفر را بگيرد، به$\-$عبارتی
\begin{equation*} 
\mathcal{X}_{A}(x)= \left\{
\begin{array}{rl}
1\qquad~~x\in A,\\
0\qquad~x\not \in A.\\
\end{array} \right.
\end{equation*}

امّا انسان$\-$هایی که «بلند قد» هستند، تشکیل یک مجموعه نمی$\-$دهند. زیرا ویژگی بلند قد یک مفهوم و ویژگی دقیق و معیّن و خوش$\-$تعریف نیست و در نتیجه نمی$\-$توانیم راجع$\-$به عضویت و یا عدم عضویت یک انسان مثلاً با طول قد ۱۸۵ سانتی$\-$متر در گردآیه$\-$ی انسان$\-$های «بلند قد» اتفاق نظر داشته باشیم لذا نظريه$\-$ی معمولی مجموعه$\-$ها برای مفاهيمی از اين دست مناسب نمی$\-$باشد و اين نظريه از صورت$\-$بندی اين گونه مفاهيم و ويژگی$\-$ها ناتوان است. از سوی ديگر بيشتر مفاهيم و ويژگی$\-$هايی كه در زندگی روزمره و واقعی با آن$\-$ها سر و كار داريم و بر اساس آن$\-$ها استدلال انجام می$\-$دهيم و تصميم$\-$گيری می$\-$كنيم، مفاهيم نادقيق هستند و مجموعه$\-$هايی با كران$\-$های تقريبی می$\-$باشند. مثلاً زمین$\-$های وسیع، اجناس گران، مسافت$\-$های طولانی و ... همگی از اين نوع مفاهيم می$\-$باشند.\\
نظريه$\-$ی مجموعه$\-$های فازی يک قالب رياضی جديد برای صورت$\-$بندی و تجزيه و تحليل اين مفاهيم و ويژگی$\-$هاست.\\
دیدیم یک روش بسیار مفید در تعریف و نشان دادن یک مجموعه در نظریه$\-$ی مجموعه$\-$های معمولی، استفاده از تابع نشانگر است. حال، اگر برد تابع نشانگر را ازمجموعه$\-$ی دو عضوی 
$\left\lbrace0,1 \right\rbrace$
به بازه$\-$ی 
$\left[ 0,1\right]$
توسعه دهیم، یک تابع عضویت خواهیم داشت که به هر 
$x$
از 
$\textit{،} X$
عددی را از بازه$\-$ی 
$\left[ 0,1\right]$
نسبت می$\-$‌دهد. این تابع را، تابع عضویت $\tilde{A}$ می$\-$نامیم. اکنون $\tilde{A}$ دیگر یک مجموعه$\-$ی معمولی نیست بلکه چیزی است که آن را یک مجموعه$\-$ی فازی می$\-$‌نامیم (به$\-$طور دقیق$\-$تر، یک زیر مجموعه$\-$ی فازی از $X$).\\
بنابراین یک مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$، مجموعه$\-$ای است که درجات عضویت اعضای آن می$\-$تواند به$\-$طور پیوسته از 
$I=\left[ 0,1\right]$
اختیار شود. این مجموعه به$\-$طور کامل و یکتا توسط یک تابع عضویت که آن را با
$ \mu_{\tilde{A}} (x) $
و یا به$\-$طور مختصر به$\-$صورت 
$\tilde{A}(x) $
نشان می$\-$دهیم، مشخص می$\-$شود. تابعی که به هر عنصر از $X$، یک عدد را از بازه$\-$ی 
$\left[ 0,1\right]$
به عنوان درجه$\-$ی عضویت آن عنصر در مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$ نسبت می$\-$دهد تابع عضویت نامیده می$\-$شود. نزدیکی مقدار 
$\tilde{A}(x) $
به عدد یک نشان$\-$دهنده$\-$ی تعلّق بیشتر $x$ به مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$ است و برعکس نزدیکی آن به صفر نشان$\-$دهنده$\-$ی تعلّق کمتر$x$ به $\tilde{A}$ است. به لحاظ شهودی 
$\tilde{A}(x) $
را می$\-$توان درجه$\-$ی پذیرش ما، در قبول $x$ به عنوان عضوی از $\tilde{A}$ در نظر گرفت.

\begin{definition}\label{def8}
زیر مجموعه$\-$ی فازی 
 $ \tilde{A} $
از مجموعه$\-$ی مرجع 
 $ X $
به$\-$صورت زیر نمایش داده می$\-$‌شود 
 \begin{center}
 $ \left\lbrace (x, \tilde{A}(x) )| x\in X \right\rbrace, $
 \end{center}
که 
 $\tilde{A}(x): X \rightarrow \left[ 0,1\right]$
تابع عضویت 
 $ x $
در 
 $\tilde{A}$
است. تابع عضویت از این جهت که برد آن بازه$\-$ی $\left[ 0,1\right]$ می$\-$‌باشد، با یک تابع احتمال تشابه دارد ولی از این جهت که انتگرال (یا اگر $x$ گسسته باشد، مجموع آن) برابر یک نیست، با تابع احتمال تفاوت دارد.
\end{definition}
هرگاه به ازای هر $x \in X$، 
 $\tilde{A}(x)=0 $ 
مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$ را تهی می$\-$نامیم. همچنین برای دو مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$ و $\tilde{B}$،
هرگاه 
 $\tilde{A}(x) \leq \tilde{B}(x)$
گوییم 
$\tilde{A}\subseteq \tilde{B} $.
اگر $x$ كاملاً عضو $\tilde{A}$ باشد، 
$\tilde{A}(x)=1$ و اگر اصلاً عضو $\tilde{A}$ نباشد، $\tilde{A}(x)=0$.\\ 
اجتماع و اشتراک دو مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$
و
$\tilde{B}$ 
به$\-$صورت یک مجموعه$\-$ی فازی با تابع عضویت زیر تعریف می$\-$شود
 \begin{center}
$\forall \ x \in X, \ \ \ (\tilde{A} \cup \tilde{B})(x)= max\{\tilde{A}{(x)} ,\tilde{B}{(x)}\},$
\end{center}
 \begin{center}
$\forall \ x \in X, \ \ \ (\tilde{A} \cap \tilde{B})(x)= min\{\tilde{A}{(x)} ,\tilde{B}{(x)}\}.$
\end{center}
برای نشان دادن یک مجموعه$\-$ی فازی روش$\-$های مختلفی رایج است. یک روش متداول به$\-$کار بردن مستقیم تابع عضویت مجموعه$\-$ی فازی است.
\begin{example}\label{1.3.1}
فرض كنيد 
$X=\{1,2,...,10\}$. 
می$\-$خواهيم يک زیر مجموعه$\-$ی فازی از $X$ تعريف كنيم كه اعضای آن ويژگی نادقیق «حدوداً سه » را داشته باشند. برای مدل$\-$سازی اين مجموعه كافی است تابع عضويت مجموعه$\-$ی فازی را مشخص كنيم. تعيين اين تابع بستگی به نظر تصميم$\-$گيرنده دارد. مثلاً يک تابع عضويت برای مدل$\-$سازی مفهوم فوق اين$\-$گونه است
\begin{center}
$\tilde{A}(x)=\left\lbrace
\begin{array}{c c}
1 &\hspace{-.9cm} x=3\\
0.7&\hspace{-.5cm} x=2,4\\
0.3& \hspace{-.5cm} x=1,5\\
0 & \hspace{.9cm}x=6,7,8,9,10\\
\end{array} \right. $
\end{center}
مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$ را به$\-$صورت زیر نیز نمایش می$\-$دهیم

$$ \tilde{A}=\{\frac{0.3}{1},\frac{0.7}{2},\frac{1}{3},\frac{0.7}{4},\frac{0.3}{5}\}. $$
برای مثال 
$\tilde{A}(4)=0.7$
بدین معنی است که از نظر تصمیم$\-$گیرنده عدد 4 به اندازه$\-$ی 
$0.7$ 
به مجموعه$\-$ی فازی حدوداً سه، تعلق دارد. نمودار این مجموعه$\-$ی فازی را می$\-$توانید در شکل \ref{f.1.1} مشاهده نمایید.
\begin{figure}[htp] 
\hspace{-0.6cm}
\centerline{\includegraphics[width=6cm]{21}}
\caption{\label{f.1.1}\footnotesize نمودار تابع عضویت مثال\ref{1.3.1}}
\end{figure}
\end{example}
\begin{remark}\label{rem1}
گاه در تعيين تابع عضويت يک مجموعه$\-$ی فازی، جنبه$\-$های ذهنی و شخصی بسيار مؤثر است. لذا می$\-$توان توابع عضويت مختلفی را برای مجموعه$\-$ی فازی كه بيانگر يک ويژگی نادقيق (فازی) است، تصور كرد.
\end{remark}
\begin{example}\label{2.3.1}
زیر مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$ از $\mathbb{R}$ نشان$\-$دهنده$\-$ی ویژگی «قدرمطلق عدد نزدیک به $\dfrac{1}{2}$» است. تابع عضویت $\tilde{A}$ را می$\-$توان به$\-$صورت زیر تعریف کرد که نمودار آن در شکل \ref{f.1.2} آمده است.
\begin{equation*}
\tilde{A}(x)=\left\lbrace
\begin{array}{c c}
{0}& x\leq -1\\
1-4(x+\dfrac{1}{2})^2&-1\leq x\leq 0\\
1-4(x-\dfrac{1}{2})^2&0\leq x\leq 1\\
0&x>1.
\end{array}\right.
\end{equation*}
\begin{figure}[htp]
\hspace{-0.6cm} 
\centerline{\includegraphics[width=8cm]{5}}
\caption{\label{f.1.2}\footnotesize نمودار تابع عضویت $\tilde{A}$ در مثال\ref{2.3.1}}
\end{figure}
\end{example}
\begin{definition}\label{def9}
فرض كنيد $X$ يک مجموعه$\-$ی مرجع و $\tilde{A}$ يک مجموعه$\-$ی فازی از آن باشد، تكيه$\-$گاه $\tilde{A}$ به$\-$صورت زير تعريف می$\-$شود
 \begin{equation*}
 supp(\tilde{A})=\lbrace x\in X\vert \tilde{A}(x)>0\rbrace.
 \end{equation*}
همچنين مقدار $M=sup_{x}\tilde{A}(x)$ ارتفاع مجموعه$\-$ی $\tilde{A}$ ناميده می$\-$شود. اگر اين عدد برابر يک باشد، عدد فازی $\tilde{A}$، نرمال و در غير اين صورت زيرنرمال ناميده می$\-$شود. البته هر عدد فازی زير نرمال را می$\-$توان با تقسيم درجات عضويت آن بر ارتفاع $\tilde{A}$ نرمال كرد.
\end{definition}
\begin{example}\label{3.3.1}
در مثال 
 \ref{1.3.1}، $supp(\tilde{A})=\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace$. 
همچنين مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$ يک مجموعه$\-$ی فازی نرمال است.
\end{example}

\section{آلفا$-$برش} 
\begin{definition}\label{def11}
زیر مجموعه$\-$ی (معمولی) از 
 $ X $
که درجه$\-$ی عضویت عناصر آن در مجموعه$\-$ی فازی 
 $\tilde{A}$،
حداقل به بزرگی 
 $ \alpha $
باشد، 
 $ - \alpha $برش 
 $ \tilde{A} $
(مجموعه$\-$ی تراز 
 $ \alpha $
ام 
 $\tilde{A}$)
گوییم و با 
 $\tilde{A}[\alpha]$
نشان می$\-$‌دهیم، یعنی
 \begin{equation*}
 \tilde{A}\left[\alpha \right]=\left\lbrace
 \begin{array}{c c}
 \left\lbrace x\in X~ | ~ \tilde{A}(x) \geq \alpha \right\rbrace 
 &\qquad \qquad 0< \alpha \leq 1,\\
 \\
 \overline{supp(\tilde{A})}&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\alpha=0.
 \end{array}\right.
 \end{equation*}
\end{definition}
هر$\-$گاه نامساوی بالا به صورت اکید باشد، $-\alpha$برش
$ \tilde{A} $
را 
$-\alpha$برش قوی گوییم. 
\begin{example}\label{5.3.1}
مثال 
 \ref{1.3.1} 
را در نظر بگیرید. چندین 
 $-\alpha$برش
 $ \tilde{A} $
عبارتند از 
$$ &\tilde{A}[0.1]=\{1,2,3,4,5\} \ \ , \ \ \tilde{A}[0.3]=\{1,2,3,4,5\} \ \ , \ \
 \tilde{A}[0.7]=\{2,3,4\}, \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ \ \ \ \ \ \ \ \tilde{A}[0.8]=\{3\} \ \ , \ \ \tilde{A}[1]=\{3\}. $$
و همچنین
 \begin{eqnarray*}
 \tilde{A}{[\alpha]}=\left\{
 \begin{array}{lr}
 \{1,2,3,4,5\}& 0.0<\alpha \leq 0.3,\\
 \{2,3,4\}& 0.3<\alpha \leq 0.7,\\
 \{3\}& 0.7<\alpha \leq 1\hspace{.3cm}.\\
 \end{array}\right.
 \end{eqnarray*}
\end{example}
\begin{example}\label{6.3.1}
فرض کنید $\theta=[0,1]$ مجموعه$\-$‌ی مقادیر ممکن برای پارامتر $\theta$ در یک توزیع دوجمله$\-$ای باشد. مجموعه$\-$‌ی فازی $\tilde{A}$ با تابع عضویت زیر یک توصیف برای فرضیه$\-$‌ی فازی «$\theta$ تقریباً $\dfrac{1}{2}$ است» می$\-$باشد.
\begin{eqnarray*}
 \tilde{A}=\left\{
 \begin{array}{lr}
 2\theta & 0<\theta \leq \dfrac{1}{2}\\
 2(1-\theta)& \dfrac{1}{2}<\theta \leq 1\\
 \end{array}\right.
 \end{eqnarray*}
در این مثال $\tilde{A}[\alpha]$ به$\-$صورت زیر به$\-$دست می$\-$آید.
$$ \tilde{A}[\alpha] &=\{\theta \in [0,1]\mid \tilde{A}(\theta)\geq \alpha\}\\
&=\{\theta \in [0,1]\mid 2\theta\geq \alpha ~~ \text{یا} ~~ 2(1-\theta)\geq \alpha\}\\
&=[\dfrac{\alpha}{2},1-\dfrac{\alpha}{2}]$$
نمودار $-\alpha$برش$\-$های آن در شکل \ref{f.1.3} آمده است.
\begin{figure}[htp]
\hspace{-0.6cm} 
\centerline{\includegraphics[width=6cm]{1111}}
\caption{\label{f.1.3}\footnotesize نمودار تابع عضویت $\tilde{A}$ در مثال \ref{6.3.1}}
\end{figure}
\end{example}


\section{اعداد فازی}

یکی از انواع رایج اعداد فازی که در این کار مورد استفاده قرار می‌گیرد عدد فازی ذوزنقه‌ای نام دارد که با $ \tilde{A}=(A^{l},A^{c},A^{s},A^{r})_{T} $ نشان داده می‌شود. 
یکی دیگر از انواع عدد فازی، عدد فازی مثلثی نام دارد که همان عدد فازی ذوزنقه‌ای در حالت $ A^{c}=A^{s} $ می‌باشد که با  $ \tilde{A}=(A^{l},A^{c},A^{r})_{T} $
نشان داده می‌شود. تابع عضویت برای عدد فازی ذوزنقه‌ای $ \tilde{A} $ به صورت زیر به دست می‌آید
\begin{equation*}
\mu_{\tilde{A}}(x)=\left\lbrace
\begin{array}{c c}
0& x< A^{l}\\
\dfrac{x-A^{l}}{A^{c}-A^{l}}&A^{l}\leq x< A^{c}\\
1&A^{c}\leq x< A^{s}\\
\dfrac{A^{r}-x}{A^{r}-A^{s}}&A^{s}\leq x< A^{r}\\
0& x> A^{r}\\
\end{array}\right \rbrace
\forall x \in X.
\end{equation*}
\begin{remark}
اگر $ A^{c}-A^{l}=A^{r},A^{s} $ آنگاه $ \tilde{A} $ یک عدد فازی متقارن گفته می‌شود.
\end{remark}
نوع دیگر از اعداد فازی، اعداد فازی $LR$ می‌باشند كه علاوه بر اين‌كه ساختار ويژه‌ای دارند، برخی اعمال حسابی برای آن‌ها از قواعد خاصی پيروی می‌كند. اين ويژگی باعث شده است كه در كاربردها، اغلب از اين اعداد فازی استفاده شود. 
\begin{definition}
اگر عدد فازی $\tilde{A}$ دارای تابع عضویتی به‌صورت زیر باشد
$$ \tilde{A}(x)=\left\lbrace
 \begin{array}{c c}
 L(\dfrac{m-x}{l}),&x\leq m,\\
 R(\dfrac{x-m}{r}),&x>m,
 \end{array}\right. $$
كه در آن $L$ و $R$ توابعی غير صعودی از $\mathbb{R}^{+}$ به $[0,1]$ هستند و $L(0)=R(0)=1$ ، آن گاه 
 $\tilde{A}$ 
را یک عدد فازی $LR$ نامیده و با نماد 
 $\tilde{A}=(m;l,r)_{LR}$ 
نشان می‌دهیم. 
$L$
و $R$ توابع مرجع (شکل) نامیده می‌شود.
عدد حقيقی $m$ مقدار نما(میانه)، و اعداد مثبت $l$ و $r$ به ترتيب پهنای چپ و پهنای راست $\tilde{A}$ ناميده می‌شوند.\\
$ \alpha $-برش $ \tilde{A} $ به صورت زیر بدست می‌آید
\begin{equation}\label{al2}
\tilde{A}[\alpha]=[\tilde{A}^{L}_{\alpha},\tilde{A}^{U}_{\alpha}]=[m-L^{-1}(\alpha )l,m+R^{-1}(\alpha )r], \qquad\qquad \alpha \in [0,1]. 
\end{equation}

 \end{definition}
نمایش دیگری به‌صورت
$\tilde{A}=(a_{l},a_{m},a_{r})_{LR}$
نیز وجود دارد که در آن $a_{l}$ و $a_{r}$ به ترتيب نقاط انتهایی چپ و راست تکیه$\-$گاه $\tilde{A}$ می‌باشد که در شکل \ref{plot1.2} می‌توان تفاوت این دو را ملاحظه کرد. \\
\begin{figure}[htp] 
\hspace{-1cm}
\centerline{\includegraphics[width=10cm]{pl}}
\caption{\label{plot1.2}\footnotesize نمایش عدد فازی $\tilde{A}$ }
\end{figure}\\
حالت خاصی از اعداد فازی $LR$ ،اعداد فازی مثلثی نام دارد و با $ \tilde{A}=(m; l, r)_{T} $ نشان داده می‌شود که در آن
 \begin{eqnarray*}
 R(x)=L(x)=\max \big\{0, 1-x\big\}= \left\{
 \begin{array}{lr}
 1-x& 0\leq x \leq 1, \\\\
 0& \textit{سایر نقاط}. \\
 \end{array} \right.
 \end{eqnarray*}
تابع عضویت و $ \alpha $-برش آن به صورت بدست می‌آید
$$ \mu _{\tilde{A}}(x)=\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
      0 & x<m-l\\
      \\
	\dfrac{x-m+l}{l}& m-l\leq x< m\\
\\
	\dfrac{a+r-x}{r} & m\leq x\leq m+r\\
	\\
	0 & x>m+r.
	\end{array}\right. $$

$$ \tilde{A}[\alpha]=[m-l(1-\alpha ),m+r(1-\alpha )], \qquad\qquad \alpha \in [0,1]. $$
در صورتی که 
$L=R$ و $l=r$ آن$\-$گاه عدد فازی را متقارن نامیده و با $ \tilde{A}=(m;l )_{L} $ نشان می$\-$دهیم.
\begin{definition}\label{def14}
اگر برای هر $(x \geq 0 ) \ x \leq 0 $، $\tilde{A}{(x)}=0$، عدد فازی $\tilde{A}$ را مثبت (منفی) گوييم. 
\end{definition}
مجموعه$\-$ی همه اعداد فازی را با $F(\mathbb{R})$ نشان می$\-$دهيم. 
مجموعه$\-$ی کل اعداد فازی $LR$ را با $F_{LR}(\mathbb{R})$ نشان می$\-$دهیم. 

اکنون می‌خواهیم یک ترتیب شناخته شده از اعداد فازی را که دراین فصل مورد استفاده قرار می‌گیرد، را بیان کنیم.
\begin{definition}
ویو (2005) فرض کنید $\tilde{A},\tilde{B}\in  F_{LR}(\mathbb{R})$، آنگاه \\
1-$ \tilde{A}=(\neq )\tilde{B} $ اگر $ \tilde{A}^{L}_{\alpha}=(\neq )\tilde{B}^{L}_{\alpha} $ و $ \tilde{A}^{U}_{\alpha}=(\neq )\tilde{B}^{U}_{\alpha} $ برای هر $\alpha \in (0,1] $.\\
2-$ \tilde{A}\preceq (\prec )\tilde{B} $ اگر $ \tilde{A}^{L}_{\alpha}\leq(<)\tilde{B}^{L}_{\alpha} $ و $ \tilde{A}^{U}_{\alpha}\leq(<)\tilde{B}^{U}_{\alpha} $ برای هر $\alpha \in (0,1] $.\\
3-$ \tilde{A}\succeq(\succ )\tilde{B} $ اگر $ \tilde{A}^{L}_{\alpha}\geq(>)\tilde{B}^{L}_{\alpha} $ و $ \tilde{A}^{U}_{\alpha}\geq(>)\tilde{B}^{U}_{\alpha} $ برای هر $\alpha \in (0,1] $.

\end{definition} 
\begin{remark}
توجه داشته باشید اگر پهنای چپ اعداد فازی $ \tilde{A} $ و $ \tilde{B} $ صفر باشند (در این حالت می‌گوییم توابع عضویت $ \tilde{A} $ و $ \tilde{B} $ غیر صعودی می‌باشند ) آنگاه\\ 
1-$ \tilde{A}=(\neq )\tilde{B} $ اگر $ \tilde{A}^{U}_{\alpha}=(\neq )\tilde{B}^{U}_{\alpha} $ برای هر $\alpha \in (0,1] $.\\
2-$ \tilde{A}\preceq (\prec )\tilde{B} $ اگر $ \tilde{A}^{U}_{\alpha}\leq(<)\tilde{B}^{U}_{\alpha} $ برای هر $\alpha \in (0,1] $.\\
3-$ \tilde{A}\succeq(\succ )\tilde{B} $ اگر $ \tilde{A}^{U}_{\alpha}\geq(>)\tilde{B}^{U}_{\alpha} $ برای هر $\alpha \in (0,1] $.
\end{remark}



\section{آلفا$-$شک} 

\begin{definition}\label{d2.2}
لیو (2013) معیاری را برای مقایسه$\-$ی اعداد فازی و اعداد حقیقی معرفی کرده که از آن به عنوان درجه$\-$ی اعتبار، میزان کوچکی عدد فازی $\tilde{A}$ نسبت به مقدار حقیقی $x$
یاد کرده و به$\-$صورت زیر نمایش داده است 
$$ C:F(\mathbb{R})\rightarrow[0,1], $$
که در آن
$$ C(\tilde{A}\leq x)=\dfrac{\sup_{y\leq x}\tilde{A}(y)+1-\sup_{y>x}\tilde{A}(y)}{2}. $$
برخی ویژگی$\-$های معیار فوق عبارتست از:\\
$ C(\tilde{A}\leq x)=1~~\Leftrightarrow ~~ \tilde{A}^U[0]\leq x~~ -1$\\
$C (\tilde{A}>x)=1-C (\tilde{A}\leq x)~~~~~~~~-2$\\
3- برای هر $\tilde{A}\in F_{LR}(\mathbb{R})$ تابع $C_{\tilde{A}}(x)=C(\tilde{A}\leq x)$ نسبت به $x$ غیر نزولی است، یعنی برای هر $x_1\leq x_2$ داریم $C_{\tilde{A}}(x_1)\leq C_{\tilde{A}}(x_2)$. 
\end{definition}
\begin{definition}\label{d3.2}
بزرگ$\-$ترین کران پایین مجموعه$\-$ی تمام عناصری از تکیه$\-$گاه مجموعه$\-$ی فازی $\tilde{A}$ را که تابع درجه$\-$ی اعتبار 
 آن$\-$ها حداقل به بزرگی $\alpha$ باشد، 
$-\alpha$شک $\tilde{A}$ نامیده و با 
 $\tilde{A}_\alpha$  
 نمایش می$\-$دهیم، یعنی
$$  \tilde{A}_\alpha=\inf\{x\in supp(\tilde{A}) | C(\tilde{A}\leq x)\geq \alpha \} $$
 که $\tilde{A}_\alpha$ برای $\alpha\in (0,1]$ یک تابع غیر نزولی است. برای جزئیات بیشتر به پنگ و لیو (2004) مراجعه شود.
\end{definition}
فرض کنید $\tilde{A}=(m,l,r)_{LR}$ یک عدد فازی $LR$ و $x\in \mathbb{R}$ باشد، تابع درجه$\-$ی اعتبار آن به$\-$صورت زیر است 
$$ C(\tilde{A}\leq x)=\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
      0 & x<m-l\\
      \\
	\dfrac{1}{2}L(\dfrac{m-x}{l}) & m-l\leq x\leq m\\
\\
	1-\dfrac{1}{2}R(\dfrac{x-m}{r}) & m\leq x\leq m+r\\
	\\
	1 & x>m+r.
	\end{array}\right. $$
و همچنین $-\alpha$شک آن عبارتست از
\begin{equation}\label{al3}
\tilde{A}_\alpha =\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
    \hspace{-0.95cm}  m-lL^{-1}(2\alpha)& 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
	m+rR^{-1}(2(1-\alpha))& 0.5< \alpha < 1.0
	\end{array}\right. 
	\end{equation}

حال فرض کنید $\tilde{A}=(m,l,r)_{T}$ یک عدد فازی مثلثی باشد، تابع درجه‌ی اعتبار آن و همچنین $-\alpha$شک آن عبارتست از 
$$ C(\tilde{A}\leq x)=\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
      0 & x<m-l\\
      \\
	\dfrac{x-a+l}{2l} & m-l\leq x\leq m\\
\\
	\dfrac{x-m+r}{2r} & m\leq x\leq m+r\\
	\\
	1 & x>m+r
	\end{array}\right. $$
\\
\begin{center}
	$ \tilde{A}_\alpha =\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
      m-l(1-2\alpha)& 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
	m-r(1-2\alpha))& 0.5< \alpha < 1.0
	\end{array}\right. $
	\end{center}


\begin{example}\label{9.3.1}
فرض کنید $\tilde{A}$ یک عدد فازی مثلثی به$\-$صورت 
$\tilde{A}=(5;3,2)_T$
باشد. در این صورت تابع درجه$\-$ی اعتبار و $-\alpha$شک آن به$\-$صورت زیر به$\-$دست می$\-$آید
$$ C(\tilde{A}\leq x)=\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
      0 & x<2\\
      \\
	\dfrac{x-2}{6} & 2\leq x\leq 5\\
\\
	\dfrac{x-3}{4} & 5\leq x\leq 7\\
	\\
	1 & x>7
	\end{array}\right. $$\\
$$ \tilde{A}_\alpha =\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
      5-3(1-2\alpha)& 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
	5-2(1-2\alpha)& 0.5< \alpha < 1.0
	\end{array}\right. $$\\
نمودارهای تابع عضویت، درجه$\-$ی اعتبار و $-\alpha$شک $\tilde{A}$ را در شکل \ref{plot2.2} مشاهده می‌کنید.
\newpage
\begin{figure}[htp] 
\hspace{-1cm}
\centerline{\includegraphics[width=12cm]{0002}}
\caption{\label{plot2.2}\footnotesize نمودار $\tilde{A}$، $\tilde{A}_{\alpha}$ و $C_{\tilde{A}}$  در مثال \ref{9.3.1}}
\end{figure}
\end{example}

\begin{remark}\label{rem2}
اگر $\tilde{A},\tilde{B}\in  F_{LR}(\mathbb{R})$.
 آن$\-$گاه:\\
 الف) $(\tilde{A}\oplus \tilde{B})_\alpha=\tilde{A}_\alpha +\tilde{B}_\alpha$\\
  ب) $(\tilde{A}\otimes \tilde{B})_\alpha\simeq\tilde{A}_\alpha \times\tilde{B}_\alpha~$
\end{remark}
%%%%%%%%%%
\section{متغیر تصادفی فازی}
در این قسمت، بر اساس تعریف \ref{d3.2}، ما یک مفهوم جدیدی از متغیر تصادفی فازی را معرفی می‌کنیم.
\begin{definition}\label{d4.3}
فرض کنید یک آزمایش تصادفی توسط فضای احتمال $ (\Omega,\mathbb{A},P) $ توصیف شده باشد. که در آن $ \Omega $ مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن آزمایش، $ \mathbb{A} $ یک 
$ \sigma $-جبراز زیر مجموعه های $ \Omega $ و $ P $ اندازه احتمال در فضای اندازه پذیر $ (\Omega,\mathbb{A}) $ می‌باشد.
نگاشت فازی $ \tilde{X}:\Omega \longrightarrow F(\mathbb{R}) $ یک متغیر تصادفی فازی نامیده می‌شود اگر برای هر $ \alpha \in [0,1] $، اگر نگاشت حقیقی 
$ \tilde{X}_{\alpha}:\Omega \longrightarrow F(\mathbb{R}) $ یک متغیر تصادفی حقیقی روی $ (\Omega,\mathbb{A},P) $ باشد.
\end{definition}
\begin{remark}\label{remark2.3}
کواکرناک (1978و1979) مفهوم متغیرهای تصادفی فازی را معرفی کرد و پس از آن کروز و میر (1987) مفهوم متغیر تصادفی را با اندکی تغییر به صورت زیر تعریف کردند\\
نگاشت $ \tilde{X}:\Omega \longrightarrow F(\mathbb{R}) $ یک متغیر تصادفی فازی گفته می‌شود، اگر برای هر  $ \alpha \in [0,1] $ نگاشت‌های حقیقی 
$ \tilde{X}^{L}_{\alpha}:\Omega \longrightarrow \mathbb{R} $ و $ \tilde{X}^{U}_{\alpha}:\Omega \longrightarrow \mathbb{R} $ متغیر تصادفی حقیقی باشند.
\end{remark}
\begin{remark}
 در این کار فرض بر این است که تمام متغیرهای تصادفی از فضای احتمال $ (\Omega,\mathbb{A},P) $ باشد.
 \end{remark}
\begin{lemma}
فرض کنید $ \tilde{X}:\Omega   \longrightarrow  F(\mathbb{R}) $ یک متغیر تصادفی فازی باشد، می‌توان مشاهده کرد که بر اساس تعریف متغیر تصادفی فازی ارائه شده براساس $ \alpha $-شک، روابط زیر بین $ \alpha $-شک و $ \alpha $-برش متغیر تصادفی فازی برقرار است

$$ \tilde{X}[\alpha]=\biggr[\tilde{X}_{\dfrac{\alpha}{2}},\tilde{X}_{1-\dfrac{\alpha}{2}}\biggr] $$ 

	$$\tilde{X}_\alpha =\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
      X^L_{2\alpha}& 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
	X^U_{2(1-\alpha)}& 0.5\leq \alpha < 1.0
	\end{array}\right. $$
\begin{proofname}
فرض کنید $ \tilde{X}:\Omega   \longrightarrow  F_{LR}$ متغیر تصادفی فازی از فضای نمونه‌ای به اعداد فازی $ LR $ در $ \mathbb{R} $ باشد که به  صورت $ \tilde{X}=(a,l,r)_{LR} $ نشان می‌دهیم.
با توجه به روابط (\ref{al2}) و (\ref{al3}) داریم: 
$$ \tilde{A}_\alpha =\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
    \hspace{-0.95cm}  a-lL^{-1}(2\alpha)& 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
	a+rR^{-1}(2(1-\alpha))& 0.5< \alpha < 1.0
	\end{array}\right.  $$
و همچنین 
$$\tilde{X}^{L}_{\alpha}= a-lL^{-1}(\alpha ),\tilde{X}^{U}_{\alpha}=a+rR^{-1}(\alpha ), \qquad\qquad \alpha \in [0,1] $$







$$ \tilde{A}[\alpha]=\biggr[\tilde{A}_{\dfrac{\alpha}{2}},\tilde{A}_{1-\dfrac{\alpha}{2}}\biggr] $$ 

	$$\tilde{A}_\alpha =\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
      A^L[2\alpha]& 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
	A^U[2(1-\alpha)]& 0.5< \alpha < 1.0
	\end{array}\right. $$
\end{proofname}
\end{lemma}
%%%%%%%%%%
\section{اندازه اعتبار} 
\begin{definition}
فرض کنید $ \Theta $ یک مجموعه ناتهی و $ P $ مجموعه توانی $ \Theta $ باشد. هر عنصر در $ P $ یک رویداد نامیده می‌شود. تابع مجموعه‌ای $ Cr $ اندازه اعتبار نامیده می‌شود اگر بدیهیات زیر برقرار باشد:\\
1-(نرمال بودن)
$ \qquad $         $ Cr\lbrace \Theta \rbrace =1 $
\\2-(یک ‌نواختی‌)
$ \qquad $ $  Cr\lbrace A \rbrace \leq  Cr\lbrace B \rbrace \Leftarrow A\subset B $
\\3-(خود دوگانگی)
$ \qquad $ $ Cr\lbrace A \rbrace +  Cr\lbrace A^{c}\rbrace \equiv 1\qquad \forall A $
\\4-(ماکسیمالیتی)
$ \qquad $ $ Cr\lbrace \displaystyle \bigcup_{i} A_{i} \rbrace = \displaystyle \sup _{i} Cr\lbrace A_{i} \rbrace $
\\برای هر رویداد $ \lbrace A_{i} \rbrace $ که در شرط $ \displaystyle \sup _{i} Cr\lbrace A_{i} \rbrace <0.5 $\\
 $ Cr\lbrace A \rbrace $ اعتبار رخ دادن رویداد $ A $ را نشان می‌دهد. سه‌گانه $ (\Theta,P,Cr) $ فضای اعتبار نامیده می‌شود. 
\end{definition}

\begin{definition}
متغیر فازی تابعی اندازه پذیر از فضای اعتبار $ (\Theta,P,Cr) $ به مجموعه اعداد حقیقی است.
\end{definition}

\begin{remark}
هر تابع از متغیر‌های فازی تعریف شده روی فضای اعتبار دوباره یک متغیر فازی است.به عنوان مثال مجموع دو یا چند متغیر فازی دوباره یک متغیر فازی است.
\end{remark}

\begin{definition}
تابع عضویت متغیر فازی $ \xi $ روی فضای اعتبار $ (\Theta,P,Cr) $ به صورت زیر می‌باشد
$$ \mu (x)=\min(2Cr\lbrace \xi=x \rbrace , 1) \qquad x \in \mathbb{R}  $$
\end{definition}

\begin{theorem}
(وارون قضیه اعتبار) فرض کنید $ \xi $ یک متغیر فازی با تابع عضویت $ \mu $ باشد. آنگاه برای هر $ B $ از اعداد حقیقی، 
$$ Cr\lbrace \xi \in B \rbrace =\frac{1}{2}(\displaystyle \sup _{x \in B}\mu (x)+1-\displaystyle \sup _{x \in B^{c}}\mu (x))  $$
\end{theorem}

\begin{definition}
توزیع اعتبار متغیر فازی$ \xi  $ به صورت زیر تعریف می‌شود
$$ \Phi (x)=Cr \lbrace \theta \in \Theta |\xi (\theta)\leq x \rbrace  $$
\end{definition}

\begin{definition}
امید ریاضی متغیر فازی$ \xi  $ به صورت زیر تعریف می‌شود
$$ E(\xi)=\int ^{+\infty}_{0} Cr\lbrace \xi\geq r \rbrace dr-\int_{-\infty}^{0} Cr\lbrace \xi\leq r \rbrace dr $$
\end{definition}

\begin{definition}
واریانس متغیر فازی$ \xi  $ به صورت زیر تعریف می‌شود
$$ V(\xi)= E(\xi-e)^{2}=\int ^{+\infty}_{0} Cr\lbrace (\xi-e)^{2} \geq r \rbrace dr $$
واریانس یک متغیر فازی گسترش تابع عضویت در اطراف امید ریاضی را نشان می‌دهد.
\end{definition}

\begin{definition}
(مقایسه متغیرهای تصادفی)
فرض کنید $ \xi $ و $ \eta $ دو متغیر فازی تعریف شده روی فضای اعتبار $ (\Theta ,P,Cr) $ باشد. آنگاه:\\
1-$ \xi \succ \eta $ $ \Longleftrightarrow $ $ E[\xi]>E[\eta] \mbox{یا} E[\xi]=E[\eta] \mbox{و} V(\xi)<V(\eta)$\\
2-$ \xi \prec \eta $ $ \Longleftrightarrow $ $ E[\xi]<E[\eta] \mbox{یا} E[\xi]=E[\eta] \mbox{و} V(\xi)>V(\eta)$\\
3-$ \xi \sim \eta $ $ \Longleftrightarrow $ $ E[\xi]=E[\eta] \mbox{و} V(\xi)=V(\eta)$\\

و می گوییم$ \xi $ بزرگتر مساوی $ \eta $ است اگر و تنها اگر شرط $  1$ و$  3$ همزمان برقرار باشند و می گوییم$ \xi $ کوچکتر مساوی $ \eta $ است اگر و تنها اگر شرط $ 2 $ و $ 3 $ همزمان برقرار باشند . 
\end{definition}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
\chapter{ آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون در محیط فازی}
\pagenumbering{arabic}
\vspace*{1cm}
\section*{مقدمه}
در اين فصل ابتدا آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون را در حالت کلاسیک بیان می‌کنیم سپس با بیان یکسری مفاهیم فازی آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون را برای حالتی که مشاهدات و فرضیه‌ها فازی باشند یک بار با استفاده از مفهوم $ \alpha $-برش و سپس با استفاده از مفهوم تئوری اعتبار گسترش می دهیم.
\section{آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون کلاسیک}\label{s1.1}
فرض کنید $ X_{n},...,X_{1} $ یک نمونه تصادفی با مقادیر مشاهده شده$ x_{n},...,x_{1} $  از تابع توزیع متقارن و پیوسته $ F_{X} $ با میانه $ M_{X} $ باشد. فرضیه صفر مربوط به مقدار میانه به صورت $ H_{0}:M_{X}=M_{0} $ است که در آن $ M_{0} $ میانه متغیر‌ تصادفی $ X $ است. اگر $ r(.) $ رتبه هر مشاهده باشد، می‌توان آماره آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون را به صورت زیر نوشت: 
\begin{equation}
T^{+}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}r(\vert d_{i}\vert)I(d_{i}>0)
\end{equation}
که در آن $ d_{i}=x_{i}-M_{0} $ و $ I $ تابع نشانگر فرم زیر است:
\begin{center}
$ I(\rho)=\left \lbrace \begin{array}{l}
 1 \qquad  \rho \in Z \\
0 \qquad \ {\mbox{موارد سایر}}
\end{array} \right.
\qquad \qquad \forall \rho\in Z $
\end{center}
منطق مناسب برای رد فرضیه صفر در سطح معنی داری $ \delta $ برای آزمون فرضیه $ H_{0}:M_{X}=M_{0} $ در جدول \ref{t1.1} نشان داده شده است (گیبونز و چاکرابورتی 2003).
\begin{table}[H]
\small
\centering
 \begin{tabular}[c]{|c c| c|}
 \hline
 ناحیه رد  & \qquad\qquad & فرضیه مقابل  \\ 
\hline
$T^{+}\geq C_{\delta} (C_{\delta}=min \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \delta \rbrace )$ & \qquad\qquad & $ M_{X}>M_{0}  $ \\
\hline
$T^{+}\leq C^{\prime}_{\delta} (C^{\prime}_{\delta}=min \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \delta \rbrace )$ & \qquad\qquad& $ M_{X}<M_{0}  $\\ 
\hline
$T^{+}\leq C\prime_{\delta /2}  or  T^{+}\geq C_{\delta /2}$ & \qquad\qquad & $ M_{X}\neq M_{0} $\\
\hline
 \end{tabular}
 \caption{ ناحیه رد آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون}\label{t1.1}
 \end{table}
 توجه داشته باشید تحت فرض صفر، از جایی که
 $$ E_{H_{0}}(T^{+})=\displaystyle \sum^{n}_{i=1}r(|d_{i}|)E(I(d_{i}>0))\displaystyle \frac{\underline{{I(d_{i}>0)\sim B(0,1)}}}{}\dfrac{1}{2}\sum r(|d_{i}|)=\dfrac{n(n+1)}{4} $$
  و توزیع $ T^{+} $ حول $ E_{H_{0}}(T^{+}) $
   متقارن است  لذا:
 \begin{center}
$ C_{\delta /2}=2E_{H_{0}}(T^{+}) - C^{\prime}_{\delta /2}= n(n+1)/2 - C^{\prime}_{\delta /2}$
\end{center}
برای نمونه‌های با حجم بزرگ $ (n>15) $ آماره آزمون به شکل زیر است:
\begin{equation}
 Z=\dfrac{T^{+}-n(n+1)/4}{\sqrt {2n(n+1)(2n+1)/48}} 
\end{equation}
که توزیع آن تحت فرض صفر تقریبا نرمال استاندارد است. منطق رد مناسب برای فرضیه صفر با استفاده از تقریب نرمال در جدول \ref{t1.2} نشان داده شده است (گیبونز و چاکرا بورتی2003).
\begin{table}[H]
\small
\centering
 \begin{tabular}[c]{c c c}
 \hline
 ناحیه رد  & \qquad\qquad\qquad & فرضیه مقابل  \\ 
 \\
 \hline
$T^{+}\geq C_{\delta}  (C_{\delta}=min \lbrace t : \Phi(\dfrac{t-n(n+1)/4-0.5}{\sqrt{2n(n+1)(2n+1)/48}})\geq 1-\delta \rbrace) $ & \qquad\qquad\qquad & $ M_{X}>M_{0}  $ \\
\\
\hline
$T^{+}\leq C^{\prime}_{\delta}  (C^{\prime}_{\delta}=min \lbrace t : \Phi(\dfrac{t-n(n+1)/4-0.5}{\sqrt{2n(n+1)(2n+1)/48})}\leq \delta \rbrace) $ & \qquad\qquad\qquad & $ M_{X}<M_{0}  $ \\
\\
\hline
$T^{+}\leq C\prime_{\delta /2}  or  T^{+}\geq C_{\delta /2}$ & \qquad\qquad\qquad & $ M_{X}\neq M_{0} $ \\
\\
\hline
 \end{tabular}
 \caption{ ناحیه رد آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون برای نمونه‌های بزرگ }\label{t1.2}
 \end{table}
 که در آن $ \Phi $ نشان دهنده تابع توزیع تجمعی نرمال است.
در عمل مشاهدات برابر $ M_{0} $ نادیده گرفته شده است. در حالتی که  $ |d_{i}|=|d_{j}| $ برای حداقل یک $ i \neq j $ ، مشاهدات گره خورده نامیده می‌شوند. برای حل مشکل گره از میانگین رتبه $ |d_{i}| $ به جای رتبه  آن استفاده خواهیم کرد. مثلا وقتی دو عنصر دارای $ |d_{i}| $ برابر هستند با رتبه $ m $ و $ m+1 $ رتبه هر دو عنصر برابر $ m+\dfrac{1}{2} $ در نظر گرفته می‌شود.
\\
 \section{آزمون رتبه علامت ویلکاکسون برای نمونه های زوجی}
 آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون برای نمونه زوجی در واقع همان آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون تک نمونه ای برای جامعه $ X_{i}-Y_{i} $  است. با توجه به نمونه تصادفی $ n $ زوجی $ (X_{n},Y_{n}),...,(X_{1},Y_{1}) $ فرض می‌کنیم که $ (X_{n}-Y_{n}),...,(X_{1}-Y_{1}) $ مشاهدات مستقل از جامعه تفاضل پیوسته و متقارن با میانه $ M_{0} $ باشند. فرض کنید $ (x_{n}-y_{n}),...,(x_{1}-y_{1}) $ نمونه تصادفی $ n $ زوجی باشد. به این ترتیب برای آزمون فرضیه $ H_{0}:M_{D}=M_{0} $ می‌توانیم از $ n $ تفاضل $ d_{i}=x_{i}-y_{i}-M_{0} $ استفاده کنیم. مراحل فوق برای حالت یک نمونه ای به همین صورت قابل تعمیم است، که در اینجا باید $ M_{D} $ به عنوان اختلاف مشاهدات از میانه جامعه تفسیر شود.
\begin{example}
مشاهدات زیر نمرات $ 16 $ دانش‌آموز می‌باشد. می‌خواهیم با استفاده از آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون فرضیه $ H_{0}:M=17 $ در مقابل $ H_{0}:M\neq 17 $ آزمون کنیم. $ (\delta=0.05) $
\\
$ 18,17,13,19,17,15,14,18,19,20,12,18,16,15,16,20 $ 
\\
\begin{table}[H]
\small
\centering
 \begin{tabular}[c]{|c|c|c|c|}
 \hline
 \qquad $ r(|d_{i}|) $ \qquad & \qquad $ |d_{i}| $\qquad & \qquad $ d_{i} $\qquad & \qquad $ X_{i} $\qquad  \\ 
\hline
$3$ & $ 1 $ & $ 1 $ & $ 18 $ \\
\hline
$-$ & $ 0 $ & $ 0 $ & $17 $ \\
\hline
$13$ & $ 4 $ & $ -4 $ & $ 13 $ \\
\hline
$7.5$ & $ 2 $ & $ 2 $ & $ 19 $ \\
\hline
$-$ & $ 0 $ & $ 0 $ & $ 17 $ \\
\hline
$7.5$ & $ 2 $ & $ -2 $ & $ 15 $ \\
\hline
$11$ & $ 3 $ & $ -3 $ & $ 14 $ \\
\hline
$3$ & $ 1 $ & $ 1 $ & $ 18 $ \\
\hline
$7.5$ & $ 2 $ & $ 2 $ & $ 19 $ \\
\hline
$11$ & $ 3 $ & $ 3 $ & $ 20 $ \\
\hline
$14$ & $ 5 $ & $ -5 $ & $ 12 $ \\
\hline
$3$ & $ 1 $ & $ 1 $ & $ 18 $ \\
\hline
$3$ & $ 1 $ & $ -1 $ & $ 16 $ \\
\hline
$7.5$ & $ 2 $ & $ -2 $ & $ 15 $ \\
\hline
$3$ & $ 1 $ & $ -1 $ & $ 16 $ \\
\hline
$11$ & $ 3 $ & $ 3 $ & $ 20 $ \\
\hline
 \end{tabular}
 \caption{   }\label{t1.3}
 \end{table}
 لذا داریم: 
\begin{center}
$ T^{+}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}r(\vert d_{i}\vert)I(d_{i}>0) = 46 $
\end{center}
با توجه به جدول \ref{t1.2} مقدار $ p-value $ برابر $ 0.706 $ است لذا فرض صفر را رد می‌کنیم.
\end{example}
\section{آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون فازی با استفاده از مفهوم $ -\alpha $برش}
 فرض کنید یک نمونه تصادفی فازی از مشاهدات $\tilde{x}_{n},..., \tilde{x}_{1} $ از یک جامعه با با توزیع تجمعی متقارن و پیوسته $ F_{X} $ باشند (کروز و میر(1987) ؛پوری و رالسکو (1986)).
در این بخش به ارائه یک روش برای آزمون فرضیه در مورد میانه بر اساس مشاهدات فازی می‌پردازیم و یک آماره آزمون فازی و یک مقدار بحرانی فازی خواهیم ساخت.
\begin{definition}\label{d1.1}
مسئله آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون را بر اساس مشاهدات فازی 
$ \tilde{x}_{n},..., \tilde{x}_{1} $
در نظر بگیرید. آماره آزمون  رتبه-علامت ویلکاکسون فازی که با   $ T^{+} $ نشان داده می‌شود، به صورت یک زیر مجموعه روی مجموعه $ \lbrace 0,0.5,1,...,n(n+1)/2 \rbrace $
با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود:
\begin{equation}
 \mu_{T^{\thicksim +}}(t)=\displaystyle \sup_{\alpha\in [0,1]} \alpha I(t\in \lbrace (\tilde{T}^{\ +})^{L}_{\alpha},...,(\tilde{T}^{+})^{U}_{\alpha} \rbrace)
\end{equation}
که در آن:
$$ (\tilde{ T}^{ +})^{L}_{\alpha}=\min \lbrace \displaystyle \inf _{\beta \geq\alpha} g^{L}(\beta) , \displaystyle \inf _{\beta \geq\alpha} g^{U}(\beta) \rbrace $$ 
$$ (\tilde{T}^{+})^{U}_{\alpha}=\max \lbrace \displaystyle \sup _{\beta \geq\alpha} g^{L}(\beta) , \displaystyle \sup_{\beta \geq\alpha} g^{U}(\beta) \rbrace $$
  
که در آن:
$$ g^{L}(\beta )=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} r(|(\tilde{x}_{i})^{L}_{\beta}- M_{0}|) I[(\tilde{x}_{i})^{L}_{\beta}> M_{0}]  $$
$$ g^{U}(\beta )=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} r(|(\tilde{x}_{i})^{U}_{\beta}- M_{0}|) I[(\tilde{x}_{i})^{U}_{\beta}> M_{0}] $$

\end{definition}
توجه داشته باشید که در هر سطح $ \alpha \in [0,1] $،از روش میانگین رتبه ها (بخش قبل) برای مقابله با مشاهدات گره خورده استفاده می کنیم. بنابراین تکیه گاه آماره آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون فازی بصورت $ \lbrace 0,0.5,1,...,n(n+1)/2 \rbrace $ می باشد.درهمین حال رتبه بندی پایین و بالای $ \alpha $-برش مشاهدات فازی به طور جداگانه در نظر گرفته می شود.
\begin{remark}
لازم به ذکر است که اگر مشاهدات فازی $ \tilde{x}_{n},...,\tilde{x}_{1} $ به مشاهدات معلوم $ x_{n},...,x_{1} $ تبدیل شوند 
آنگاه برای هر $ \alpha\in [0,1] $ :
$$ (\tilde{T}^{+})^{L}_{\alpha}=(\tilde{T}^{+})^{U}_{\alpha}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}r(\vert d_{i}\vert)I(d_{i}>0)={T}^{+}  $$
\end{remark}
\subsection{مقدار بحرانی فازی}
در آزمون فرض کلاسیک، روش معمول برای پذیرش یا رد فرضیه صفر مورد نظر، این است که مقدار آماره آزمون مشاهده شده را با ناحیه بحرانی مربوط مقایسه کنیم. در این قسمت با معرفی مفهوم مقدار بحرانی فازی، روش‌های کلاسیک را به حالتی که داده‌های موجود فازی هستند و سطح معنی داری توسط یک زیر مجموعه فازی مانند $ \tilde{\delta} $ بدست می آید، تعمیم خواهیم داد. 
\\
برای روشن شدن انگیزه تعریف، روشی برای آزمون $ H_{0}:M_{X}=M_{0} $ در مقابل $ H_{1}:M_{X}<M_{0} $ شرح می‌دهیم.
با توجه به جدول \ref{t1.1} فرض صفر رد می‌شود اگر $ T^{+}\leq C^{\prime}_{\delta} $.
 حال فرض کنید که سطح معنی داری توسط عدد فازی $ \tilde{\delta} $
 داده شده است 
(برای مثال، فرض کنید$ \tilde{\delta}=(\delta^{l},\delta^{c},\delta^{r})_{T} $).
توجه داشته باشید که برای هر $ \delta \in \tilde{\delta}[\alpha]=[\tilde{\delta}^{L}_{\alpha},\tilde{\delta}^{U}_{\alpha}] $
 می‌توان به طور متناظر یک مقدار بحرانی معلوم $ C^{\prime}_{\delta} $ بدست آورد. از این رو برای هر $ \alpha $-برش از سطح معنی داری $ \tilde{\delta} $ می‌توانیم مجموعه ای از مقادیر بحرانی فازی $ \lbrace (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha},...,(\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}\rbrace $ بدست آوریم که در آن:

$$ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha}=\displaystyle\inf_{\delta\in \tilde{\delta}[\alpha] } \max\lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \delta \rbrace=\max \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \tilde{\delta}^{L}_{\alpha}\rbrace  $$
$$ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}=\displaystyle\sup_{\delta\in \tilde{\delta}[\alpha] } \max\lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \delta \rbrace=\max \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \tilde{\delta}^{U}_{\alpha}\rbrace  $$
البته برای نمونه ای به حجم $ n $، می‌توان با استفاده از تقریب نرمال $ P_{H_{0}} $ را بدست آورد. از این رو، می‌توانیم با استفاده از تطبیق نتیجه برای مجموعه‌های فازی (لی (2005)) مقدار بحرانی فازی را به صورت زیر تعریف کنیم.
\begin{definition}\label{d2.1}
در مسئله آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون $ H_{0}:M_{X}=M_{0} $ در مقابل $ H_{1}:M_{X}<M_{0} $ در سطح معنی داری فازی $ \tilde{\delta} $، مقدار بحرانی فازی به صورت زیر مجموعه‌ای فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود:
\begin{center}
$ \mu _{\tilde{C}_{\tilde{\delta}}}(t)=\displaystyle\sup_{\alpha\in [0,1]} \alpha I(t \in  \lbrace (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha},...,(\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}\rbrace  ) $
\end{center}
که در آن:
\begin{center}
$ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha}=\max \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \tilde{\delta}^{L}_{\alpha}\rbrace  $\\
$ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}=\max \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \tilde{\delta}^{U}_{\alpha}\rbrace  $
\end{center}
\end{definition}

\begin{definition}\label{d3.1}
در مسئله آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون $ H_{0}:M_{X}=M_{0} $ در مقابل $ H_{1}:M_{X}>M_{0} $ در سطح معنی داری فازی $ \tilde{\delta} $، مقدار بحرانی فازی به صورت زیر مجموعه‌ای فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود:
\begin{center}
$ \mu _{\tilde{C}_{\tilde{\delta}}}(t)=\displaystyle\sup_{\alpha\in [0,1]} \alpha I(t \in  \lbrace (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha},...,(\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}\rbrace  ) $
\end{center}
که در آن:
\begin{center}
$ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha}=\displaystyle\inf_{\delta\in \tilde{\delta}[\alpha] } \min \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \delta \rbrace=\min\lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \tilde{\delta}^{U}_{\alpha}\rbrace  $
\\
  $ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}=\displaystyle\sup_{\delta\in \tilde{\delta}[\alpha] } \max\lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \delta \rbrace=\min \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \tilde{\delta}^{L}_{\alpha}\rbrace  $
\end{center}
\end{definition}

\begin{definition}\label{d4.1}
در مسئله آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون $ H_{0}:M_{X}=M_{0} $ در مقابل $ H_{1}:M_{X}\neq M_{0} $ در سطح معنی داری فازی $ \tilde{\delta} $، کران بالا و پایین مقدار بحرانی فازی به صورت زیر مجموعه‌ای فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود.\\
کران پایین مقدار بحران فازی:

\begin{center}
$ \mu _{\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}}}(t)=\displaystyle\sup_{\alpha\in [0,1]} \alpha I(t \in  \lbrace (\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha},...,(\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}\rbrace  ) $
\end{center}
که در آن:
\begin{center}
$ (\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha}=\max \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \tilde{\delta}^{L}_{\alpha}/2\rbrace  $\\
$ (\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}=\max \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \tilde{\delta}^{U}_{\alpha}/2\rbrace  $
\end{center}
کران بالای مقدار بحرانی فازی:
\begin{center}
$ \mu _{\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}}}(t)=\displaystyle\sup_{\alpha\in [0,1]} \alpha I(t \in  \lbrace (\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha},...,(\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}\rbrace  ) $
\end{center}
که در آن:
\begin{center}
$ (\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha}=\min \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \tilde{\delta}^{U}_{\alpha}/2\rbrace  $\\
$ (\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}=\min \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \tilde{\delta}^{L}_{\alpha}/2\rbrace  $
\end{center}
\end{definition}
\begin{remark}
از جایی که $ T^{+} $ حول $ \dfrac{n(n+1)}{2} $ متقارن است، لذا داریم:
\begin{center}
$ \min \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \tilde{\delta}^{U}_{\alpha}/2\rbrace =n(n+1)/2 - \max \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \tilde{\delta}^{U}_{\alpha}/2\rbrace   $\\
$ \min \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\geq t)\leq \tilde{\delta}^{L}_{\alpha}/2\rbrace=n(n+1)/2 - \max \lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \tilde{\delta}^{L}_{\alpha}/2\rbrace  $
\end{center}
از این رو تابع عضویت کران بالای مقدار بحرانی فازی را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
\begin{center}
$ \mu _{\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}}}(t)=\displaystyle\sup_{\alpha\in [0,1]} \alpha I(t \in  \lbrace n(n+1)/2 - (\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha},..., n(n+1)/2 - (\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha}\rbrace  ). $
\end{center}
در حقیقت، $ \tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}}=n(n+1)/2 \ominus \tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}} $. توجه داشته باشید که $ \ominus $ نشان دهنده عملگر تفریق عمومی است که برای عدد معلوم $ c $ و زیر مجموعه فازی $ \tilde{N} $،به عنوان زیر مجموعه ای فازی با تابع عضویت $ (c\ominus \tilde{N})(y)=\sup_{x;y=c-x} \mu_{\tilde{N}(x)} $ تعریف می‌شود (لی (2005)).
\end{remark}
\begin{remark}
اگر سطح معنی داری فازی عددی معلوم باشد آنگاه مقادیر بحرانی فازی در تعریف قبل به حالت کلاسیک تبدیل می‌شود. به عنوان مثال در تعریف 2 اگر مقدار بحرانی فازی $ \tilde{\delta} $ به $ \delta $ معلوم تبدیل شود، آنگاه برای هر $ \alpha \in [0,1] $ داریم:
\begin{center}
$ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha} =(\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha}= \max\lbrace t : P_{H_{0}}(T^{+}\leq t)\leq \delta \rbrace=C_{\delta}. $
\end{center}
\end{remark}
\subsection{روش تصمیم گیری}
مسئله آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون برای مشاهدات نادقیق در سطح معنی داری فازی را در نظر بگیرید. می‌توان انتظار داشت که برای آزمون $ H_{0}:M_{X}=M_{0} $ در مقابل $ H_{1}:M_{X}<M_{0} $ ،اگر $ T^{+}\leq C_{\delta} $ آنگاه فرض صفر رد می‌شود، در غیر اینصورت فرض صفر پذیرفته می‌شود(دو حالت دیگر هم به طور مشابه می‌باشد). برای ساخت یک روش تصمیم گیری باید یک معیار رتبه بندی مناسب برای مقایسه آماره آزمون فازی مشاهده شده با مقدار بحرانی فازی داشته باشیم. روشی که بطور معمول برای رتبه بندی زیر مجموعه های فازی استفاده می شود، مفهوم درجه اولویت است(لی و همکاران 
(1994)). 
\begin{definition} \label{d5.1}
برای دو زیر مجموعه فازی گسسته $ \tilde{A} $ و $ \tilde{B} $ باتکیه گاه 
$ \lbrace a_{n},...,a_{1} \rbrace $ و $ \lbrace b_{n},...,b_{1}\rbrace $، شاخص $ P_{c} $ به صورت $ P_{c} (\tilde{A},\tilde{B})=S(\tilde{A}\succ\tilde{B})+\dfrac{1}{2} S(\tilde{A}\approx\tilde{B}) $ تعریف می‌شود که در آن توابع اولویت
$  S(\tilde{A}\approx\tilde{B}) $ و $ S(\tilde{A}\succ\tilde{B}) $ به صورت زیر تعریف می‌شوند:
\begin{center}
$ S(\tilde{A}\succ\tilde{B})=\dfrac{\sum_{x=a_{1}}^{a_{n}} \sum_{y=b_{1},y<x}^{b_{m}} \mu_{\tilde{A}}(x) \odot \mu_{\tilde{B}}(y) }{\sum_{x=a_{1}}^{a_{n}} \sum_{y=b_{1}}^{b_{m}} \mu_{\tilde{A}}(x) \odot \mu_{\tilde{B}}(y) } $
\end{center}
و
\begin{center}
$ S(\tilde{A}\approx\tilde{B})=\dfrac{\sum_{x=a_{1}}^{a_{n}} \sum_{y=b_{1},y=x}^{b_{m}} \mu_{\tilde{A}}(x) \odot \mu_{\tilde{B}}(y) }{\sum_{x=a_{1}}^{a_{n}} \sum_{y=b_{1}}^{b_{m}} \mu_{\tilde{A}}(x) \odot \mu_{\tilde{B}}(y) } $
\end{center}
که در آن $ \odot $ یک عملگر $ t $-نرم است.در ادامه از عملگر $ min $ به عنوان عملگر $ t $
-نرم استفاده می‌کنیم.
\end{definition}
\begin{remark}
مقادیر درجه اولویت $ P_{c} (\tilde{A},\tilde{B}) $ که برای مقایسه دو عدد فازی مورد استفاده قرار می‌گیرد، در بازه ی $ [0,1] $ قرار می‌گیرند. علاوه براین $  P_{c} (\tilde{A},\tilde{B})=1-  P_{c} (\tilde{B},\tilde{A}) $. واضح است که اگر $ P_{c} (\tilde{A},\tilde{B})=1 $
 آنگاه $ \tilde{A} $ به $ \tilde{B} $ ترجیح داده می‌شود و اگر  $  P_{c} (\tilde{A},\tilde{B})=0.5 $    آنگاه $ \tilde{A} $ و $ \tilde{B} $ ارزش یکسانی دارند و اگر $  P_{c} (\tilde{A},\tilde{B})=0 $ آنگاه  $ \tilde{B} $  به طور کامل به $ \tilde{A} $  ترجیح داده می‌شود.
 \end{remark}
\begin{definition}\label{d6.1}
مسئله آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون $ H_{0}:M_{X}=M_{0} $ در مقابل یک فرضیه جایگزین داده شده در جدول \ref{t1.4}، را در نظر بگیرید.
 سپس بر اساس تعریف 
 \ref{d5.1}
 می‌توان یک روش برای رد فرضیه صفر به شرح زیر ساخت:
 \item[1.] در حالت یک طرفه $ (a) $ فرض $ H_{0} $ را با درجه اولویت $ \eta=P_{c}(\tilde{T}^{+},\tilde{C}_{\tilde{\delta}}) $ رد می‌کنیم و با درجه اولویت 
 $ 1-\eta=P_{c}(\tilde{C}_{\tilde{\delta}}, \tilde{T}^{+}) $ می‌پذیریم. 
 \item[2.]  در حالت یک طرفه $ (b) $ فرض $ H_{0} $ را با درجه اولویت $  \eta=P_{c}(\tilde{C}_{\tilde{\delta}}, \tilde{T}^{+})  $ رد می‌کنیم و با درجه اولویت 
 $ 1-\eta=P_{c}( \tilde{T}^{+} ,\tilde{C}_{\tilde{\delta}}) $ می‌پذیریم.  
 \item[3.]  در حالت دو طرفه $ (c) $ فرض $ H_{0} $ را با درجه اولویت $ \eta=\max\lbrace P_{c}(\tilde{T}^{+},\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}}),P_{c}(\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}}, \tilde{T}^{+})\rbrace $ رد می‌کنیم و با درجه اولویت 
 $ 1-\eta=\min \lbrace P_{c}(\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}},\tilde{T}^{+}),P_{c}( \tilde{T}^{+} ,\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}})\rbrace $ می‌پذیریم.  
\end{definition}
\begin{remark}
برای توضیح انگیزه تعریف \ref{d6.1}، حالت فرضیه دو طرفه $ (3) $ را در نظر بگیرید. در این صورت اگر مشاهدات مبهم به مشاهدات معلوم و همچنین سطح معنی داری فازی به سطح معنی داری معلوم تغییر کند آنگاه  
$ \mu _{\tilde{T}^{+}}(x)=I(x=T^{+}) $ و $ \mu_{\tilde{C}_{\tilde{\delta}}}(y)=I(y=C_{\delta}) $ و همچنین
\begin{center}
$ \max\lbrace P_{c}(\tilde{T}^{+},\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}}),P_{c}(\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}}, \tilde{T}^{+})\rbrace =\left \lbrace \begin{array}{l}
 1 \qquad T^{+}<C^{\prime}_{\delta /2} {\mbox{ یا }} T^{+}>C_{\delta /2}\\
\dfrac{1}{2} \qquad  T^{+}=C^{\prime}_{\delta /2} {\mbox{ یا }} T^{+}=C_{\delta /2}\\
0 \qquad C^{\prime}_{\delta /2}< T^{+} <C_{\delta /2}
\end{array} \right. $
\end{center}
لذا فرض صفر را رد می‌کنیم اگر و تنها اگر $  \max\lbrace P_{c}(\tilde{T}^{+},\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}}),P_{c}(\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}}, \tilde{T}^{+})\rbrace >0 $ یا به طور معادل \\
$ T^{+}\leq C^{\prime}_{\delta /2} {\mbox{ یا }} T^{+}\geq C_{\delta /2} $. 
بنابراین منطق رد تعمیم یافته  برای فرضیه دو طرفه که در جدول \ref{t1.4} نشان داده شده، از برخی جهات تعمیم طبیعی از حالت کلاسیک است. توجه داشته باشید در مطالعات عملی که در آن از تقریب نرمال استفاده کردیم، موارد $ T^{+}=C_{\delta/2} $ و $ T^{+}=C^{\prime}_{\delta/2} $ دارای احتمال صفر هستند و لذا روش ارائه شده دقیقا به قانون تصمیم گیری در حالت کلاسیک تبدیل می‌شود. به طریق مشابه منطق رد برای حالت‌های یک طرفه در جدول \ref{t1.4} بیان شده است.
\end{remark}
\begin{table}[H]
\small
\centering
 \begin{tabular}[L]{|c c c c c|}
 \hline
 درجه اولویت  & \qquad\qquad\qquad &  مورد & \qquad\qquad\qquad & فرضیه مقابل
 \\
\hline
$ P_{c}(\tilde{T}^{+},\tilde{C}_{\tilde{\delta}}) $ & \qquad\qquad\qquad & $ a) $ & \qquad\qquad\qquad & $ M_{X}>M_{0} $
\\
\hline
$ P_{c}(\tilde{C}_{\tilde{\delta}},\tilde{T}^{+}) $ & \qquad\qquad\qquad & $ b) $ & \qquad\qquad\qquad & $ M_{X}<M_{0} $
\\
\hline
$ \max\lbrace P_{c}(\tilde{T}^{+},\tilde{C}^{U}_{\tilde{\delta}}),P_{c}(\tilde{C}^{L}_{\tilde{\delta}}, \tilde{T}^{+})\rbrace $ & \qquad\qquad\qquad & $ c) $ & \qquad\qquad\qquad & $ M_{X}\neq M_{0} $
 \\
\hline
 \end{tabular}
 \caption{ درجه اولویت رد فرضیه صفر برای آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون با مشاهدات وسطح معنی داری فازی}\label{t1.4}
 \end{table}
 
\begin{remark}
توجه داشته باشید که روش مقایسه استفاده شده در تعریف قبلی ذهنی است و بنابراین نتایج حاصل از کار با تغییر این روش به روش متناسب با خواسته تصمیم گیرنده برابر نخواهد بود. 
\section{آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون فازی برای نمونه‌های زوجی }
فرض کنید یک نمونه تصادفی نادقیق از مشاهدات زوجی $ (\tilde{x}_{n},\tilde{y}_{n}),...,(\tilde{x}_{1},\tilde{y}_{1}) $ داریم و می‌خواهیم فرضیه $ H_{0}:M_{D}=M_{0} $ را آزمون کنیم. همانطور که می‌دانیم آماره آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون تابعی از تفاضل بین مشاهدات است. اکنون یک نمونه تصادفی از مشاهدات زوجی فازی داریم، طبیعی است که آماره آزمون مربوطه را به عنوان تابعی از $ (\tilde{x}_{i})^{L}_{\alpha}-(\tilde{y}_{i})^{U}_{\alpha} $ و
 $ (\tilde{x}_{i})^{U}_{\alpha}-(\tilde{y}_{i})^{L}_{\alpha} $ در نظر بگیریم. 
 \end{remark}
 \begin{definition}\label{d7.1}
براساس فرضیات فوق آماره آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون فازی، که یک زیر مجموعه فازی در
 مجموعه $ \lbrace 0,0.5,1,...,n(n+1)/2\rbrace $ است، دارای تابع عضویت زیر می باشد
 \begin{center}
 $ \mu_{\tilde{T}^{+}}=\displaystyle\sup_{\alpha\in[0,1]}\alpha I(t\in\lbrace(\tilde{T}^{+})^{L}_{\alpha},...,(\tilde{T}^{+})^{U}_{\alpha}\rbrace , $
 \end{center}
 که
\begin{center}
$ (\tilde{ T}^{ +})^{L}_{\alpha}=\min \lbrace \displaystyle \inf _{\beta \geq\alpha} g^{L}(\beta) , \displaystyle \inf _{\beta \geq\alpha} g^{U}(\beta) \rbrace , $\\
 $ (\tilde{T}^{+})^{U}_{\alpha}=\max \lbrace \displaystyle \sup _{\beta \geq\alpha} g^{L}(\beta) , \displaystyle \sup_{\beta \geq\alpha} g^{U}(\beta) \rbrace , $
\end{center}
که در آن:
\begin{center}
 $ g^{L}(\beta )=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} r(|((\tilde{x}_{i})^{L}_{\alpha}-(\tilde{y}_{i})^{U}_{\alpha})- M_{0}|) I[(\tilde{x}_{i})^{L}_{\alpha}-(\tilde{y}_{i})^{U}_{\alpha}> M_{0}] , $\\
$ g^{U}(\beta )=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} r(|((\tilde{x}_{i})^{U}_{\alpha}-(\tilde{y}_{i})^{L}_{\alpha})- M_{0}|) I[(\tilde{x}_{i})^{U}_{\alpha}-(\tilde{y}_{i})^{L}_{\alpha}> M_{0}] . $
\end{center}
   \end{definition}
 توجه داشته باشید که در تعریف قبل کران بالا و پایین $ \alpha $-برش مشاهدات فازی به صورت جداگانه در نظر گرفته شده است.\\
برای آزمون فرض $ H_{0} $ در سطح معنی داری فازی $ \tilde{\delta} $ می‌توان از روش شرح داده شده در قسمت‌های قبلی برای تصمیم گیری در مورد $ H_{0} $ استفاده کرد.
\begin{remark}
قهرمان و همکاران $(2004)$ مسئله آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون را برای مشاهدات فازی در نظر گرفتند و با استفاده از از برخی روش‌های رتبه بندی فازی یک آماره آزمون معلوم بدست آوردند. علاوه بر این آنها یک آزمون ناپارامتری فازی در سطح معنی داری معلوم ساختند که دارای نتایج معلوم است. اما در روش ما $ (a) $ با توسعه مرتب سازی معمول، یک آزمون بر اساس یک آماره آزمون فازی ساختیم. 
$ (b) $ بر اساس مفهوم مقدار بحرانی فازی و با استفاده از روشهای مختلف به تصمیم گیری در مورد فرضیه پرداختیم.
$ (c) $ نتیجه آزمون، توسط یک معیار به نام درجه اولویت، در یک محیط فازی مناسب تر ارائه شد. 
\end{remark}
\vspace*{1cm}
\section{چند مثال}
همانطور که در مقدمه ذکر شد، در مطالعات کاربردی ممکن است به جای مشاهدات معلوم مشاهدات فازی باشند. چنین شرایطی اغلب در علوم انسانی بخصوص در روانشناسی، مطالعات اجتماعی ،مدیریت و ... رخ می‌دهد. در این بخش دو مثال عملی از تعمیم آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون برای داده‌های فازی در زمینه مدیریت و روانشناسی آورده شده است.
\begin{example}\label{example1}
عملکرد یک شرکت هوافضا با استفاده از یک سیستم ساخته شده بر اساس مقیاس فازی، ارزیابی شده است. با استفاده از این سیستم یک مقدار فازی از عملکرد کارگرها ، با استفاده از معیارهایی مانند تجربه، مسئولیت، فعالیت‌های روانی و جسمی و ... بدست آمده است. نمونه‌ای تصادفی از 16 نفر از کارکنان انتخاب شد که مقادیر ارزیابی در جدول زیر آمده است. 
\begin{table}[H]
\small
\centering
 \begin{tabular}[L]{|c c c|} 
\hline
$ \tilde{x}_{2}=(60,65,65,75)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $  \tilde{x}_{1}=(60,65,65,70)_{T} $
\\
\hline
$  \tilde{x}_{4}=(55,60,70,75)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{3}=(80,85,85,90)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{6}=(60,75,75,80)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{5}=(65,70,75,80)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{8}=(75,85,85,90)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{7}=(70,80,80,90)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{10}=(75,80,85,90)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{9}=(60,65,65,75)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{12}=(40,50,55,75)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{11}=(80,90,90,100)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{14}=(60,65,65,70)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{13}=(50,55,55,70)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{16}=(60,65,75,80)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{15}=(70,75,75,80)_{T} $
\\
\hline
 \end{tabular}
  \caption{داده‌های مثال \ref{example1} }
 \end{table}
 فرض کنید می‌خواهیم فرض $ H_{0}:M_{X}=80 $ را در مقابل $ H_{1}:M_{x}< 80 $ در سطح معنی داری $ \tilde{\delta}=(0.02,0.05,0.08)_{T} $ آزمون کنیم.
 با استفاده از تعریف \ref{d1.1} و جدول \ref{t1.2} برای نمونه های بزرگ می‌توان تابع عضویت آماره آزمون رتبه علامت ویلکاکسون فازی را بدست آورد. به عنوان مثال:
 \begin{center}
$ \tilde{T}^{+}[0.4]=\lbrace 5,5.5,...,44.5 \rbrace $
 \end{center}
 می‌توان با استفاده از این روش برای تمام $ \alpha\in [0,1] $ تابع عضویت آماره آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون را با استفاده از برنامه نوشته شده در پیوست \ref{program2} بدست آورد
و سپس با استفاده از آن مقدار تابع عضویت برای $ \tilde{T}^{+} $ به صورت زیر بدست می‌آید
$$ \mu_{\tilde{T}^{+}}(t)=\lbrace\dfrac{0.24}{3\leq t<3.5},\frac{0.25}{3.5\leq t<4},\dfrac{0.33}{4\leq t<5},\dfrac{0.5}{5\leq t<9},\dfrac{0.66}{9\leq t<10.5},\dfrac{1}{10.5\leq t<20.5}$$
$$,\dfrac{0.99}{20.5<t\leq 32},\dfrac{0.75}{32<t\leq 33},\dfrac{0.74}{33<t\leq 34},\dfrac{0.66}{34<t\leq 40},\dfrac{0.5}{40<t\leq 42},\dfrac{0.49}{42<t\leq 44},
\dfrac{0.4}{44<t\leq 44.5}$$
$$,\dfrac{0.39}{44.5<t\leq 45},\dfrac{0.33}{45<t\leq 52},\dfrac{0.25}{52<t\leq 53},\dfrac{0.24}{53<t\leq 54},\dfrac{0.2}{54<t\leq 55.5},\dfrac{0.19}{55.5<t\leq 57},\dfrac{0.16}{57<t\leq 58}\rbrace $$
$$ \forall t \in \lbrace 0,1,1.5,...,58 \rbrace $$
حال با توجه به تعریف \ref{d2.1} و با استفاده از برنامه نوشته شده در پیوست \ref{program3} می‌توان برای تمام $ \alpha\in [0,1] $ مقادیر ناحیه بحرانی فازی را بدست آورد، سپس با استفاده از آن مقدار تابع عضویت ناحیه بحرانی به صورت زیر بدست می‌آید
$$ \tilde{C}_{\tilde{\delta}}=\lbrace \dfrac{0.01}{27.5\leq \delta <28},\dfrac{0.06}{28\leq \delta <28.5},\dfrac{0.1}{28.5\leq \delta <29},\dfrac{0.15}{29\leq \delta <29.5},\dfrac{0.2}{29.5\leq \delta <30} $$
$$ ,\dfrac{0.26}{30\leq \delta <30.5},\dfrac{0.31}{30.5\leq \delta <31},\dfrac{0.37}{31\leq \delta <31.5},\dfrac{0.44}{31.5\leq \delta <32},\dfrac{0.5}{32\leq \delta <32.5},\dfrac{0.57}{32.5\leq \delta <33} $$
$$ ,\dfrac{0.64}{33\leq \delta <33.5},\dfrac{0.72}{33.5\leq \delta <34},\dfrac{0.79}{34\leq \delta <34.5},\dfrac{0.88}{34.5\leq \delta <35 },\dfrac{0.96}{35\leq \delta <35.5},\dfrac{1}{35.5} $$
$$ ,\dfrac{0.94}{35.5<\delta\leq 36},\dfrac{0.85}{36<\delta\leq 36.5},\dfrac{0.75}{36.5<\delta\leq 37},\dfrac{0.65}{37<\delta\leq 37.5},\dfrac{0.54}{37.5<\delta\leq 38},\dfrac{0.43}{38<\delta\leq 38.5} $$
$$ ,\dfrac{0.32}{38.5<\delta\leq 39},\dfrac{0.2}{39<\delta\leq 39.5},\dfrac{0.08}{39.5<\delta\leq 40} \rbrace $$
حال با استفاده از تعریف \ref{d6.1} و برنامه نوشته شده در پیوست \ref{program4} مقدار درجه اولویت به صورت زیر بدست می‌آید 
$$ P_{c}(\tilde{C}_{\tilde{\delta}},\tilde{T}^{+})=0.66 $$
پس فرض صفر را با درجه اولویت $ 0.66 $ رد می‌کنیم و با درجه اولویت $ 0.34 $ فرض صفر را می‌پذیریم.
  \end{example}
  
  
 \begin{example}\label{example2}
 یک نمونه تصادفی از 12 دوقلوی همسان برای اندازه‌گیری میزان پرخاشگری در شخصیت هر شخص، مورد آزمون روانشناسی قرار گرفته است
  (کوام و ویدادویک $ (2007) $ ).
  می‌خواهیم با مقایسه دوقلوها با یکدیگر ببینیم آیا قل اول تهاجمی تر از دیگری است. به دلیل برخی از محدودیت‌ها در اندازه گیری‌های روانی نتایج حاصل از ارزیابی به صورت اعداد فازی مثلثی است که در جدول زیر داده شده است. 
 \begin{table}[H]
\small
\centering
 \begin{tabular}[L]{|c c c|} 

\hline
$ \mbox{دوم قل} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \mbox{اول قل} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{1}=(86.24,88,89.76)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $  \tilde{x}_{1}=(84.28,86,87.72)_{T} $
\\
\hline
$  \tilde{y}_{2}=(75.46,77,78.54)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{2}=(69.58,71,72.42)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{3}=(74.48,76,77.52)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{3}=(75.46,77,78.54)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{4}=(62.72,64,65.28)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{4}=(66.64,68,69.36)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{5}=(94.08,96,97.92)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{5}=(89.18,91,92.82)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{6}=(70.56,72,73.44)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{6}=(70.56,72,73.44)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{7}=(63.70,65,66.30)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{7}=(75.46,77,78.54)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{8}=(88.20,90,91.80)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{8}=(89.18,91,92.82)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{9}=(63.70,65,66.30)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{9}=(68.60,70,71.40)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{10}=(78.40,80,81.60)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{10}=(69.58,71,72.42)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{11}=(79.38,81,82.62)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{11}=(86.24,88,89.76)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{y}_{12}=(70.56,72,73.44)_{T} $ & \qquad\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{12}=(85.26,87,88.74)_{T} $
\\
\hline
 \end{tabular}
  \caption{ داده های مثال \ref{example2} }
 \end{table}
 
 فرضیه مورد آزمون عبارتست از: \\
  $ H_{0} $:قل اول تمایل بیشتری به تهاجم نسبت به دیگری ندارد یا
   $ H_{0}=M_{D}=0 $\\
 $ H_{1} $:قل اول تمایل بیشتری به تهاجم نسبت به دیگری دارد یا
 $ H_{1}=M_{D}>0 $\\
با استفاده از تعریف\ref{d7.1} و برنامه نوشته شده در پیوست \ref{program5} تابع عضویت آماره آزمون رتبه علامت ویلکاکسون فازی به صورت زیر محاسبه می شود. 
 $$ \mu_{\tilde{T}^{+}}(t)=\lbrace\dfrac{0.03}{31\leq t<32},\frac{0.05}{32\leq t<33},\dfrac{0.1}{33\leq t<34},\dfrac{0.12}{34\leq t<35},\dfrac{0.2}{35\leq t<36},\dfrac{0.27}{36\leq t<38}$$
$$,\dfrac{0.48}{38\leq t<39},\dfrac{0.51}{39\leq t<40},\dfrac{0.67}{40\leq t<41.5},\dfrac{1}{41.5},\dfrac{0.99}{41.5<t\leq 50},\dfrac{0.85}{50<t\leq 51},
\dfrac{0.84}{51<t\leq 53}$$
$$,\dfrac{0.83}{53<t\leq 54},\dfrac{0.68}{54<t\leq 56},\dfrac{0.64}{56<t\leq 57},\dfrac{0.45}{57<t\leq 58},\dfrac{0.42}{58<t\leq 59},\dfrac{0.41}{59<t\leq 60},\dfrac{0.3}{60<t\leq 61}$$
$$,\dfrac{0.24}{61<t\leq 63},\dfrac{0.16}{63<t\leq 64},\dfrac{0.11}{64<t\leq 65},\dfrac{0.03}{65<t\leq 66}\rbrace $$
$$ \forall t \in \lbrace 0,1,1.5,...,58 \rbrace $$
 حال  با توجه به تعریف \ref{d3.1} و با استفاده از برنامه نوشته شده در پیوست \ref{program6} می‌توان برای تمام $ \alpha\in [0,1] $ مقادیر ناحیه بحرانی فازی را بدست آورد، سپس با استفاده از آن مقدار تابع عضویت ناحیه بحرانی به صورت زیر بدست می‌آید
 $$ \tilde{C}_{\tilde{\delta}}=\lbrace \dfrac{0.03}{57\leq \delta <57.5},\dfrac{0.22}{57.5\leq \delta <58},\dfrac{0.39}{58\leq \delta <58.5},\dfrac{0.56}{58.5\leq \delta <59},\dfrac{0.72}{59\leq \delta <59.5} $$
$$ ,\dfrac{0.86}{59.5\leq \delta <60},\dfrac{1}{60},\dfrac{0.99}{60<\delta\leq 60.5},\dfrac{0.86}{60.5<\delta\leq 61},\dfrac{0.0.73}{61<\delta\leq 61.5},\dfrac{0.62}{61.5<\delta\leq 62} $$
$$ ,\dfrac{0.51}{62<\delta\leq 62.5},\dfrac{0.42}{62.5<\delta\leq 63},\dfrac{0.32}{63<\delta\leq 63.5},\dfrac{0.24}{63.5<\delta\leq 64},\dfrac{0.16}{64<\delta\leq 64.5},\dfrac{0.09}{64.5<\delta\leq 65} $$
 حال با استفاده از تعریف \ref{d6.1} و برنامه نوشته شده در پیوست \ref{program4} مقدار درجه اولویت به صورت زیر بدست می‌آید 
$$ P_{c}(\tilde{C}_{\tilde{\delta}},\tilde{T}^{+})=0.08 $$
پس فرض صفر را با درجه اولویت $ 0.08 $ رد می‌کنیم و با درجه اولویت $ 0.92$ فرض صفر را می‌پذیریم.
 \end{example} 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
\section{آزمون رتبه-علامت ویلکاکسون فازی با استفاده از مفهوم تئوری اعتبار}
در آزمون ارائه شده، مشاهدات نمونه اعداد فازی فرض می‌شوند. فرض مورد آزمون عبارتست است از $ H_{0}:\tilde{M}=\tilde{M}_{0} $ که در آن $ \tilde{M} $ میانه جامعه و $ \tilde{M}_{0} $ یک عدد فازی معلوم است لذا فرضیه مورد آزمون فازی می‌باشد. فرض بر این است که نمونه ای به حجم $ n $ با مشاهدات $ \xi _{n},...,\xi _{1} $ با تابع عضویت
 $ \mu(\xi _{n}),...,\mu(\xi _{1}) $ داریم. برای انجام این آزمون مراحل زیر را دنبال می‌کنیم: \\
1- بدست آوردن تفاضل مشاهدات از $ \tilde{M}_{0} $ و تعیین قدر مطلق تفاضل
 $ (D_{i}=\xi _{i}-\tilde{M}_{0}) $. \\
2- پیدا کردن امید ریاضی و واریانس قدر مطلق تفاضل. \\
3- مرتب کردن قدر تفاضل پس از حذف قدر تفاضل های برابر یا صفر، بر اساس روش گفته شده در بخش 8 . \\
4- رتبه بندی و تعیین علامت. \\
5-محاسبه مقدار $ T^{+} $ .\\
6- محاسبه آماره آزمون $ Z $ در بخش\ref{s1.1}.\\ 
7- تصمیم گیری در مورد رد یا پذیرش فرضیه با استفاده از مقدار آماره آزمون. \\
در این قسمت با بیان یک نکته روش بدست آوردن امید ریاضی و واریانس را بیان می‌کنیم:
\\
\textbf{نکته:}\\
اگر $ \xi=(a,b,c,d) $ یک عدد فازی باشد آنگاه امید ریاضی به صورت $ E(\xi)=\frac{a+b+c+d}{4} $ می‌باشد ،
و واریانس به صورت زیر می‌باشد:
\begin{flushleft}
\item $ \alpha=\beta \qquad, V(\xi)=\frac{3(b-a+\beta)^{2}+\beta^{2}}{24} $\\
\item $ \alpha >\beta \qquad, V(\xi)=\left \lbrace \begin{array}{l}
 \frac{1}{6}[-\frac{(b-m)^{3}}{\beta}-\frac{(a-\alpha-m)^{3}}{\alpha}+\frac{(b\alpha+\alpha \beta-m(\alpha+\beta))^{3}}{\alpha \beta(\alpha-\beta)^{2}}],  \qquad\qquad  a-m<0 \\
  \frac{1}{6}[\frac{(a-m)^{3}}{\alpha}-\frac{(b-m)^{3}}{\beta}-\frac{(a-\alpha-m)^{3}}{\alpha}+\frac{(b\alpha+\alpha \beta-m(\alpha+\beta))^{3}}{\alpha \beta(\alpha-\beta)^{2}}],  \qquad  a-m\geq 0 \\
\end{array} \right.$
 
 \item $ \alpha <\beta \qquad, V(\xi)=\left \lbrace \begin{array}{l}
 \frac{1}{6}[\frac{(a-m)^{3}}{\alpha}+\frac{(b+\alpha-m)^{3}}{\beta}+\frac{(b\alpha+\alpha \beta-m(\alpha+\beta))^{3}}{\alpha \beta(\alpha-\beta)^{2}}],  \qquad\qquad  b-m>0 \\
  \frac{1}{6}[\frac{(a-m)^{3}}{\alpha}-\frac{(b-m)^{3}}{\beta}+\frac{(b+\beta-m)^{3}}{\beta}+\frac{(b\alpha+\alpha \beta-m(\alpha+\beta))^{3}}{\alpha \beta(\alpha-\beta)^{2}}],  \qquad  b-m\leq 0 \\
\end{array} \right.$
\end{flushleft}
که در آن $ \alpha=b-a ; \beta=d-c $ و $ m=E(\xi) $.
\begin{example}
با استفاده از داده‌های مثال \ref{example1}
می‌خواهیم فرضیه  $ H:M_{X}=(70,80,80,90) $ را برسی کنیم. برای این منظور  تفاضل مشاهدات از میانه بیان شده در فرض صفر $ (D) $، قدرمطلق تفاضل $ (|D|) $، امید ریاضی داده‌ها $ (E) $ و واریانس آنها $ (V) $ را بدست آورده و رتبه بندی می‌کنیم. البته مشاهداتی که دارای امید و واریانس برابر هستند را در نظر نمی‌گیریم.
\begin{table}[H]
\small
\centering
 \begin{tabular}[L]{|c|c|c|c|c|c|} 
\hline
رتبه & $ V $ & $ E $ & $ |D| $ & $ D $ & \qquad 
\\
\hline
$ *** $ & $ 121.875 $ & $ -15 $ & $ (-30,-15,-15,0) $ & $ (-30,-15,-15,0) $ & $ 1 $
\\
\hline
$ *** $ & $ 3868.321398 $ & $ -13.75 $ & $ (-30,-15,-15,5) $ & $ (-30,-15,-15,5) $ & $ 2 $\\
\hline
$ 10 $ & $ 121.875 $ & $ 5 $ & $ (-10,5,5,20) $ & $ (-10,5,5,20) $ & $ 3 $
\\
\hline
$ *** $ & $ 121.875 $ & $ -15 $ & $ (-35,-20,-10,5) $ & $ (-35,-20,-10,5) $ & $ 4 $
\\
\hline
$ 5 $ & $ 121.875 $ & $ -7.5 $ & $ (-25,-10,-5,10) $ & $ (-25,-10,-5,10) $ & $ 5 $
\\
\hline
$ 4 $ & $ 1453.75 $ & $ -7.5 $ & $ (-30,-5,-5,10) $ & $ (-30,-5,-5,10) $ & $ 6 $
\\
\hline
$ 7 $ & $ 216.6666667 $ & $ 0 $ & $ (-20,0,0,20) $ & $ (-20,0,0,20) $ & $ 7 $
\\
\hline
$ 9 $ & $ 916.2109375 $ & $ 3.75 $ & $ (-15,5,5,20) $ & $ (-15,5,5,20) $ & $ 8 $
\\
\hline
$ *** $ & $ 3868.321398 $ & $ -13.75 $ & $ (-30,-15,-15,5) $ & $ (-30,-15,-15,5) $ & $ 9 $
\\
\hline
$ 8 $ & $ 121.875 $ & $ 2.5 $ & $ (-15,0,5,20) $ & $ (-15,0,5,20) $ & $ 10 $
\\
\hline
$ 11 $ & $ 216.6666667 $ & $ 10 $ & $ (-10,10,10,30) $ & $ (-10,10,10,30) $ & $ 11 $
\\
\hline
$ 1 $ & $ 5169.097222 $ & $ -25 $ & $ (-50,-30,-25,5) $ & $ (-50,-30,-25,5) $ & $ 12 $
\\
\hline
$ 2 $ & $ 3338.958333 $ & $ -22.5 $ & $ (-40,-25,-25,0) $ & $ (-40,-25,-25,0) $ & $ 13 $
\\
\hline
$ *** $ & $ 121.875 $ & $ -15 $ & $ (-30,-15,-15,0) $ & $ (-30,-15,-15,0) $ & $ 14 $
\\
\hline
$ 6 $ & $ 121.875 $ & $ -10 $ & $ (-20,-5,-5,10) $ & $ (-20,-5,-5,10) $ & $ 15 $
\\
\hline
$ 3 $ & $ 121.875 $ & $ -5 $ & $ (-30,-15,-5,10) $ & $ (-30,-15,-5,10) $ & $ 16 $
\\
\hline
 \end{tabular}
  \caption{  }
 \end{table}
 
 
\end{example}








\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{ آزمون دو نمونه ای کلموگروف-اسمیرنوف در محیط فازی}
\pagenumbering{arabic}
\vspace*{3cm}
\section*{مقدمه}
در این فصل روشی برای بسط آزمون کلموگروف-اسمیرنوف کلاسیک به حالتی که داده‌ها متغیرهای تصادفی فازی و فرضیه هم فازی می‌باشد، ارائه می‌شود. ابتدا آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دو نمونه‌ای را بیان می‌کنیم. سپس با استفاده از مفهوم $ -\alpha $شک مشاهدات مبهم، روش معمول آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دو نمونه‌ای را بسط می‌دهیم. پس از آن با محاسبه $ -p $مقدار فازی به برسی فرضیه مبهم می‌پردازیم. برای این منظور شاخصی به نام درجه اعتبار، $ -p $مقدار فازی و سطح معنی داری فازی با هم مقایسه می‌شوند. 
\section{آزمون دو نمونه ای کلموگروف-اسمیرنوف کلاسیک }
آزمون دو نمونه‌ای کلموگروف-اسمیرنوف یک آزمون نیکویی برازش است که با استفاده از آن مشخص می‌کنیم که آیا توزیع احتمال دو نمونه باهم برابر هستند یا نه. برای این منظور فرض کنید 
$ X_{n},...,X_{1} $ و $ Y_{n},...,Y_{1} $ دو نمونه تصادفی مستقل از جامعه ای با توزیع تجمعی پیوسته نا معلوم
$ (c.d.f) $ $ F_{X} $ و $ G_{Y} $ باشند، 
و $ \widehat{F}_{m} $ و $ \widehat{G}_{n} $ تابع توزیع تجمعی تجربی مربوط به آنها باشند. با توجه به قانون قوی اعداد بزرگ، با احتمال $ 1 $ برای هر $ x $، $ \widehat{F}_{m}(x)\longrightarrow F_{X}(x) $.
 با توجه به رفتار بزرگ نمونه ای $ \widehat{F}_{m} $ نتیجه زیر را به عنوان لم گلیونکو-کانتلی داریم $ (Govindarajulu(2003)) $:
 $$P(\displaystyle \sup_{x\in R}|\widehat{F}_{m}(x)-F_{X}(x)|\longrightarrow 0)=1 .$$
 آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دو نمونه‌ای فرضیه های زیر را مورد برسی قرار می‌دهد
 \begin{center}
$ \left \lbrace \begin{array}{l}
H_{0}: F_{X}(x)=G_{Y}(x) \qquad\qquad  x \in R \mbox{هر برای} \\
 H_{1}: F_{X}(x)\neq G_{Y}(x) \qquad\qquad  x \in R \mbox{بعضی برای} \\
\end{array} \right.$
\end{center}
آماره آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دو نمونه‌ای که با $ \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D_{mn} $ نشان داده می‌شود، بر اساس قدر مطلق اختلاف بین دو توزیع تجمعی تجربی توابع $ \widehat{F}_{m} $ و $ \widehat{G}_{n} $ می‌باشد:
$$ \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D_{mn}=\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}\displaystyle \sup_{x \in R}|\widehat{F}_{m}(x)-\widehat{G}_{n}(x)|=\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}\displaystyle \max_{i}|\widehat{F}_{m}(Z_{i})-\widehat{G}_{n}(Z_{i})|, $$
که در آن $ Z_{m+n},...,Z_{1} $ نمونه ترکیبی از $ X_{n},...,X_{1} $ و $ Y_{n},...,Y_{1} $ می‌باشد $ (Kvam and Vidakovic (2007)) $.
با فرض پیوستگی $ F_{X} $ و $ G_{Y} $ ،توزیع $ \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D_{mn} $ به  $ F_{X} $ و $ G_{Y} $  بستگی ندارد. بنابراین در سطح معنی داری $ \delta \in (0,1] $ تابع آزمون برای رد فرضیه صفر به صورت زیر می‌باشد
 \begin{center}
$ \varphi_{\delta}[x,y]=\left \lbrace \begin{array}{l}
1 \qquad  p-\mbox{مقدار}<\delta \\
\\
0 \qquad  \mbox{حالت‌ها سایر} \\
\end{array} \right.$
\end{center}
که $ x_{n},...,x_{1}=x $ ، $ y_{n},...,y_{1}=y $ و 
 $$ p-\mbox{مقدار}=P_{H_{0}}( \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D_{mn}\geq d_{0}) ,$$
که در آن $ d_{0} $ نشان‌دهنده آماره آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دو نمونه‌ای مشاهده شده می‌باشد.\\
روش محاسبه دقیق توزیع $ \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D_{mn} $ تحت فرض $ H_{0} $ در گیبونز و چاکرابورتی $ (2003) $ نشان داده شده است. در حالت خاص $ m=n $ توزیع دقیق $ \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D_{mn} $ تحت فرض $ H_{0} $ به شکل زیر ساده می‌شود

$$ P_{H_{0}}(\sqrt{\dfrac{n}{2}}D_{nn}\geq d)=\frac{\left( \begin{array}{c}
 2n\\
 \llcorner \dfrac{y}{\sqrt{n/2}}+1\lrcorner
\end{array}\right ) }
{\left( \begin{array}{c} 
2n\\
 n 
\end{array}\right ) }
 , d \in [-\sqrt{\dfrac{n}{2}},+\sqrt{\dfrac{n}{2}}] $$
که در آن $ \llcorner a \lrcorner $ نشان دهنده بزرگترین عدد صحیح $ a\geq $ می‌باشد. اگر $ m $ و $ n $ به حد کافی بزرگ باشند و $ \frac{mn}{m+n}>4 $ آنگاه رابطه تقریبی زیر برقرار است $ (kvam and vidakovic (2007)) $

$$ P_{H_{0}}(\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D_{mn}\geq d)\simeq 2\displaystyle \sum ^{\infty}_{k=1}(-1)^{k-1}e^{2k^{2}d^{2}}. $$

برای فرض مقابل $ H_{1}:F_{X}(x)>G_{Y}(x) $، آزمون مناسب برای رد فرضیه $ H_{0} $ به صورت زیر می‌باشد

  \begin{center}
$ \varphi_{\delta}[x,y]=\left \lbrace \begin{array}{l}
1 \qquad  p-\mbox{مقدار}<\delta \\
\\
0 \qquad  \mbox{حالت‌ها سایر} \\
\end{array} \right.$
\end{center}
که در آن 
$$ p- \mbox{مقدار}=P_{H_{0}}(\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}\geq d^{+}_{0}) $$
که در آن $ d^{+}_{0} $ نشان دهنده مقدار مشاهده شده آماره آزمون دو نمونه ای در حالت یک طرفه می‌باشد

$$ \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}=\displaystyle \sup _{x \in R}[ \widehat{F}_{m}(x)-\widehat{G}_{n}(x)].$$

 علاوه بر این از رابطه زیر برای نمونه‌های با حجم زیاد استفاده می‌شود (گیبونزو چاکرابورتی $ (2003) $)
 $$ P_{H_{0}}(\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}d^{+}_{mn}\geq d^{+}_{0})\simeq e^{-2(d_{0}^{+})^{2}}. $$
 
 از جایی که می‌توان نام دو نمونه $ X $ و $ Y $ را با هم عوض کرد، لذا برای حالت یک طرفه $ H_{1}:F_{X}(x)<G_{Y}(x) $ نیز می‌توان این روابط را به سادگی بدست آورد. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{تابع توزیع (تجربی) تجمعی فازی}
در این قسمت تابع توزیع تجربی و تابع توزیع تجمعی را برای متغیرهای تصادفی فازی شرح می‌دهم.
\begin{definition}
تابع توزیع تجمعی فازی $ (f.c.d.f) $ متغیر تصادفی فازی $ \tilde{X} $ در $ x \in \mathbb{R} $ با $ \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) $ نشان داده می‌شود و دارای تابع عضویت زیر می‌باشد
$$ \mu_{\tilde{F}_{\tilde{X}}(x)}(y)=\sup \lbrace \alpha \in [0,1] : \tilde{F}_{\tilde{X}_{\alpha}}(x)=y \rbrace ,\qquad y \in [0,1] $$
\end{definition}

\begin{definition}\label{d7.2}
 می‌گوییم تابع توزیع تجمعی فازی $ (f.c.d.f) $ $ \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) $ در $ x \in \mathbb{R} $ پیوسته است اگر برای هر $ \alpha \in [0,1] $ تابع
$ (\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha} $ در $ x $ پیوسته باشد یا به طور معادل برای هر $ \alpha \in [0,1] $ متغیر تصادفی $ \tilde{X}_{\alpha} $ پیوسته باشد.
در این‌جا فرض می‌کنیم $ \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) $ در $ x \in \mathbb{R} $ پیوسته باشد.
\end{definition}
\begin{remark}
با توجه به تعریف \ref{d3.2}،قابل توجه است که تابع عضویت $ \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) $ در $ y \in [0,1] $ غیر صعودی است (برای مثال به شکل  نگاه کنید) بنابراین روشن است که $ \alpha $-برش آن به شکل زیر باشد
$$ \tilde{F}_{\tilde{X}}(x)[\alpha]=[( \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) )^{L}_{\alpha},( \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) )^{U}_{\alpha}]=
[P(\tilde{X}_{1}\leq x),P(\tilde{X}_{\alpha}\leq x)]. $$
\end{remark}
مثال زیر مفاهیم دو تعریف فوق را نشان می‌دهد.
\begin{example}\label{e2.2}
فرض کنید $ \tilde{X}=\tilde{\Theta}\oplus \Xi $، که در آن $ \Xi $ یک متغیر تصادفی نرمال با میانگین صفر و واریانس $ \sigma ^{2} $  و $ \tilde{\Theta} $ یک مجموعه فازی ثابت باشد. برای مثال فرض کنید $ \tilde{\Theta} $ یک عدد فازی $ LR $ به‌صورت $ \tilde{\Theta}=(\theta , l,r)_{LR} $ با $ \theta $ ، $ l $ و $ r $ معلوم وتوابع $ L $ و $ R $ ثابت باشد. بنابراین $ \tilde{X}=(\Xi +\theta ,l,r)_{LR} $ و برای هر $ \omega $ ، $ \tilde{X}(\omega )=(\Xi (\omega )+\theta ,l,r)_{LR} $ یک مشاهده از $ \tilde{X} $ است. لذا داریم
	$$\tilde{X}_\alpha =\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
 \Xi +\theta -lL^{-1}(2\alpha) & 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
 \Xi +\theta+rR^{-1}(2(1-\alpha)) & 0.5< \alpha < 1.0
	\end{array}\right. $$
از جایی که $ \Xi $ یک متغیر تصادفی نرمال است، بنابراین واضح است که برای هر $ \alpha \in (0,1] $، $ \tilde{X}_{\alpha} $ یک متغیر تصادفی نرمال است
$$\tilde{X}_\alpha \sim \left\lbrace
	\begin{array}{c c}
 N(\theta -lL^{-1}(2\alpha),\sigma ^{2}) & 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
 N(\theta+rR^{-1}(2(1-\alpha)),\sigma ^{2})& 0.5< \alpha < 1.0
	\end{array}\right. $$
بنابراین براساس تعریف (در فصل مقدمات نوشته شود) ، $ \tilde{X} $ یک متغیر تصادفی فازی است. اکنون می‌خواهیم تابع عضویت مجموعه فازی $ \tilde{F}_{\tilde{ X}}(x) $
$$ \mu _{\tilde{F}_{\tilde{ X}}(x)}(y)=\sup\lbrace \alpha \in [0,1]: F_{\tilde{X}_{\alpha}}(x)=y \rbrace \qquad y\in [0,1] $$
که در آن
$$ F_{\tilde{X}_{\alpha}}(x) =P(\tilde{X}_{\alpha}\leq x)=\left\lbrace
	\begin{array}{c c}
\Phi( \dfrac{x-\theta +lL^{-1}(2\alpha)}{\sigma}) & 0.0<\alpha \leq 0.5\\
      \\
 \Phi(\dfrac{x+\theta-rR^{-1}(2(1-\alpha))}{\sigma}) & 0.5< \alpha < 1.0
	\end{array}\right. $$
که درآن $ \Phi $ تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد متغیر تصادفی $ Z $ می‌باشد. به عنوان مثال اگر $ Z \sim N(0,1)$ آنگاه برای هر $ z \in \mathbb{R} $ داریم $ P(Z\leq z)=\Phi (z) $.
با ساده سازی پارامترهای $ \tilde{\Theta} $ و $ \sigma ^{2} $ به صورت $ \tilde{\theta}=(0,1,1)_{T} $ و $ \sigma =1 $ به عنوان حالت خاص و جایگزینی آن در معادلات بالا داریم
$$ P(\tilde{X}_{\alpha}\leq x)=\Phi (x+1-2\alpha) \qquad 0.0<\alpha \leq 1.0 $$
بنابراین تابع عضویت مجموعه فازی $ F_{\tilde{X}}(x)  $ برابر است با
$$ \mu _{\tilde{F}_{\tilde{ X}}(x)}(y)=\sup\lbrace \alpha \in [0,1]: \Phi (x+1-2\alpha)=y \rbrace \qquad y\in [0,1] $$
با توجه به این که برای هر $ x $ ثابت در $ \mathbb{R} $ تابع $ \Phi (x+1-2\alpha)=y $ برای هر $ \alpha \in [0,1] $  اکیدا نزولی است(با توجه به شکل \ref{plot3.2}) 
بنابراین
$$ \Phi (x+1-2\alpha)=y \Leftrightarrow \alpha=\dfrac{1}{2}(x+1-\phi ^{-1}(y)) \qquad y\in [0,1] $$

\begin{figure}[h] 
\hspace{-1cm}
\centerline{\includegraphics[width=10cm]{0003}}
\caption{\label{plot3.2}\footnotesize نمودار $ \Phi (x+1-2\alpha)=y $  در مثال \ref{e2.2}}
\end{figure}
از جایی که $ \alpha $ بدست آمده باید بین $ 0 $ و $ 1 $ باشد لذا
$$ 0\leq \dfrac{1}{2}(x+1-\phi ^{-1}(y))\leq 1\Leftrightarrow 0\leq \phi (x-1) \leq y \leq \phi (x+1) \leq 1 $$
سرانجام، براساس نامساوی فوق، تابع عضویت $ \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) $ در $ x \in \mathbb{R} $ به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \mu_{\tilde{F}_{\tilde{X}}(x)}(y)=\dfrac{1}{2}(x+1-\phi ^{-1}(y)), \qquad y\in [\phi(x-1),\phi(x+1)] \subseteq [0,1] $$
تابع عضویت $  \mu_{\tilde{F}_{\tilde{X}}(x)} $ در شکل \ref{plot4.2} به تصویر کشیده شده است.
\begin{figure}[htp] 
\hspace{-1cm}
\centerline{\includegraphics[width=10cm]{0004}}
\caption{\label{plot4.2}\footnotesize نمودار تابع عضویت تابع توزیع تجمعی $  \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) $  در مثال \ref{e2.2}}
\end{figure}
\end{example}
این مفهوم از متغیر تصادفی، که $ \tilde{X}=\tilde{\Theta}\oplus \Xi $ به عنوان متغیر تصادفی فازی نرمال (گوسی) تعریف می‌شود
، و در آن$ \Xi \sim N(0,\sigma ^{2}) $ و $ \tilde{\Theta} $ یک مجموعه فازی ثابت است.

\begin{definition}\label{d8.2}
فرض کنید $ \tilde{X}_{n},...,\tilde{X}_{1} $ یک نمونه تصادفی فازی باشد.تابع توزیع تجربی فازی $ (f.e.d.f) $ از نمونه تصادفی فازی $ \tilde{X}_{n},...,\tilde{X}_{1} $ در 
$ x \in \mathbb{R} $ با $ \tilde{\hat{F}}_{n}(x) $ نشان داده می‌شود و دارای تابع عضویت زیر می‌باشد
$$ \mu _{\tilde{F}_{\tilde{ X}}(x)}(y)=\sup\lbrace \alpha \in [0,1]:\dfrac{1}{n}\displaystyle \sum ^{n}_{i=1}I(\tilde{x}_{i\alpha}\leq x)=y \rbrace , \qquad y\in [0,1] $$
\end{definition}

\begin{example}\label{example3.2}
 \begin{table}[H]
\small
\centering
 \begin{tabular}[L]{|c c c c c|} 
\hline
$ \tilde{x}_{21}=(0.64,0.11,0.07)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{11}=(0.41,0.03,0.08)_{T} $ &\qquad\qquad & $  \tilde{x}_{1}=(0.23,0.04,0.07)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{22}=(0.94,0.09,0.04)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{12}=(0.86,0.08,0.04)_{T} $ & \qquad\qquad & $ \tilde{x}_{2}=(0.76,0.05,0.02)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{23}=(1.08,0.10,0.06)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{13}=(1.02,0.03,0.10)_{T} $ & \qquad\qquad & $ \tilde{x}_{3}=(0.98,0.12,0.09)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{24}=(1.37,0.08,0.06)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{14}=(1.23,0.03,0.14)_{T} $ & \qquad\qquad & $ \tilde{x}_{4}=(1.14,0.06,0.09)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{25}=(1.64,0.02,0.08)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{15}=(1.53,0.13,0.15)_{T} $ & \qquad\qquad & $ \tilde{x}_{5}=(1.46,0.10,0.07)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{26}=(1.83,0.09,0.05)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{16}=(1.78,0.04,0.06)_{T} $ &\qquad\qquad & $ \tilde{x}_{6}=(1.69,0.05,0.12)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{27}=(2.04,0.11,0.06)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{17}=(1.99,0.08,0.09)_{T} $ & \qquad\qquad & $ \tilde{x}_{7}=(1.95,0.05,0.11)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{28}=(2.36,0.05,0.09)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{18}=(2.25,0.04,0.04)_{T} $ & \qquad\qquad & $ \tilde{x}_{8}=(2.17,0.03,0.05)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{29}=(2.49,0.13,0.05)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{19}=(2.45,0.01,0.08)_{T} $ & \qquad\qquad & $ \tilde{x}_{9}=(2.40,0.08,0.12)_{T} $
\\
\hline
$ \tilde{x}_{30}=(2.61,0.08,0.06)_{T} $ &\qquad\qquad &$ \tilde{x}_{20}=(2.57,0.07,0.02)_{T} $ & \qquad\qquad & $ \tilde{x}_{10}=(2.51,0.10,0.14)_{T} $
\\
\hline
 \end{tabular}
  \caption{ داده های مثال \ref{example3.2} }\label{table1.2}
 \end{table}

فرض کنید نمونه‌ای به حجم $ n=30 $، از اعداد فازی مثلثی در جدول \ref{table1.2}
 داده شده است( ویرتل (2011)). بر اساس تعریف \ref{d8.2} تابع توزیع تجربی فازی $ (f.e.d.f) $ این نمونه تصادفی فازی بدست آمده و برای هر $ x \in [0,3] $ منحنی سه-بعدی آن در شکل \ref{plot5.2} نشان داده شده است.\\

\begin{figure}[htp] 
\hspace{-1cm}
\centerline{\includegraphics[width=12cm]{0005}}
\caption{\label{plot5.2}\footnotesize نمودار تابع توزیع تجربی تجمعی فازی در مثال \ref{example3.2}}
\end{figure}
علاوه‌ براین، $ \alpha $-برش تابع توزیع تجربی فازی برای سه مقدار $ \alpha $ $ (\alpha=0.3,0.8,1) $ در شکل \ref{plot6.2} نشان داده شده است.\\
\begin{figure}[htp] 
\hspace{-1cm}
\centerline{\includegraphics[width=10cm]{0006}}
\caption{\label{plot6.2}\footnotesize نمودار $ \alpha $-برش تابع توزیع تجربی فازی در مثال \ref{example3.2}}
\end{figure}
\end{example}

\begin{lemma}\label{lem1.2}
فرض کنید $ \tilde{X}_{n},..., \tilde{X}_{1} $ یک نمونه تصادفی فازی باشد. کران بالای $ \alpha $-برش 
تابع توزیع تجمعی $ \tilde{F}_{\tilde{X}}(x)$ و تابع توزیع تجربی فازی $ \tilde{\hat{F}}_{n}(x) $ به ترتیب عبارتست از
$$ (\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha}=P(\tilde{X}_{\alpha}\leq x) $$
$$ (\tilde{\hat{F}}_{n}(x))^{U}_{\alpha}=\dfrac{1}{n}\displaystyle \sum ^{n}_{i=1}I(\tilde{X}_{i\alpha}\leq x) $$
آنگاه
$$ P(\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}}|(\tilde{\hat{F}}_{n}(x))^{U}_{\alpha}-(\tilde{F}_{\tilde{X}})^{U}_{\alpha}(x) |\longrightarrow 0)=1\qquad
  \alpha \in [0,1] \mbox{هر برای} $$
در این حالت می‌گوییم $ \tilde{\hat{F}}_{n}(x) \longrightarrow \tilde{F}_{\tilde{X}}(x) $، به طور یکنواخت در $ x \in \mathbb{R} $.\\
\proofname 
 از جایی که برای هر $ \alpha \in [0,1] $، $ \tilde{X}_{n\alpha},..., \tilde{X}_{1\alpha} $ یک نمونه تصادفی است، بنابراین کافی است $   (\tilde{\hat{F}}_{n}(x))^{U}_{\alpha}$ را به جای $ F_{n}(x) $ و $  (\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha} $ را به جای $ F_{X}(x)$ در لم $ \mbox{5.4.1} $،گویندراجولو
$ (2003) $ قرار دهیم.آنگاه داریم
$$ P(\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}}|(\tilde{\hat{F}}_{n}(x))^{U}_{\alpha}-(\tilde{F}_{\tilde{X}})^{U}_{\alpha}(x) |\longrightarrow 0)=1 $$
از جایی که رابطه بالا برای هر $ \alpha \in [0,1] $ برقرار است، بنابراین اثبات کامل است.
\end{lemma}

\begin{remark}
توجه داشته باشید که تعاریف $ \tilde{\hat{F}}_{n}(x) $ و $ \tilde{F}_{\tilde{X}} $ به ترتیب تعمیم ساده ای از $ \hat{F}_{n}(x) $ (تابع توزیع تجربی متغیر تصادفی $ X $) و
 $ F_{X} $ (تابع توزیع متغیر تصادفی $ X $) می‌باشند، هنگامی که متغیرهای تصادفی فازی به متغیر تصادفی معلوم تغییر یابد.
بنابراین لم \ref{lem1.2} یک کلیت از لم کانتلی-گلیونکو برای متغیرهای تصادفی فازی می‌باشد. برای مثال رابطه زیر
$$ P(\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}}|(\tilde{\hat{F}}_{n}(x))^{U}_{\alpha}-(\tilde{F}_{\tilde{X}})^{U}_{\alpha}(x) |\longrightarrow 0)=1\qquad
  \alpha \in [0,1]  $$
  زمانی که متغیرهای تصادفی فازی به متغیرهای تصادفی معمولی تبدیل شوند به شکل زیر تغییر می‌کند
  $$ P(\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}}|\hat{F}_{n}(x)-F_{X}(x) |\longrightarrow 0)=1 $$
که همان لم کانتلی-گلیونکو برای متغیرهای تصادفی معمولی می‌باشد. \\
\end{remark}


\section{آزمون دونمونه‌ای کلموگروف-اسمیرنوف فازی}
در این بخش، آزمون دونمونه‌ای کلموگروف-اسمیرنوف کلاسیک را به حالتی که فرضیه اساسی و مشاهدات موجود فازی باشند، بسط می‌دهیم. بنابراین فرضیه فازی و $ p $-مقدار فازی را تعریف می‌کنیم و روشی برای ساخت آزمون دونمونه ای کلموگروف-اسمیرنوف فازی ارائه می‌دهیم.

\subsection{فرضیه‌های فازی}
\begin{definition}\label{d9.2}
فرض کنید $ \tilde{F}_{\tilde{X}} $ و $  \tilde{G}_{\tilde{Y}} $ به ترتیب تابع توزیع تجمعی متغیر های تصادفی $ \tilde{X} $ و $ \tilde{Y} $ باشند.
\begin{enumerate}
\item آزمون فرضیه یک طرفه چپ کلموگروف-اسمیرنوف دونمونه‌ای:\\
فرضیه زیر را در نظر بگیرید
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:\tilde{F}_{\tilde{X}}=\tilde{G}_{\tilde{Y}}\\
      \\
\tilde{H}_{1}:\tilde{F}_{\tilde{X}}\succ \tilde{G}_{\tilde{Y}}
	\end{array}\right. $$
از آنجا که  $ \tilde{F}_{\tilde{X}} $ و $  \tilde{G}_{\tilde{Y}} $ دارای توابع عضویت غیرصعودی می‌باشند، لذا فرضیه بالا معادل فرضیه زیر می‌باشد
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:(\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha}=(\tilde{G}_{\tilde{Y}}(x))^{U}_{\alpha} & \forall x \in \mathbb{R} , \forall \alpha \in [0,1]\\
      \\
\tilde{H}_{0}:(\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha}> (\tilde{G}_{\tilde{Y}}(x))^{U}_{\alpha} & \exists x \in \mathbb{R} , \forall \alpha \in [0,1]
	\end{array}\right. $$

\item آزمون فرضیه یک طرفه راست کلموگروف-اسمیرنوف دونمونه‌ای:\\
فرضیه زیر را در نظر بگیرید
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:\tilde{F}_{\tilde{X}}=\tilde{G}_{\tilde{Y}}\\
      \\
\tilde{H}_{1}:\tilde{F}_{\tilde{X}}\prec \tilde{G}_{\tilde{Y}}
	\end{array}\right. $$
از آنجا که  $ \tilde{F}_{\tilde{X}} $ و $  \tilde{G}_{\tilde{Y}} $ دارای توابع عضویت غیرصعودی می‌باشند، لذا فرضیه بالا معادل فرضیه زیر می‌باشد
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:(\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha}=(\tilde{G}_{\tilde{Y}}(x))^{U}_{\alpha} & \forall x \in \mathbb{R} , \forall \alpha \in [0,1]\\
      \\
\tilde{H}_{0}:(\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha}< (\tilde{G}_{\tilde{Y}}(x))^{U}_{\alpha} & \exists x \in \mathbb{R} , \forall \alpha \in [0,1]
	\end{array}\right. $$


\item آزمون فرضیه دو طرفه کلموگروف-اسمیرنوف دونمونه‌ای:\\
فرضیه زیر را در نظر بگیرید
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:\tilde{F}_{\tilde{X}}=\tilde{G}_{\tilde{Y}}\\
      \\
\tilde{H}_{1}:\tilde{F}_{\tilde{X}}\neq \tilde{G}_{\tilde{Y}}
	\end{array}\right. $$
از آنجا که  $ \tilde{F}_{\tilde{X}} $ و $  \tilde{G}_{\tilde{Y}} $ دارای توابع عضویت غیرصعودی می‌باشند، لذا فرضیه بالا معادل فرضیه زیر می‌باشد
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:(\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha}=(\tilde{G}_{\tilde{Y}}(x))^{U}_{\alpha} & \forall x \in \mathbb{R} , \forall \alpha \in [0,1]\\
      \\
\tilde{H}_{0}:(\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\alpha}\neq (\tilde{G}_{\tilde{Y}}(x))^{U}_{\alpha} & \exists x \in \mathbb{R} , \forall \alpha \in [0,1]
	\end{array}\right. $$
\end{enumerate}
\end{definition}

\subsection{آماره آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دونمونه‌ای فازی (یک طرفه)}
\begin{definition}\label{d10.2}
آماره آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دونمونه‌ای فازی برای فرضیه‌های فازی
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:\tilde{F}_{\tilde{X}}=\tilde{G}_{\tilde{Y}}\\
      \\
\tilde{H}_{1}:\tilde{F}_{\tilde{X}}\succ \tilde{G}_{\tilde{Y}}
	\end{array}\right. $$
با مجموعه $ \widetilde{\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}} $، نشان داده می‌شود که تابع عضویت آن به صورت زیر می‌باشد
$$ \mu_{\widetilde{\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}}} (y)=\displaystyle \sup_{\alpha \in [0,1]}\alpha I ( y\in [ ( \widetilde{\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}}) ^{L}_{\alpha}, ( \widetilde{\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}}) ^{U}_{\alpha} ] )  $$
که در آن 
$$ ( \widetilde{\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}}) ^{L}_{\alpha}=\displaystyle \inf_{\beta\geq\alpha}\sup_{x\in \mathbb{R}}[\dfrac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}I(\tilde{X}_{i\beta}\leq x) -\dfrac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}I(\tilde{Y}_{j\beta}\leq x)] $$
$$ ( \widetilde{\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}}) ^{U}_{\alpha}=\displaystyle \sup_{\beta\geq\alpha}\sup_{x\in \mathbb{R}}[\dfrac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}I(\tilde{X}_{i\beta}\leq x) -\dfrac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}I(\tilde{Y}_{j\beta}\leq x)] $$
از این پس آماره آزمون فازی مشاهده شده $ \widetilde{\sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn}} $ را با $ \tilde{d}_{0} $ نشان می‌دهیم. توجه داشته باشید که $ \alpha $-برش $ \tilde{d}_{0} $ را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد
$$ (\tilde{d}_{0}) ^{L}_{\alpha}=\displaystyle \inf_{\beta\geq\alpha}\max_{1\leq k\leq(m+n)}[\dfrac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}I(\tilde{X}_{i\beta}\leq \tilde{z}_{k\beta}) -\dfrac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}I(\tilde{Y}_{j\beta}\leq \tilde{z}_{k\beta})] $$
$$ (\tilde{d}_{0}) ^{U}_{\alpha}=\displaystyle \sup_{\beta\geq\alpha}\max_{1\leq k\leq(m+n)}[\dfrac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}I(\tilde{X}_{i\beta}\leq \tilde{z}_{k\beta}) -\dfrac{1}{n}\sum^{n}_{j=1}I(\tilde{Y}_{j\beta}\leq \tilde{z}_{k\beta})] $$
که در آن $ \tilde{z}_{(m+n)\alpha},...,\tilde{z}_{1\alpha} $ نشان دهنده نمونه ترکیبی $ \tilde{x}_{m\alpha},...,\tilde{x}_{1\alpha} $ و $ \tilde{y}_{n\alpha},...,\tilde{y}_{1\alpha} $ می‌باشد(کوام و ویداکویک(2007)).
\end{definition}
\begin{remark}
برای حالت یک طرفه راست و حالت دو طرفه می‌توان از استدلال مشابه استفاده کرد.
\end{remark}
\subsection{$ p $-مقدار فازی}
در ادامه مفهوم $ p $-مقدار فازی را بسط خواهیم داد.
\begin{definition}\label{d11.2}
در مسئله آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دونمونه‌ای برای آزمون فرضیه‌های
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:\tilde{F}_{\tilde{X}}=\tilde{G}_{\tilde{Y}}\\
      \\
\tilde{H}_{1}:\tilde{F}_{\tilde{X}}\succ \tilde{G}_{\tilde{Y}}
	\end{array}\right. $$
$ p $-مقدار فازی را با مجموعه فازی $ \tilde{p} $-مقدار نشان می‌دهیم و تابع عضویت آن به شکل زیر می‌باشد
$$ \mu_{\mbox{-مقدار}\tilde{p}}(y)=\displaystyle \sup_{\alpha \in [0,1]}\alpha I(y\in [(\mbox{-مقدار}\tilde{p})^{L}_{\alpha},(\mbox{-مقدار}\tilde{p})^{U}_{\alpha}]), \qquad y\in \mathbb{R} $$
که در آن
$$ (\mbox{-مقدار}\tilde{p})^{L}_{\alpha}=\displaystyle \inf_{\beta \geq \alpha}\lbrace P_{H_{0}^{\beta}}(Z^{\beta}\geq d):d \in \tilde{d}_{0}[\alpha] \rbrace $$
$$ (\mbox{-مقدار}\tilde{p})^{U}_{\alpha}=\displaystyle \sup_{\beta \geq \alpha}\lbrace P_{H_{0}^{\beta}}(Z^{\beta}\geq d):d \in \tilde{d}_{0}[\alpha] \rbrace $$
که در آن $ \beta \in [0,1] $ و 
$$Z^{\beta}=\displaystyle \sup_{x \in \mathbb{R}} \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}[(\tilde{\hat{F}}_{m}(x))^{U}_{\beta}-(\tilde{\hat{G}}_{n}(x))^{U}_{\beta}], $$
$$ H^{\beta}_{0}:(\tilde{F}_{\tilde{X}}(x))^{U}_{\beta}=(\tilde{G}_{\tilde{Y}}(x))^{U}_{\beta},\qquad \forall x \in \mathbb{R}. $$
\end{definition}
\begin{remark}
با استفاده از تعریف \ref{d4.3} و \ref{d7.2}، توجه داشته باشید که توزیع نونه‌ای $ Z^{\beta} $ تحت فرض $ H^{\beta}_{0} $ مشابه همان توزیع نمونه ای $  \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn} $ تحت $ H_{0} $ می‌باشد. به عنوان مثال برای هر $ d\geq 0 $ 
 $$ P_{H^{\beta}_{0}}( Z^{\beta}\geq d)=P_{H_{0}}( \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn} \geq d), $$
بنابراین $ \alpha $-برش $ p $-مقدار فازی در تعریف فوق به شکل زیر ساده می‌شود
 $$ (\mbox{-مقدار}\tilde{p})^{L}_{\alpha}=P_{H_{0}}( \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn} \geq (\tilde{d}_{0})^{U}_{\alpha}), $$
 $$ (\mbox{-مقدار}\tilde{p})^{U}_{\alpha}=P_{H_{0}}( \sqrt{\dfrac{mn}{m+n}}D^{+}_{mn} \geq (\tilde{d}_{0})^{L}_{\alpha}). $$
\end{remark}
\begin{remark}
با استفاده از روش مشابه می‌توان $ p $-مقدار فازی  را برای فرضیه های یک‌طرفه راست و دو طرفه  آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دو نمونه‌ای ساخت.
\end{remark}
 
\subsection{روش تصمیم گیری}
در مسئله آزمون کلاسیک یک قاعده تصمیم گیری برای پذیرش یا رد فرضیه صفر، مقایسه $ p $-مقدار مشاهدات با سطح معنی داری داده شده می‌باشد.
در اینجا ما با استفاده از شاخص $ C $ معرفی شده در تعریف  \ref{d2.2}  به ساخت یک تابع تست فازی و مقایسه آنها می‌پردازیم.
\begin{definition}\label{d12.2}
مسئله آزمون فرض زیر را در نظر بگیرید
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:\tilde{F}_{\tilde{X}}=\tilde{G}_{\tilde{Y}}\\
      \\
\tilde{H}_{1}:\tilde{F}_{\tilde{X}}\succ \tilde{G}_{\tilde{Y}}
	\end{array}\right. $$
براساس دو نمونه تصادفی فازی مستقل $ (\tilde{X}_{m},...,\tilde{X}_{1})=\tilde{X} $ و$ (\tilde{Y}_{n},...,\tilde{Y}_{1})=\tilde{Y} $ 
، در سطح معنی داری $ \delta \in [0,1] $، تابع آزمون فازی با مجموعه فازی $ \tilde{\varphi}_{\delta}[\tilde{X},\tilde{Y}] $ تابع عضویت زیر می‌باشد می‌شود، که دارای
 $$ \tilde{\varphi}_{\delta}[\tilde{X},\tilde{Y}](t)=\left\lbrace \begin{array}{c c}
C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} <\delta \rbrace & t=\tilde{H}_{0} \mbox{رد}\\
      \\
C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} >\delta \rbrace & t=\tilde{H}_{0} \mbox{پذیرش}
	\end{array}\right.  $$
بنابراین براساس مشاهدات فازی، مقدار احتمال توزیع فازی هر دو جامعه یکسان و برابر $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} \geq \delta \rbrace $ می‌باشد. یعنی فرضیه $ H_{0} $ را در برابر فرضیه $ \tilde{H}_{1} $ با درجه پذیرش $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} \geq \delta \rbrace $ می‌پذیریم وبا درجه ای از $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} < \delta \rbrace $ آن را رد می‌کنیم.
به بیان دیگر، در تابع آزمون فازی $ \tilde{\varphi}_{\delta}[\tilde{X},\tilde{Y}] $  ، $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} \geq \delta \rbrace $ درجه اعتبار پذیرش فرض صفر و $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} < \delta \rbrace $ درجه اعتبار رد فرضیه صفر نامیده می‌شود.
\end{definition}
\begin{remark}
در سطح معنی داری اسمی $ \delta $، می‌توان درجه رد یا قبول فرضیه $ \tilde{H}_{0} $ را به شرح زیر تفسیر کرد
\begin{enumerate}
\item اگر $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} \geq \delta \rbrace >0.5 $، آنگاه مشاهدات فازی بیشتر از $ \tilde{H}_{0} $ پیروی می‌کنند تا $ \tilde{H}_{1} $
\item اگر $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} < \delta \rbrace >0.5 $، آنگاه مشاهدات فازی بیشتر از $ \tilde{H}_{1} $ پیروی می‌کنند تا $ \tilde{H}_{0} $
\item اگر $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} \geq \delta \rbrace=C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} < \delta \rbrace =0.5 $ آنگاه مشاهدات فازی به‌طور یکسان از $ \tilde{H}_{0} $ و $ \tilde{H}_{1} $ پیروی می‌کنند.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}
در آزمون کلموگروف-اسمیرنوف دونمونه‌ای کلاسیک، واضح است که اگر فرضیه $ H_{0} $ در سطح معنی داری $ \delta_{1} $ رد شود آنگاه برای هر سطح معنی داری $ \delta_{2} $ 
$ (\delta_{2} >\delta_{1}) $ این فرضیه رد خواهد شد. حال مسئله آزمون فرض فازی را بر اساس دو نمونه تصادفی فازی
$ (\tilde{X}_{m},...,\tilde{X}_{1})=\tilde{X} $ و$  (\tilde{Y}_{n},...,\tilde{Y}_{1})=\tilde{Y} $ 
را در نظر بگیرید. فرض می‌کنیم $ H_{0} $ در سطح معنی داری $ \delta_{1} $
رد می‌شود 
$ (C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} < \delta_{1} \rbrace >0.5 )$، براساس تذکر \ref{remark2.3} به طور بدیهی نتیجه می‌شود که برای هر $ \delta_{2} > \delta
_{1} $، $ C\lbrace \mbox{-مقدار}\tilde{p} < \delta_{2} \rbrace >0.5  $ که به این معنی است که $ H_{0} $ در سطح معنی داری $ \delta_{2} $ رد می‌شود.
\end{remark}

\section{مثال عددی }
\begin{example}\label{exam4.3}
بخش بازیابی تایر و لاستیک یک شرکت، دو فرمول $ A $ و $ B $ را مورد برسی قرار داده است. برای این منظور شش اتومبیل با لاستیک فرمول $ A $ در سمت چپ (شناخته شده به عنوان متغیر $ X $) ولاستیک فرمول $ B $ در سمت راست (شناخته شده به عنوان متغیر $ Y $) برازش داده شده‌اند. با توجه به برخی مشکلات در اندازه گیری از مقادیر اندازه گیری شده مطمئن نیستیم به همین دلیل داده ها به عنوان اعداد فازی در نظر گرفته شده‌اند.\\
\begin{table}[H]
\small
\centering
\begin{tabular}[c]{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} $b_{y}$ & $a_{y}$ & $y$ & $b_{x}$ & $a_{x}$ & $x$ &    \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.273 & 3.766 & 75.325 & 3.654 & 5.116 & 73.080 & 1 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.038 & 3.599 & 71.970 & 3.456 & 4.838 & 69.117 & 2 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.815 & 4.154 & 83.076 & 4.215 & 5.901 & 84.307 & 3 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.909 & 4.221 & 84.417 & 3.935 & 5.508 & 78.692 & 4 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.125 & 3.660 & 73.208 & 3.683 & 5.372 & 75.543 & 5 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.250 & 3.750 & 75.003 & 3.572 & 5.001 & 71.439 & 6 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.533 & 3.952 & 79.039 & 3.861 & 5.405 & 77.215 & 7 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.569 & 3.978 & 79.556 & 3.737 & 5.232 & 74.744 & 8 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 4.791 & 3.422 & 68.446 & 3.305 & 4.626 & 66.090 & 9 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.664 & 4.046 & 80.913 & 4.121 & 5.770 & 82.422 & 10 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 6.154 & 4.396 & 87.912 & 3.908 & 5.471 & 78.161 & 11 \\ 
\hline \rule[-2ex]{0pt}{5ex} 5.355 & 3.825 & 76.500 & 3.911 & 5.475 & 78.214 & 12 \\ 
\hline 
 \end{tabular}
 \caption{   }\label{t2.2}
 \end{table}
 اکنون می‌خواهیم فرضیه زیر را برای داده‌های فازی دو جامعه در جدول  \ref{t2.2}
مورد آزمون قرار دهیم.
$$ \left\lbrace \begin{array}{c c}
\tilde{H}_{0}:\tilde{F}_{\tilde{X}}=\tilde{G}_{\tilde{Y}}\\
      \\
\tilde{H}_{1}:\tilde{F}_{\tilde{X}}\succ \tilde{G}_{\tilde{Y}}
	\end{array}\right. $$
با استفاده از مطالب گفته شده در بخش قبل و برنامه نوشته شده در پیوست ... تابع عضویت $ p $-مقدار به صورت زیر بدست می‌آید
$$\mu_{\mbox{مقدار}-p}(t)= \left\lbrace \begin{array}{c c}
0.2 & 0.1666667 \leq t<0.25\\
      \\
0.64 & 0.25 \leq t< 0.3333333 \\
\\
1 & t=0.3333333 \\
\\
0& \mbox{نقاط سایر}
	\end{array}\right.$$

\begin{figure}[htp] 
\hspace{-1cm}
\centerline{\includegraphics[width=12cm]{1100}}
\caption{\label{plot5.3}\footnotesize نمودار  تابع عضویت $ p $-مقدار فازی وسطح معنی داری $ \delta=0.3 $}
\end{figure}
باتوجه به تعریف \ref{d2.2} داریم
$$ C(\tilde{A}\leq x)=\dfrac{\sup_{t\leq 0.3}\tilde{A}(y)+1-\sup_{t>0.3}\tilde{A}(y)}{2}=\dfrac{0.64+1-1}{2}=0.32 $$
لذا تابع آزمون فازی به صورت زیر بدست می‌آید
$$ \tilde{\Phi}_{0.3}(t)= \left\lbrace \begin{array}{c c}
0.68 & t=\mbox(رد)\tilde{H}_{0}\\
      \\
0.32 & t=\mbox(پذیرش)\tilde{H}_{0} \\
	\end{array}\right. $$
لذا با توجه به تابع آزمون فازی بدست آمده فرض $ \tilde{H}_{0} $ با درجه اعتبار $ 0.32 $ می‌پذیریم و با درجه اعتبار $ 0.68 $ فرض $ \tilde{H}_{0} $ را رد می‌کنیم.

\end{example}



\label{xxxxxxxxxxxx}
\newpage
\newpage

%$$\left( \begin{array}{c}
 %2\\ 
%5 
%\end{array}\right) $$

%\begin{definition}
% يک فضاي متري مجموعه‌اي است مانند $X$ که در آن يک تابع فاصله (يا متر) مانند $d$  با خواص زير تعريف شده است:
%\begin{enumerate}
%\item به ازاي هر $x$ و $y$ در $X$ ، $0\leq d(x,y)<\infty$؛
%\item  $d(x,y)=0$ اگر و فقط اگر $ x=y $؛
%\item  به ازاي هر $x$ و $y$ در $X$ ،$ d(x,y)=d(y,x) $؛
%\item به ازاي هر $x$ ، $y$ و $ z $ در $X$ ،$ d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) $.
%\end{enumerate}
	% \\$(1$ به ازاي هر $x$ و $y$ در $X$ ، $0\leq d(x,y)<\infty$؛
%\\$(2$ $d(x,y)=0$ اگر و فقط اگر $ x=y $؛
%\\$ (3 $ به ازاي هر $x$ و $y$ در $X$ ،$ d(x,y)=d(y,x) $؛
%\\$ (4 $ به ازاي هر $x$ ، $y$ و $ z $ در $X$ ،$ d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) $.
%\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\chapter*{پيوست}\markboth{پيوست}{پيوست}
\addcontentsline{toc}{chapter}{پيوست}
\thispagestyle{empty}
برنامه برای محاسبه مقدار آماره آزمون رتبه علامت ویلکاکسون معمولی : 
\label{program1}
{\latin{
\begin{verbatim}
dd100=function(y) 
{
n=length(y)
k=0
y1=0
for(i in 1:n){
if(y[i]<0 | y[i]>0){
k=k+1
y1[k]=y[i]}
}
rr=rank(abs(y1),ties.method= "average")
n1=length(y1)
g=0
for(i in 1:n1){
if(y1[i]>0){g=g+rr[i]}}
return(g)
}


\end{verbatim}
}
}
برنامه برای محاسبه مقدار $ (\tilde{T}^{+})^{L}_{\alpha} $ و $ (\tilde{T}^{+})^{U}_{\alpha} $ با استفاده از برنامه پیوست \ref{program1}:
\label{program2}
{\latin{
\begin{verbatim}
dd101=function (x1,x2,x3,x4,m0)
{
a=seq(0,1,0.01)
z=matrix(,length(a),2)
for (i in 1:length(a)) 
{
b=seq(a[i],1,.001)
n=length(b)
t1=0
t2=0
for(j in 1:n){
y1=x1+(x2-x1)*b[j]-m0
y2=x4-(x4-x3)*b[j]-m0
t1[j]=dd100(y1)
t2[j]=dd100(y2)
}
TL=min(min(t1),min(t2))
TU=max(max(t1),max(t2))
z[i,1]=TL
z[i,2]=TU
}
print(z)
}

\end{verbatim}
}
}
برنامه برای محاسبه مقدار $ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha} $ و $ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha} $ با توجه به تعریف \ref{d2.1}:
\label{program3}
{\latin{
\begin{verbatim}
dd102=function (x1,x2,x3,x4,n) 
{
b=seq(0,1,0.1)
m=length(b)
y=matrix(,m,2)
for(i in 1:m){
y[i,1]=x1+(x2-x1)*b[i]
y[i,2]=x4-(x4-x3)*b[i]
}
t=matrix(,m,2)
z=pnorm((seq(0,n*(n+1)/2,0.5)+0.5-n*(n+1)/4)/sqrt(2*n*(n+1)*(2*n+1)/48))
x=seq(0,n*(n+1)/2,0.5)
for(k in 1:2)
{
for(i in 1:m)
{
for(j in 1:length(z))
{
if(z[j]>y[i,k]){t[i,k]=x[j-1],break }
}
}
}
return(t)
}
\end{verbatim}
}
}

برنامه برای محاسبه مقدار درجه اولویت در تعریف \ref{d5.1}:
\label{program4}
{\latin{
\begin{verbatim}
S=function (a,b,d,e) 
{s1=0
s2=0
s3=0
for(i in 1:length(a))
{
for(j in 1:length(d))
{
s1=s1+min(b[i],e[j])

if(d[j]==a[i]){
s3=s3+min(b[i],e[j])}

if(d[j]<a[i]){
s2=s2+min(b[i],e[j])}
}
}
s=(s2/s1)+(s3/s1)/2
print(s)
}




\end{verbatim}
}
}


برنامه برای محاسبه مقدار $ (\tilde{T}^{+})^{L}_{\alpha} $ و $ (\tilde{T}^{+})^{U}_{\alpha} $ تعریف \ref{d7.1} با استفاده از برنامه پیوست \ref{program1}:
\label{program5}
{\latin{
\begin{verbatim}
dd201=function (x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,m0)
{ a=seq(0,1,0.01)
z=matrix(,length(a),2)
for (i in 1:length(a)) 
{ b=seq(a[i],1,.001)
t1=0
t2=0
for(j in 1:length(b)){
X1=x1+(x2-x1)*b[j]
X2=x4-(x4-x3)*b[j]
Y1=y1+(y2-y1)*b[j]
Y2=y4-(y4-y3)*b[j]
w1=X1-Y2
w2=X2-Y1
t1[j]=dd100(w1)
t2[j]=dd100(w2)
}
TL=min(min(t1),min(t2))
TU=max(max(t1),max(t2))
z[i,1]=TL
z[i,2]=TU
}
print(z)
}
\end{verbatim}
}
}
برنامه برای محاسبه مقدار $ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{L}_{\alpha} $ و $ (\tilde{C}_{\tilde{\delta}})^{U}_{\alpha} $ با توجه به تعریف \ref{d3.1}:
\label{program6}
{\latin{
\begin{verbatim}
dd202=function (x1,x2,x3,x4,n) 
{ b=seq(0,1,.01)
m=length(b)
y=matrix(,m,2)
for(i in 1:m){
y[i,2]=x1+(x2-x1)*b[i]
y[i,1]=x4-(x4-x3)*b[i]
}
t=matrix(,m,2)
z=1-pnorm((seq(0,n*(n+1)/2,0.5)-0.5-n*(n+1)/4)/sqrt(2*n*(n+1)*(2*n+1)/48))
x=seq(0,n*(n+1)/2,0.5)
for(k in 1:2)
{
for(i in 1:m)
{
for(j in 1:length(z))
{
if(z[j]<y[i,k]){t[i,k]=x[j-1]
break }
}
}
}
return(t)
}
\end{verbatim}
}
}
برنامه محاسبه تابع توزیع تجربی در مثال  \ref{example3.2}
\label{program7}
{\latin{
\begin{verbatim}

function (M) 
{m=M[,1]
l=M[,2]
r=M[,3]
n=length(m)
a=seq(0.02,1,0.02)
h=matrix(,50*n,2)
for(i in 1:50){
for(j in 1:n){
wl=m[j]-l[j]*(1-2*a[i])
wr=m[j]-r[j]*(1-2*a[i])
h[j+(i-1)*n,1]=wl
h[j+(i-1)*n,2]=wr
}
}
x=seq(0.06,3,0.06)
a=seq(0.02,1,0.02)
z=matrix(,2500,3)
for(i in 1:50){
for(k in 1:50){
z[k+(i-1)*50,1]=a[i]
z[k+(i-1)*50,2]=x[k]
}

for(j in 1:50){
s1=0
s2=0
for(k in 1:30){
if(h[k+(j-1)*n,1]<=x[j]){s1=s1+1}
}
for(k in 1:30){
if(h[k+(j-1)*n,2]<=x[j]){s2=s2+1}
}
if(a[j]<=0.5){s=s1}
if(a[j]>0.5){s=s2}
z[j+(i-1)*50,3]=s/n
}
}
print(z)
}
\end{verbatim}
}
}


برنامه محاسبه مقدار تابع عضویت $ p $-مقدار فازی برای مثال\ref{exam4.3} فصل $ 3 $ .
برای محاسبه  تابع عضویت $ p $-مقدار فازی ابتدا برنامه اول را اجرا و سپس برنامه دوم را اجرا می‌کنیم.
\label{program8}
{\latin{
\begin{verbatim}
b1=function(M,N,alfa) 
{m1=M[,1]
n1=length(m1)
m2=N[,1]
n2=length(m2)
l1=M[,2];r1=M[,3]
l2=N[,2];r2=N[,3]
b=seq(alfa,1,0.01)
b1=length(b)
h1=matrix(,n1*b1,2)
h2=matrix(,n2*b1,2)
for(i in 1:b1){
for(j in 1:n1){
wl=m1[j]-l1[j]*(1-2*b[i])
wr=m1[j]-r1[j]*(1-2*b[i])
h1[j+(i-1)*n1,1]=b[i]
if(b[i]<=0.5){h1[j+(i-1)*n1,2]=wl}
else{h1[j+(i-1)*n1,2]=wr}
}
for(j in 1:n2){
wl=m2[j]-l2[j]*(1-2*b[i])
wr=m2[j]-r2[j]*(1-2*b[i])
h2[j+(i-1)*n2,1]=b[i]
if(b[i]<=0.5){h2[j+(i-1)*n2,2]=wl}
else{h2[j+(i-1)*n2,2]=wr}
}
}
z1=rep(0,(n1+n2)*b1)
for(v in 1:b1){
for(t in 1:(n1)){
z1[t+(v-1)*(n1+n2)]=h1[t+(v-1)*n1,2]
}
for(w in 1:n2){
z1[w+n1+(v-1)*(n1+n2)]=h2[w+(v-1)*n2,2]
}
}
H=matrix(,(n1+n2)*b1,5)
for(i in 1:(b1)){
for(k in 1:(n1+n2)){
H[k+(i-1)*(n1+n2),1]=b[i]
H[k+(i-1)*(n1+n2),2]=z1[k]
}
}
for(i in 1:b1){
for(j in 1:(n1+n2)){
s=c=0
for(k in 1:(n1)){
if(h1[k+(i-1)*(n1),2]<=H[j+(i-1)*(n1+n2),2]){s=s+1}
}
for(k in 1:(n2)){
if(h2[k+(i-1)*(n2),2]<=H[j+(i-1)*(n1+n2),2]){c=c+1}
}
H[j+(i-1)*(n1+n2),3]=s/n1
H[j+(i-1)*(n1+n2),4]=c/n2
}
}
H[,5]=H[,3]-H[,4]
#print(H)
q=rep(0,(b1))
for(k in 1:b1){
e=rep(0,n1+n2)
for(t in 1:(n1+n2)){
e[t]=H[t+(k-1)*(n1+n2),5]
}
q[k]=max(e)
}
d0l=min(q)
d0u=max(q)
return(c(d0l,d0u))
}
########################
b2=function(M,N) 
{
a=seq(0.01,1,0.01)
e=matrix(,100,3)
for(i in 1:100){
e[i,]=c(a[i],b1(M,N,a[i]))
}
print(e)
}
\end{verbatim}
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\chapter*{واژه‌نامه انگليسي به فارسي }\markboth{واژه‌نامه انگليسي به فارسي}{واژه‌نامه انگليسي به فارسي}
\addcontentsline{toc}{chapter}{واژه‌نامه انگليسي به فارسي}
\thispagestyle{empty}
اختيار آمريکايي
\dotfill$\mathrm{American~Option} $\\
مدل دوجمله‌اي
\dotfill$\mathrm{Binomial~Model} $\\
اختيار خريد
\dotfill$ \mathrm{Cull~Option} $\\
پوشش خطر (ريسک) دلتا
\dotfill$ \mathrm{Delta~Hedging} $\\
راهبرد پوشش ريسک پويا
\dotfill$ \mathrm{ Dynamic~Hedging~Strategie}  $\\
اختيار اروپايي
\dotfill$ \mathrm{European~Option} $\\
قيمت اعمال (قيمت توافقي)
\dotfill$ \mathrm{ Exercise~Price (Strike~Price)}  $\\
قيمت نقد مورد انتظار
\dotfill$ \mathrm{ Expected~Future~Price}  $\\
تاريخ انقضاء (سررسيد، تاريخ اعمال، تاريخ توافقي)
\dotfill$ \mathrm{ Expiration~Date~or~Maturity~or~Exercise~Date}  $\\
پيمان آتي
\dotfill$ \mathrm{ Forward~Contract} $\\
قرارداد آتي  
\dotfill$ \mathrm{ Futures~Contract } $\\
حساب وديعه
\dotfill$ \mathrm{ Margin~Account } $\\
بازارهاي فرابورس
\dotfill$ \mathrm{Over~The~Counter~Market} $\\
اختيار فروش
\dotfill$ \mathrm{Put~Option} $\\
ترکيب مجدد
\dotfill$ \mathrm{ Recombine}  $\\
نرخ بهره بدون ريسک
\dotfill$ \mathrm{Risk~ Free~Interest~Rate} $\\
راهبردهاي ترکيبي نامتقارن
\dotfill$ \mathrm{ Spreads~Strategie}  $\\
اختيار معامله سهام
\dotfill$ \mathrm{Stock~Options} $\\
دارايي پايه
\dotfill$ \mathrm{ Underlying~Asset}  $\\
  نوسان‌پذيري (تلاطم)
\dotfill$ \mathrm{Volatility} $\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\chapter*{واژه‌نامه فارسي به انگليسي}\markboth{واژه‌نامه فارسي به انگليسي}{واژه‌نامه فارسي به انگليسي}
\addcontentsline{toc}{chapter}{واژه‌نامه فارسي به انگليسي}
\thispagestyle{empty}
اختيار آمريکايي
\dotfill$ \mathrm{American~Option} $\\
اختيار اروپايي
\dotfill$ \mathrm{European~Option} $\\
اختيار خريد
\dotfill$ \mathrm{Cull~Option} $\\
اختيار فروش
\dotfill$ \mathrm{Put~Option} $\\
اختيار معامله سهام
\dotfill$ \mathrm{Stock~Options} $\\
بازارهاي فرابورس
\dotfill$ \mathrm{Over~The~Counter~Market} $\\
پوشش خطر (ريسک) دلتا
\dotfill$ \mathrm{Delta~Hedging} $\\
پيمان آتي
\dotfill$ \mathrm{ Forward~Contract}  $\\
%پيمان آتي نرخ بهره
%\dotfill$ \mathrm{ Forward~Rate~Agreement}  $\\
تاريخ انقضاء (سررسيد، تاريخ اعمال، تاريخ توافقي)
\dotfill$ \mathrm{ Expiration~Date~or~Maturity~or~Exercise~Date}  $\\
ترکيب مجدد
\dotfill$ \mathrm{ Recombine}  $\\
حساب وديعه
\dotfill$ \mathrm{ Margin~Account } $\\
دارايي پايه
\dotfill$ \mathrm{ Underlying~Asset}  $\\
راهبرد پوشش ريسک پويا
\dotfill$ \mathrm{ Dynamic~Hedging~Strategie}  $\\
راهبردهاي ترکيبي نامتقارن
\dotfill$ \mathrm{ Spreads~Strategie}  $\\
قرارداد آتي
\dotfill$ \mathrm{ Futures~Contract}  $\\
قيمت اعمال (قيمت توافقي)
\dotfill$ \mathrm{ Exercise~Price (Strike~Price)}  $\\
قيمت نقد مورد انتظار
\dotfill$ \mathrm{ Expected~Future~Price}  $\\
مدل دوجمله‌اي
\dotfill$ \mathrm{Binomial~Model} $\\
نرخ بهره بدون ريسک
\dotfill$ \mathrm{Risk~ Free~Interest~Rate} $\\
نوسان‌پذيري (تلاطم)
\dotfill$ \mathrm{Volatility} $\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{نام$  $نامه}
\addcontentsline{toc}{chapter}{نام$  $نامه}
استراتونويچ
\dotfill   \lr{{Stratonovich}}\\
ايتو
\dotfill   \lr{{Ito}}\\
اُکسندال
\dotfill   \lr{{Oksendal}}\\
آکای
\dotfill   \lr{{Akay}}\\
باناخ
\dotfill   \lr{{Banach}}\\
بکستین
\dotfill   \lr{{Bakstein}}\\
بلک
\dotfill   \lr{{Black}}\\
بیسموت
\dotfill   \lr{{Bismut}}\\
پردوکس
\dotfill   \lr{{Pardoux}}\\
پنگ
\dotfill   \lr{{Peng}}\\
رابينستين
 \dotfill   \lr{{Rubinstein}}\\
 راس
 \dotfill   \lr{{Ross }}\\
  رودين 
 \dotfill   \lr{{Rudin }}\\
 شولز
  \dotfill   \lr{{Scholes}}\\
  کاپاسو
  \dotfill   \lr{{Capasso}}\\
  کاکس
  \dotfill   \lr{{Cox}}\\
  گات
  \dotfill   \lr{{Gut}}\\
  لیپ‌شیتس
  \dotfill   \lr{{Lipschitz}}\\
  مارکوف
  \dotfill   \lr{{Markov}}\\
 مرتون
\dotfill   \lr{{Merton}}\\
 هال
 \dotfill   \lr{{Hull }}\\
 هرمن
 \dotfill   \lr{{Herman }}\\
 هوئل
  \dotfill   \lr{{Hoel }}\\
 هيلبرت
  \dotfill   \lr{{Hilbert }}\\
 
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
\include{Referanse}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{راس}
راس، شلدون. م. $ (1389) $. فرايندهاي تصادفي، ترجمه: عين‌اله پاشا، انتشارات دانشگاه تهران، مرکز نشر دانشگاهي .
\bibitem{والتر} 
رودين، والتر. $ (1376) $. آناليز حقيقي و مختلط، ترجمه­: دکتر علي‌اکبر عالم‌زاده، ويرايش سوم، انتشارات مبتکران.
\bibitem{والتر1} 
 رودين، والتر. $(1385)$. اصول آناليز رياضي، ترجمه: دکتر علي‌اکبر عالم‌زاده، انتشارات علمي و فني. 
\bibitem{طيبي}
طيبي، سید کمیل. و همکاران. $ (1392) $. الگوسازي نااطميناني در قيمت نفت ايران با استفاده از فرايند تصادفي برگشت به ميانگين، فصلنامه اقتصاد انرژي ايران.
\bibitem{ظهوری‌زنگنه}
ظهوری‌زنگنه، بیژن. نظریه فرایندهای تصادفی، دانشگاه صنعتی شریف، دانشکده علوم.
\bibitem{قاسمی}
قاسمی‌فرد، آزاده. و جهاندیده، محمدتقی. $ (1395) $. معادله‌ی دیفرانسیل تصادفی پسرو در ارزش‌گذاری مشتقات مالی، تهران، دانشگاه علامه طباطبائی.
\bibitem{قدوسی}
قدوسی، حامد. $ (1387) $. مروری بر اختیارات طبیعی، مدرسه تحصیلات تکمیلی فاینانس وین  $ (VGSF) $.
\bibitem{نیکوکار}
نیکوکار، مسعود. $ (1371) $. معادلات دیفرانسیل، مؤسسه تحقیقاتی و انتشاراتی نور.
\bibitem{هال}
هال، جان. $ (1384) $. مباني مهندسي مالي و مديريت ريسک، ترجمه: سجاد سياح و علي صالح‌آبادي. 

\bibitem{هوئل}
هوئل. پورت. استون. $ (1367) $. آشنايي با فرايندهاي تصادفي، ترجمه: دکتر محمدحسين افقهي، مرکز نشر دانشگاهي، تهران. 
%\bibitem{1} 
 %طاهري، م. و ماشين‌چي، م. ($1381$). مقدمه$\-$‌اي بر احتمال و آمار فازي، انتشارات دانشگاه شهيد باهنر کرمان. 
%\bibitem{taheri magale} 

% محمدي، ج. و طاهري، س. م. ($1384$). برازش توابع انتقالي خاک با استفاده از رگرسيون فازي، علوم وفنون کشاورزي و منابع طبيعي،
% \textbf{9}:50-60.  
% \bibitem{niromand}

%نيرومند، ح. ($1387$). تحليل رگرسيون خطي ابزاري براي تحقيق، انتشارات نورپردازان. 
\latin
{ 
\bibitem{آکاي} Akay, T. (2016). Forecasting stylised features of electricity prices in the Australian National Electricity Market, A thesis submitted in fulfilment of the requirements for the degree of PhD in Economics, School of Economics Finance and Marketing, College of Business. RMIT University.
\bibitem{کاپاسو} Capasso, V. and Bakstein, D. (2005). An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes ,Theory, Models, and Applications to Finance, Biology, and Medicine, MIRIAM (Milan Research Centre for Industrial and Applied Mathematics), University of Milan, Department of Mathematics, 20133 Milan, Italy.
\bibitem{ال کاروی} El Karoui, N., Hamadene, S. and Matoussi, A. (). Backward Stochastic Differential Equations and Applications.
\bibitem{همدانی} Hamadene, S. and Zhang, J. (2010). Switching problem and related system of reflected
backward SDEs, Stochastic Processes and their Applications 120 (403–426).
\bibitem{هرمن} Herman J. Bierens. (2012). Hilbert Space Theory and Its Applications to Semi-Nonparametric Modeling and Inference, Pennsylvania State University.
\bibitem{دنگ} Deng, S. J. and Xia, Z. (2005). Pricing and hedging electric supply contracts: A case with tolling agreements.
\bibitem{فوکيو} Fouque, J. P., Papanicolaou, G. and Sircar, K. R. (2000). Mean-Reverting Stochastic Volatility.
\bibitem{گات} Gut, A. (2005). Probability: A Graduate Course, Department of Mathematics, University of Uppsala, 
SE-751 06 Uppsala, Sweden.
%\bibitem{هول} Hoel, P. G., Port, S. C. and Stone, C. J. (1972). Introduction to stochastic processes, By houghton mifflin commpany boston.
%\\, School of Industrial and Systems Engineering, Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia 30332-0205.
\bibitem{اکسندال} Oksendal, B. (2002). Stochastic Differential Equations, Fifth Edition, Corrected Printing Springer-Verlag Heidelberg New York.
\bibitem{پردوکس} Pardoux, E. and Rascanu, A. (2014), Stochastic Differential Equations, Backward SDEs, Partial Differential Equations, Stochastic Modelling and Applied Probability, 69, ,Springer Cham Heidelberg New York Dordrecht London.

%\bibitem{Zongwu} Cai, z. (2001). Weighted Nadaraya-Watson regression estimation. Statistics & Probability Letters., \textbf{51}:307-318. 
% \bibitem{Celmins} Celmins, A. (1987). Least squares model fitting to fuzzy vector data. Fuzzy Sets and Systems, \textbf{22}:260-269. 
%\bibitem{Chachi} Chachi, J. and Taheri, S. M. (2013). A Least-Absolutes Regression Model for Imprecise Response Based on the Generalized Hausdorff-Metric. Journal of UncertainSystems, \textbf{7}:265-276. 
%\bibitem{Chang} Chang, P. T. and Lee, C. H. (1994). Fuzzy least absolute deviations regression based on the ranking of fuzzy numbers. Proc. of IEEE World Congress on Computational Intelligence, 1365-1369. 
%\bibitem{Chen7} Chen, S.P. and Dang, J.F. (2008). A variable spread fuzzy linear regression model with higher explanatory power and forecasting accuracy. Information Sciences, \textbf{178}:3973-3988. 
%\bibitem{Chen} Chen, H. (1988). Convergence rates for parametric components in a partly linear model. Ann. Statist., \textbf{16}:136-146. 
%\bibitem{Choi(8)} Choi, S. H. and Buckley, J. J. (2008). Fuzzy regression using least absolute deviation estimators. Soft Computing, \textbf{12}:257-263. 
%\bibitem{Chu} Chu, C.K. and Marron, J.S. (1991). Choosing a kernel regression estimator. Statist. Set., \textbf{6}:404-436. 
%\bibitem{Diamond1} Diamond, P. (1988). Fuzzy least squares. Information Sciences, \textbf{46}:141-157. 
%\bibitem{Diamond2} Diamond, P. and Korner, R. (1997). Extended fuzzy linear models and least squares estimates. Computers and Mathematics with Applications, \textbf{33}:15-32. 
%\bibitem{Dubois}Dubois, D. and Prade, H. (1980). Fuzzy sets and systems, theory and application, Academic Press, New York.
%\bibitem{durso} D'Urso, P. and Santoro, A. (2006). Goodness of fit and variable selection in the fuzy multiple linear regression. Fuzzy Set and system.  \textbf{157}:2627-2647. 
%\bibitem{EfronB}Efron, B. (1982). The jackknife, the bootstrap, and other resampling plans. Society of Industrial and Applied Mathematics CBMS-NSF Monographs, Philadelphia. ISBN 0898711797. 
%\bibitem{Engle} Engle, R. F., Granger, C. W. J., Rice, J. and Weiss, A. (1986). Semiparametric estimates of the relation between weather and electricity sales. J. Amer. Statist. Assoc, \textbf{81}310-320. 
%\bibitem{Fan} Fan, J. and Gijbels, I. (1996). Local Polynomial Modeling and Its Applications. Chapman & Hall, London. 
%\bibitem{Fan2} Fan, J., Hu, T. C. and Troung, Y. K. (1994). Robust nonparametric function estimation. Scand. Statist. \textbf{21}:433-446. 
%\bibitem{Ferraro(15)}  Ferraro, M. B., Coppi, R., Gonazlez-Rodriguez, G. and Colubi, A. (2010). A linear regression model for imprecise response. International Journal of Approximate Reasoning, \textbf{51}:759-770. 
%\bibitem{Gao2} Gao, J. T., Hong, S. Y. and Liang, H. (1995). Convergence rates of a class of estimates in partly linear models. Acta Mathematica Sinica, \textbf{38}:658-669. 
%\bibitem{Gao} Gao, J. T. (1992). Large Sample Theory in Semiparametric Regression Models. Ph.D. Thesis, Graduate School, University of Science and Technology of China, Hefei, P.R. China. 
%\bibitem{Gao and Zhao} Gao, J. T. and Zhao, L. C. (1993). Adaptive estimation in partly linear models. Sciences in China, Ser. A, \textbf{14:}14-27. 
%\bibitem{Hardle} Hardle, W. and  Marron, J.S. (1985). Optimal bandwidth selection in nonparametric regression function estimation. Ann. Statist., \textbf{13}:1465-81. 
%\bibitem{Heckman}Heckman, N.E. (1986). Spline smoothing in partly linear models. J. Roy.Statist. Soc., Ser. B, \textbf{48}:244-248. 
%\bibitem{Hojati21} Hojati, M., Bector, C.R. and Smimou, K. (2005). A simple method for computation of fuzzy linear regression. European Journal of Operational Research, \textbf{166}:172-184. 
%\bibitem{Hong} Hong, S. Y. (1991). Estimation theory of a class of semiparametric regression models. Sciences in China, Ser. A, \textbf{12}:1258-1272. 
%\bibitem{kim bisho}Kim, B. and Bishu, R.R. (1998). Evaluation of fuzzy regression models by comparing membership functions. Fuzzy Sets and Systems, \textbf{100}:343-352. 
%\bibitem{Kao(24)} Kao, C. and Chyu, C. L. (2003). Least-squares estimates in fuzzy regression analysis. European Journal of Operational Research, \textbf{148}:426-435. 
%\bibitem{Kao(23)} Kao, C. and Chyu, C. L. (2002). A fuzzy linear regression model with better explanatory power. Fuzzy Sets and Systems, \textbf{126}:401-409.
%\bibitem{Kim(26)} Kim, B. and Bishu, R. R. (1998). Evaluation of fuzzy linear regression models by comparison membership function. Fuzzy Sets and Systems, \textbf{100}:343-352.  
% \bibitem{Paul}Kvam,  P.H. and Vidakovic, B. (2007). Nonparametric statistics with applications to science and engineering. 
% \bibitem{asli} Lee, W.J., Jung,  H.Y., Yoon, O.J.H. and Choi, S.H. (2014). The statistical inferences of fuzzy regression based on bootstrap techniques. Soft Computing, \textbf{19}:883-890. 
%\bibitem{Liang} Liang, H. (1992). Asymptotic Efficiency in Semiparametric Models and Related Topics. Ph.D. Thesis, Institute of Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing, P.R. China. 
% \bibitem{Liu} Liu, B.  (2013). Uncertainty theory, 4nd edn. Springer, Berlin. 
%\bibitem{Lu28} Lu, J. and Wang, R. (2009). An enhanced fuzzy linear regression model with more exible spreads. Fuzzy Sets and Systems, \textbf{160}:2505-2523. 
%\bibitem{Modarres(31)} Modarres, M., Nasrabadi, E. and Nasrabadi, M. M. (2005). Fuzzy linear regression models with least square errors. Applied Mathematics and Computation, \textbf{163}:977-989. 
%\bibitem{Mohammadi(32)} Mohammadi, J. and Taheri, S. M. (2004). Pedomodels ffitting with fuzzy least squares regression. Iranian Journal of Fuzzy Systems, \textbf{1}:45-62. 
%\bibitem{Nasrabadi(34)} Nasrabadi, M. M. and Nasrabadi, E. (2004). A mathematical-programming approach to fuzzy linear regression analysis. Applied Mathematics and Computation, \textbf{155}:873-881. 
%\bibitem{Rice} Rice, J. (1986). Convergence rates for partially splined models. Stat. Prob. Lett., \textbf{4}:203-208. 
%\bibitem{Robinson} Robinson, P. (1988). Root-N-Consistent Semiparametric Regression. Econometrica, %\textbf{56}:931–954.
%\bibitem{Roozbeh1} Roozbeh, M., Arashi, M. and Niroumand, H. A. (2010). Semiparametric ridge regression approach in partially Linear Models. Comm. Statist. Simul. Comput., \textbf{39}:449-460.
%\bibitem{Roozbeh2} Roozbeh, M., Arashi, M and Niroumand, H. A. (2011a). Ridge regression methodology in partial linear models with Correlated errors. Statist. Comput. Simul., \textbf{81}:517–528. 
%\bibitem{Roozbeh3} Roozbeh, M., Arashi, M and Gasparini, M. (2011b). Seemingly unrelated ridge regression in Semiparametric Models. Comm. Statist. Theo. Meth, in press.  
%\bibitem{Schick1}Schick, A. (1996a). Weighted least squares estimates in partly linear regression models. Stat. Prob. Lett., \textbf{27}:281-287.
% \bibitem{Schick2} Schick, A. (1996b). Root-n consistent estimation in partly linear regression models. Stat. Prob. Lett., \textbf{28}:353-358.
% \bibitem{Simonoff} Simonoff, J. S. (1996). Smoothing Methods in Statistics, Springer Series in Statistics.   
% \bibitem{Stefanini} Stefanini, L. (2010). A generalization of hukuhara difference for interval and fuzzy arithmetic. Fuzzy Sets and Systems, \textbf{161}:1564–1576. 
%\bibitem{Tabakan} Tabakan, G. and Akdeniz, F. (2010). Difference-based ridge estimator of parameters in partial linear model. Stat. Papers, \textbf{51}:357-368.  
%\bibitem{Taheri39} Taheri, S.M. and Kelkinnama, M. (2012). Fuzzy linear regression based on least absolute deviations, Irannian Journal of  Fuzzy Systems, \textbf{9}:121-140. 
%\bibitem{Taheri38}Taheri, S.M. and Kelkinnama, M. (2008). Fuzzy least absolutes regression. Proceedings of the 4th International IEEE Conference on Intelligent Systems, Varna (Bulgaria), \textbf{11}:55-58. 
%\bibitem{Tanaka(40)} Tanaka, H., Hayashi, I. and Watada, J. (1989). Possibilistic linear regression analysis for fuzzy data. European Journal of Operational Research, \textbf{40}:389-396. 
%\bibitem{Torabi} Torabi, H. and Behboodian, J. (2007). fuzzy least absolute estimates in linear models. Communications in Statistics Theory and Methods, \textbf{36}:1935-1944. 
% \bibitem{Wand} Wand, M. P. and Jones, M. C. (1995). Kernel Smoothing. London, Chapman and Hall.  
 %\bibitem{Wasserman}Wasserman, L. (2006). All of nonparametric statistics. New York. 
% \bibitem{Xu and} Xu, R. and Li, C. (2001). Multidimensional least squares fitting with a fuzzy model. Fuzzy Sets and Systems, \textbf{119}:215-223.  
%\bibitem{zadeh2}Zadeh, L. A. (1978). Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. fuzzy Sets and Systems, %\textbf{1}:3-28.
%  \bibitem{zadeha}Zadeh LA (1975a) The concept of linguistic variable and its application to approximate reasoning I. Inf Sci, \textbf{8}:199–249. 
% \bibitem{zadehb}Zadeh LA (1975b) The concept of linguistic variable and its application to approximate reasoning II. Inf Sci, \textbf{8}:301–357. 
% \bibitem{zadehc}Zadeh LA (1975c) The concept of linguistic variable and its application to approximate reasoning III. Inf Sci, \textbf{9}:43–80. 
%\bibitem{zadeh1}Zadeh, L. A. (1956). Fuzzy sets. Information and Control, \textbf{8}:338-353. 
 } 
\end{thebibliography} 





\end{document}