%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Ebrahim Afshari%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[portuguese]{babel}
\usepackage{natbib}
\usepackage{url}
\usepackage{multicol}
\usepackage{float}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{4}
\setcounter{tocdepth}{4}
\usepackage{xspace}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{parskip}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{esvect}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{vmargin}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{color,xcolor}
\usepackage{listings}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\usepackage{tikz,pgfplots}
\usepackage{xepersian}
\setmarginsrb{3 cm}{2.5 cm}{3 cm}{2.5 cm}{1 cm}{1.5 cm}{1 cm}{1.5 cm}
\settextfont{B Nazanin}
\title{مکانیک سیالات پیشرفته}								
\author{.}								
\date{}											

\makeatletter
\let\thetitle\@title
\let\theauthor\@author
\let\thedate\@date
\makeatother

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{\theauthor}
\lhead{\thetitle}
\cfoot{\thepage}

\begin{document}
	
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	\begin{titlepage}
		\centering
		\vspace*{0.5 cm}
		\includegraphics[scale = 1]{AFMAX1.png}\\[1.0 cm]	
		\textsc{\LARGE \newline دانشگاه تهران }\\[0.1 cm]	
		\textsc{\LARGE \newline پردیس دانشکده‌های فنی }\\[0.1 cm]
		\textsc{\LARGE \newline دانشکده مهندسی مکانیک }\\[1.0 cm]
		\textsc{\Large قسمت اول پروژه}\\[0.5 cm]				
		\rule{\linewidth}{0.2 mm} \\[0.4 cm]
		{ \huge \bfseries \thetitle}\\
		\rule{\linewidth}{0.2 mm} \\[1.5 cm]
		
		\begin{minipage}{0.2\textwidth}
			\large
			\emph{\textbf{نام استاد :}}\\
			.\\
			
		\end{minipage}~
		\begin{minipage}{0.2\textwidth}
			
			\large
			\emph{\textbf{نام دانشجو :}} \\
			.\\
			.
			
		\end{minipage}\\[2 cm]
		
		
		
		
	\end{titlepage}
	
	\section{خلاصه}
	هدف از این پروژه، بدست آوردن پروفیل سرعت جت آرام دیواره‌ای همراه با جریان کند‌کننده‌ی خارجی در حالت پایا است. روش حل استفاده شده برای بدست آوردن پروفیل سرعت با استفاده از نرم‌افزار متلب می باشد. نتایج بدست آمده تطابق بسیار زیادی با نتایج بدست آمده از مقاله‌ی مرجع دارد که در بخش های بعد به آن پرداخته شده است.
	\section{مقدمه}
	جت دیواره‌ای یک جت نازک از سیالی است که بصورت مماسی بر روی یک سطح جامد تزریق می شود [شکل. 1]. بیشترین کاربرد جت های دیواره‌ای  همراه با جریان شتاب‌دهنده یا کند کننده‌ی خارجی، در خنک‌کاری لایه‌ای(مانند خنک‌کاری پره های توربین‌گازی، نازل موشک و محفظه‌ی احتراق) و کنترل لایه‌ی مرزی است. جت دیواره‌ای را می توان یک جریان دو لایه‌ای بر اساس مشخصات پروفیل سرعت در نظر گرفت. به عبارت دیگر ترکیبی از یک لایه‌ی داخلی(منطقه‌ای بین دیوار و حداکثر سرعت) و یک لایه‌ی خارجی(منطقه‌ای بالاتر از حداکثر سرعت) می توان در نظر گرفت. حل تشابهی یک جت دیواره‌ای کاملا توسعه‌یافته‌ی تزریق شده در یک محیط ساکن توسط
	\lr{Glauert}
	ارائه شد.
	\begin{figure}[H] 
		\centering
		\includegraphics[width=7cm]{AFMAX1.png}
		\label{fig1}
		\caption{ شکل شماتیک}
	\end{figure}
	
	\section{تئوری}
	معادله‌ی حاکم بر مسئله به صورت زیر می باشد:
	\begin{flalign}\label{eq1}
		\begin{cases}
			u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=U\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}+\nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\\
			\\
			\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
		\end{cases}
		&&
	\end{flalign}
	
	
	برای حل این معادله، می توان از حل تشابهی استفاده نمود و به جای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات زنجیره‌ای، یک معادله دیفرانسیل عادی با یک متغیر را حل نمود. پروفیل تشابهی یک معادله‌ی لایه مرزی همراه با گرادیان فشار و شرایط مرزی آن توسط فالکنر- اسکن بدست آمد[معادله \eqref{eq2}]. معادله‌ی بدست آمده با نام معادله‌ی فالکنر - اسکن شناخته می شود که در زیر آمده است:
	\begin{flalign}\label{eq2}
		\begin{cases}
			f^{\prime \prime \prime}+ ff^{\prime \prime}+\beta\left(1-{f^{\prime}}^2\right)=0\\
			f(0)=f^{\prime}(0)=0 \quad , \quad f^{\prime }(\infty)=1
		\end{cases}
		&&
	\end{flalign}
	لازم به ذکر است که متغیر مستقل در این معادله
	$\eta$
	می‌باشد.
	با استفاده از تغییر متغیر دیگر، معادله‌ی فالکنر- اسکن به معادله‌ی زیر تبدیل می‌گردد:
	\begin{flalign}\label{eq3}
		F(\zeta)=Af(\eta) \quad ,\quad \eta=A\zeta \nonumber \\
		F^{\prime \prime \prime }+FF^{\prime \prime}+ \beta\left(A^4-{F^{\prime}}^2\right)
		&&
	\end{flalign}
	\begin{flalign}\label{eq4}
		\begin{cases}
			F(0)=F^{\prime}(0)=0 \quad \\F^{\prime}(\infty)=A^2 \ \ ,  F^{\prime \prime }(0)=1
		\end{cases}
		&&
	\end{flalign}
	که در آن
	\begin{flalign}
		f=\frac{F}{A} \   f^{\prime}=\frac{F^{\prime}}{A^2}\ f^{\prime \prime}=\frac{F^{\prime \prime}}{A^3} \ f^{\prime \prime \prime}=\frac{F^{\prime \prime \prime}}{A^4}
		&&
	\end{flalign}
	توجه شود که
	\lr{A}
	عدد ثابت و مثبت می باشد.
	\section{روش حل}
	در این بخش به توضیح نحوه‌ی کارکرد کد پرداخته شده است. 
	\section{ارائه نتایج}
	پروفیل سرعت بی بعد شده جت آرام دیواره‌ای به ازای مقادیر مختلف ضریب کند کننده‌ی جریان خارجی 
	(
	$A=0,0.2 \ \mathrm{and} \ 0.3$
	)
	رسم شده است.
	
	\begin{figure}[H] 
		\centering
		\includegraphics[width=10cm]{AFMAX2.eps}
		\label{fig2}
		\caption{پروفیل سرعت}
	\end{figure}
	
	\begin{small}
		\begin{table*}[t]
			\caption{بتا}
			\centering
			\begin{center}
				\begin{tabular}{ c  c  c  c  c } 
					\hline \hline 
					$\left(\mathrm{Steinheuer}\right)$ $\beta$& ()$\beta$ & (مطالعه حاضر)$\beta$ &$f^{\prime\prime}(0)=\frac{1}{A^3}$& \lr{A}\\ \hline \hline
					$-1.74529$ & $-1.74529465$ & $-1.74529999$& $37.04$& $0.3$ \\ 
					$-1.87013$ & $-1.87012959$ & $-1.87079999$& $125$& $0.2$ \\
					$-1.99963$ & $-1.99963324$ & $-2.00090000$& $1,000,000$& $0.01$ \\
					$-2$ & $-2.0000000$ & $-2.00130000$& $\infty$& $0$ \\
				\end{tabular}
			\end{center}
		\end{table*}
	\end{small}
	
	
	\section{تحلیل نتایج}
	همانطور که از نتایج قسمت قبل مشخص است، روش بکار گرفته شده در نرم افزار متلب از دقت بسیار بالایی برخوردار است. نکته‌ی مهمی که باید اشاره شود آن است که حدس اولیه‌ی مناسب برای مقدار
	$\beta$
	می تواند در همگرایی کد بسیار تاثیر‌گذاری باشد. توصیه می‌شود که به ازای
	\lr{A}
	های متفاوت، همواره 
	$\beta \geq -1.7$
	انتخاب شود. بدیهی است که با توجه به نتایج جدول
	بهتر است مقدار 
	$\beta$
	به مقدار
	\lr{-1.7}
	نزدیک تر باشد تا همگرایی سریع تر اتفاق بیافتد.
	\newpage
	\section{منابع}
	
\end{document}