% !TEX TS-program = XeLaTeX
% !TeX root = presentation.tex
%
\SecSlide{تعاریف و مقدمات لازم}\label{Sec:Definition}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{تعریف}
مطالعه ی توابع تک ارز، امروزه شامل بررسی خانواده های خاصی از توابع تحلیلی و تک ارز در دامنه های از پیش تعریف شده می باشد. به طور معمول در بسیاری از موارد، توابع مورد استفاده در شرایط نرمالیزه صدق می کنند. 
در ابتدا رده ی (کلاس) توابعی که در دیسک واحد تحلیلی و تک ارز می باشند و ان را کلاس $ S $ می نامیم بررسی می کنیم. کوبه در سال 1907 توانست نتایج مورد اعتمادی را از نظریه ی توابع تک ارز استخراج نماید. تابع کوبه$ f(z)=\dfrac{z}{{(1-z)^2}}=z+2z^2+\cdots} $، تابعی تک ارز (یک به یک) می باشد و نقش به سزایی در مطالعه توابع تحلیلی و تک ارز دارد. در واقع تابع کوبه و دورانش $ e^{-i\alpha}k(e^{i\alpha}) $ تنها توابع اکسترمال برای مسایل گوناگون در کلاس $ S $ هستند. همچنین با در نظر گرفتن زیر کلاس هایی از این کلاس به بررسی قضایای کمکی می پردازیم. همچنین به معرفی کلاس$ \Sigma $  می پردازیم و زیر کلاس های از این کلاس که شامل توابع مرومورفیک ستاره گون از مرتبه $ \alpha $ و مرتبه معکوس$ \alpha $  می باشد را مورد بررسی قرار داده، که این کلاس ها از تاثیر عملگر های خاص روی توابع تحلیلی ذکر شده اند و با ذکر مثال هایی نشان می دهیم که شرط کافی برای توابع ستاره گون از مرتبه$ \alpha $  و معکوس $ \alpha $ مشتق می باشد. 
%
\begin{block}{تعریف}
نگاشت  $ T:\bigcup_{i=1}^{p}A_{i}\longrightarrow\bigcup_{i=1}^{p}A_{i} $  را یک نگاشت انقباضی دوری می‌نامیم، هرگاه 
\begin{enumerate}
\item
$ T $
یک نگاشت دوری باشد.
\item
$ d(Tx,Ty)\leqslant k d(x,y) $
 برای هر $ (x,y)\in A_{i}\times A_{i+1} $ و به ازای یک $ k\in(0,1) $.
\end{enumerate}
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{تعریف}
فرض کنید $ (X,d) $ یک فضای متریک باشد. نگاشت $ T:X\longrightarrow X $ را یک انقباض می‌نامیم، اگر برای هر $ x,y\in X $ با $ x\neq y $ داشته باشیم
\[ d(Tx,Ty)<d(x,y) \]
\end{block}
%
\begin{block}{مثال}
فضای باناخ $ X=c_{0}=\big\{\{x_{i}\}\subseteq\mathbb{R} : x_{i}\rightarrow 0\big\} $، را با متر سوپریموم بصورت
\[d(x,y)=\|x-y\|=\sup\lvert x_{i}-y_{i}\rvert, \quad x=\{x_{i}\},y=\{y_{i}\}\in c_{0}\]
در نظر بگیرید و فرض کنید $ B_{X}=\big\{x\in c_{0} : \|x\|\leqslant 1\big\} $. برای هر $ x\in B_{X} $ نگاشت $ T $ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم
\[Tx=T(x_{1},x_{2},\cdots,x_{i},\cdots)=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{i},\cdots)\]
به‌طوری‌که $ y_{1}=\frac{1+\|x\|}{2} $ و 
\[y_{i}=\big(1-\dfrac{1}{2^{i+1}}\big)x_{i-1}, \quad i=2,3,\cdots\]
در این صورت $ T $ یک انقباض است که دارای یک نقطه ثابت در $ B_{X} $ نمی‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{تعریف}
تابع  $ \varphi:[0,+\infty)\longrightarrow[0,+\infty) $ را تابع تغییر فاصله می‌نامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$ \varphi $
پیوسته و غیرنزولی باشد،
\item[(2)]
$ \varphi(t)=0\Leftrightarrow t=0 $.
\end{enumerate}
\end{block}
%
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ (X,d) $ یک فضای متریک کامل و $ T:X\longrightarrow X $ نگاشتی باشد به‌طوری‌که برای هر $ x,y \in X $،
\[\psi\big(d(Tx,Ty)\big)\leqslant \psi\big(d(x,y)\big)-\varphi\big(d(x,y)\big)\]
که در آن $ \varphi $ و $ \psi $ توابع تغییر فاصله باشند. آنگاه $ T $ دارای نقطه ثابت منحصر به‌فرد است.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ (X,d) $ یک فضای متریک کامل و $ T,S:X\longrightarrow X $ نگاشت‌هایی باشند به‌طوری‌که برای هر $ x,y \in X $،
\[ d(Tx,Sy)\leqslant M(x,y)-\varphi\big(M(x,y)\big) \]
که در آن $ \varphi:[0,+\infty)\longrightarrow[0,+\infty) $ تابع نیم‌پیوسته‌‌ی پایینی به‌طوری‌که $\varphi(t)>0$ برای $ t>0 $، $ \varphi(0)=0 $  و
\[ M(x,y)=\max\big\{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Sy),\dfrac{1}{2}[d(y,Tx)+d(x,Sy)]\big\} \]
آنگاه $ T $ و $ S $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد مشترک $ u\in X $ می‌باشند، یعنی
\[ u=Tu=Su \]
\end{block}
%
\begin{block}{مثال}
فرض کنید $ X=[0,1] $ با متر معمولی $ d(x,y)=\lvert x-y\rvert $ و $ Tx=\frac{1}{3}x^{2} $ و $ Sx=0 $ برای هر $ x\in [0,1] $ که برای $ \varphi(t)=\frac{1}{6}t^{2} $ داریم
\[d(Tx,Sy)\leqslant M(x,y)-\varphi\big(M(x,y)\big), \quad \forall\ x,y\in X\]
بنابراین $ T $ و $ S $ دارای یک نقطه ثابت مشترک منحصر به‌فرد صفر می‌باشند.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\SecSlide{نگاشت‌های انقباضی دوری}\label{Sec:Module}
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ \big\{A_i\big\}_{i=1}^{p} $ زیرمجموعه‌های ناتهی و بسته از یک فضای متریک کامل $ X $ باشند. نگاشت $ F $ را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.
\[ F:\bigcup_{i=1}^{p}A_{i}\longrightarrow\bigcup_{i=1}^{p}A_{i} \]
به‌ طوری‌که
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$ F $
یک نگاشت دوری باشد،
\item[(2)]
$ d\big(F(x), F(y)\big)\leqslant k d(x,y) $،
برای هر $ (x,y)\in A_{i}\times A_{i+1} $ با $ 1\leqslant i\leqslant p $ و به‌ازای یک $ k\in(0,1) $.
\end{enumerate}
در این‌صورت $ \bigcap_{i=1}^{p}A_{i} $ ناتهی بوده و نگاشت $ F $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد در $ \bigcap_{i=1}^{p}A_{i} $ می‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ \big\{A_i\big\}_{i=1}^{p} $ زیرمجموعه‌های ناتهی و بسته از یک فضای متریک کامل باشند چنانکه حداقل یکی از آن‌ها فشرده باشد. نگاشت $ F $ را به‌صورت زیر در نظر بگیرید
\[ F:\bigcup_{i=1}^{p}A_{i}\longrightarrow\bigcup_{i=1}^{p}A_{i} \]
به‌ طوری‌که 
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$ F $
یک نگاشت دوری باشد،
\item[(2)]
$ d\big(F(x), F(y)\big)< d(x,y) $،
هرگاه $ (x,y)\in A_{i}\times A_{i+1} $ و $ x\neq y $ برای $ 1\leqslant i \leqslant p $.
\end{enumerate}
در این‌صورت نگاشت $ F $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد می‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه} 
فرض کنید $ \big\{A_i\big\}_{i=1}^{p} $ زیرمجموعه‌های ناتهی و بسته از یک فضای متریک کامل باشند، $ \alpha\in S $ و نگاشت $ f $ را به‌صورت زیر در نظر بگیرید
\[ f:\bigcup_{i=1}^{p}A_{i}\longrightarrow\bigcup_{i=1}^{p}A_{i} \]
به‌ طوری‌که  
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$ f $
یک نگاشت دوری باشد،
\item[(2)]
$ d\big(f(x), f(y)\big)\leqslant \alpha\big(d(x,y)\big) d(x,y) $،
برای هر $ (x,y)\in A_{i}\times A_{i+1} $ با $ 1\leqslant i\leqslant p $.
\end{enumerate}
در این‌صورت $ f $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد می‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ \big\{A_i\big\}_{i=1}^{p} $ زیرمجموعه‌های ناتهی و بسته از یک فضای متریک کامل باشند. نگاشت $ f $ را به‌صورت زیر در نظر بگیرید
\[ f:\bigcup_{i=1}^{p}A_{i}\longrightarrow\bigcup_{i=1}^{p}A_{i} \]
به‌ طوری‌که  
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$ f $
یک نگاشت دوری باشد،
\item[(2)]
$ d\big(f(x),f(y)\big)\leqslant \psi\big(d(x,y)\big) $،
برای هر $ (x,y)\in A_{i}\times A_{i+1} $ برای $ 1\leqslant i\leqslant p $ که در آن  $ \psi:\mathbb{R}^{+}\longrightarrow [0,\infty) $ یک تابع نیم‌پیوسته‌ی بالایی از راست می‌باشد به‌طوری‌که\\  $ 0\leqslant\psi(t)<t $ برای $ t>0 $.
\end{enumerate}
در این‌صورت نگاشت $ f $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد است.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ A_{1} $، $ A_{2} $، $ \cdots $، $ A_{p} $ و $ A_{p+1}=A_{1} $ زیرمجموعه‌های ناتهی و بسته از یک فضای متریک کامل $ X $ باشند و نگاشت $ f:X\longrightarrow X $ در شرایط زیر صدق کند
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$ f $
یک نگاشت دوری باشد،
\item[(2)]
برای $ 1\leqslant i\leqslant p $،
$ d\big(x,f(x)\big)\leqslant \varphi_{i}(x)-\varphi_{i+1}\big(f(x)\big) $،
برای $x\in A_{i}$، که در آن تابع \  $ \varphi_{i}:A_{i}\longrightarrow\mathbb{R} $ یک تابع نیم‌پیوسته‌ی پایینی و از پایین کران‌دار باشد.
\end{enumerate}
در این‌صورت $ f $ دارای یک نقطه ثابت است.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{تعریف}
فرض کنید $ X $ یک فضای باناخ و $ K\subseteq X $ باشد. در این‌صورت نگاشت $ T:K\longrightarrow X $ را یک نگاشت غیرانبساطی می‌نامیم هرگاه برای هر $ x,y\in K $،
\[ d(Tx,Ty)\leqslant d(x,y) \]
\end{block}
%
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ A $، یک زیرمجموعه‌ی ناتهی، بسته، محدب و به‌طور ضعیف فشرده از فضای باناخ $ X $، $ T:A\longrightarrow A $ یک نگاشت غیرانبساطی باشد که برای هر $ x\in A $، وجود داشته باشد عدد صحیح مثبتی مانند $ N(x) $ و یک $ \alpha(x)\in(0,1) $ موجود باشد به‌طوری‌که
\[ \|T^{N(x)}(x)-T^{N(x)}(y)\|\leqslant\alpha(x)\|x-y\|, \quad \forall \ y\in A \]
در این‌صورت $ T $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد است.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\SecSlide{نگاشت‌های تعمیم یافته‌ی انقباضی دوری}\label{Sec:Module}
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ (X,d) $ یک فضای متریک کامل، $ \big\{A_i\big\}_{i=1}^{p} $ زیرمجموعه‌هایی ناتهی و بسته از $ X $ و
\[T:\bigcup_{i=1}^{p}A_{i}\longrightarrow\bigcup_{i=1}^{p}A_{i}\]
یک نگاشت دوری باشد به‌طوری‌که برای هر $ x\in A_{i} $ و $ y\in A_{i+1} $ که $ i\in\{1,2,\cdots,p\} $ و اعداد نامنفی $ a $، $ b $، $ c $، $ e $ و $ f $ که $ \alpha=a+b+c+e+f<1 $ داشته باشیم 
\[d(Tx,Ty)\leqslant a d(x,Tx)+b d(y,Ty)+c d(x,Ty)+e d(y,Tx)+f d(x,y)\]
در این‌صورت نگاشت $ T $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد در $ \bigcap_{i=1}^{p}A_{i} $ است.
\end{block}
%
\begin{block}{تعریف}
فرض کنید $ K $ یک زیرمجموعه از فضای متریک کامل $ X $ باشد. به‌ازای\\ $ a,b\in[0,1] $ رده‌ی $ D(a,b) $ متشکل از خودنگاشت‌های تعریف شده مانند $ T $ بر فضای $ X $ می‌باشد که در شرط زیر صدق می‌کند 
\[\|Tx-Ty\|\leqslant a\|x-y\|+b\big[\|x-Tx\|+\|y-Ty\|\big]\]
برای هر $ x,y\in K $.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{تعریف}
فرض کنید $ X $ یک فضای متریک کامل و $ x $ یک نقطه در $ X $ باشد. خودنگاشت $ T $ روی $ X $ را یک نگاشت مجانباً منظم در نقطه‌ی $ x $ می‌نامیم هرگاه
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\|T^{n+1}x-T^{n}x\|=0\]
\end{block}
%
\begin{block}{مثال}
فرض کنید $ T:[0,1]\longrightarrow [0,1] $ یک نگاشت غیرانبساطی دلخواه باشد. نگاشت $ S $ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم
\[S=\dfrac{1}{2}(I+T)\]
در این‌صورت $ S $ یک نگاشت مجانباً منظم می‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ K_{1} $ و $ K_{2} $ زیرمجموعه‌هایی بسته از یک فضای متریک کامل $ X $ باشد و خودنگاشت $ T $ روی $ K_{1}\cup K_{2} $ چنان باشد که $ T(K_{1})\subset K_{2} $ و $ T(K_{2})\subset K_{1} $ و $ T\in D(a,b) $ به‌طوری‌که $ 0 \leqslant a,b<1 $. در این‌صورت برای دنباله‌ی $ \{x_{n}\} $ متعلق به $ K_{1}\cup K_{2} $، 
\[\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n}-Tx_{n})=0\]
اگر و تنها اگر دنباله‌ی $ \{x_{n}\} $ به نقطه ثابت منحصر به‌فرد نگاشت $ T $ همگرا باشد.
\end{block}
%
\begin{block}{نتیجه}
فرض کنید $ \big\{K_{i}\big\}_{i=1}^{p} $ زیرمجموعه‌هایی ناتهی و بسته از فضای متریک کامل $ X $ باشند و $ T $ یک خودنگاشت روی $ \bigcup_{i=1}^{p}K_{i} $ باشد به‌طوری‌که
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$ T(K_{i})\subseteq K_{i+1} $
برای $ 1\leqslant i\leqslant p $و $ K_{p+1}=K_{1} $،
\item[(2)]
$ \|Tx-Ty\|\leqslant a\|x-y\|+b\big[\|Tx-x\|+\|Ty-y\|\big] $\
برای $ 0 \leqslant a,b<1 $ و برای هر $ x\in K_{i} $ و $ y\in K_{i+1} $ که $ 1\leqslant i\leqslant p $.
\end{enumerate}
در این‌صورت $ T $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد در $ \bigcap_{i=1}^{p}K_{i} $ می‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\SecSlide{نگاشت‌های ضعیفاً انقباضی دوری}\label{Sec:Module}
\begin{plainslide}
\begin{block}{تعریف}
فرض کنید $ (X,d) $ یک فضای متریک،  $ p $ یک عدد صحیح مثبت و $ \big\{A_i\big\}_{i=1}^{p} $ زیرمجموعه‌هایی ناتهی از $ X $ و $ Y=\bigcup_{i=1}^{p}A_i $ باشد. در این‌صورت خودنگاشت $ T:Y\longrightarrow Y $ را یک نگاشت تعمیم یافته‌ی $ \psi $-ضعیفاً انقباضی دوری می‌نامیم هرگاه برای هر $ \psi\in\Psi_{1} $ و $ \mathcal{F}\in F_{1} $ داشته باشیم
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$ T $
یک نگاشت دوری باشد،
\item[(2)]
برای هر $ (x,y)\in A_{i}\times A_{i+1} $ که $ i=1,2,\cdots,p $ و $ A_{p+1}=A_{1} $ داشته باشیم
\[ \mathcal{F}\big(d(Tx,Ty)\big)\leqslant\mathcal{F}\big(N_{\psi}(x,y)\big)-\psi\Big(\mathcal{F}\big(N_{\psi}(x,y)\big)\Big) \]
که در آن
\[ N_{\psi}(x,y)=\max\Big\{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),\dfrac{d(x,Ty)+d(y,Tx)}{2}\Big\} \]
\end{enumerate}
\end{block}
%
\begin{block}{قضیه}
فرض کنید $ (X,d) $ یک فضای متریک کامل،  $ p\in\mathbb{N} $\ و $ \big\{A_i\big\}_{i=1}^{p} $ زیرمجموعه‌هایی ناتهی و بسته از $ X $ و $ Y=\bigcup_{i=1}^{p}A_i $ باشد. اگر $ T:Y\longrightarrow Y $ یک نگاشت تعمیم یافته‌ی $ \psi $-ضعیفاً انقباضی دوری باشد به‌طوری‌که $ \psi\in\Psi_{1} $ و $ \mathcal{F}\in F_{1} $، آنگاه $ T $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد در $ \bigcap_{i=1}^{p}A_{i} $ می‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{plainslide}
\begin{block}{مثال}
فرض کنید $ X=\big\{\frac{1}{n} : n\in\mathbb{N}\big\}\cup\{0\} $، با متر معمولی در $ \mathbb{R} $، یعنی $ d(x,y)=\lvert x-y \rvert $ باشد. زیر مجموعه‌هایی از $ X $ را به‌صورت زیر در نظر بگیرید
\[ A_{1}=\big\{\dfrac{1}{n} \mid \text{فرد باشد} \ n\big\}\cup\{0\} \]
و
\[ A_{2}=\big\{\dfrac{1}{n} \mid \text{زوج باشد} \ n\big\}\cup\{0\} \]
و نگاشت $ T:X\longrightarrow X $ را با ضابطه‌ی
\begin{align*} 
Tx = \begin{cases}
0 &\quad {x=0} \\
\dfrac{1}{n+1} &\quad {x=\frac{1}{n} \ , \ n\in\mathbb{N}}
\end{cases}
\end{align*}
تعریف کنید. همچنین نگاشت‌های $ \mathcal{F}\in F_{1} $ و $ \psi\in\Psi_{1} $ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم
\begin{align*} 
\mathcal{F}(t) = \begin{cases}
0 &\quad {t=0} \\
t^{\frac{1}{t}} &\quad {0<t<1} \\
t &\quad {t\geqslant 1}
\end{cases}
\end{align*}
و 
\[ \psi(t)=\dfrac{1}{2} t \] 
در این صورت $ T $ دارای یک نقطه ثابت منحصر به‌فرد در $ A_{1}\cap A_{2} $ می‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{تعریف}
یک معادله انتگرال، معادله‌ای است که در آن تابع مجهول $ u(x) $ زیر علامت انتگرال قرار دارد. یک نمونه از یک معادله انتگرال که در آن $ u(x) $ تابع مجهولی است که باید معلوم شود به صورت زیر است.
\[u(x)=f(x)+\lambda\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}k(x,t)u(t)dt\]
$ k(x,t) $
هسته معادله انتگرال نامیده می‌شود. $ \alpha(x) $ و $ \beta(x) $ حدود انتگرال هستند.
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}{قضیه کاربردی}
معادله‌ی انتگرالی زیر را در نظر بگیرید
\begin{equation}\label{eq20}
u(t)=\int_{0}^{T} G(t,s) f\big(s,u(s)\big) ds, \quad \forall \ t\in[0,T]
\end{equation}
به‌طوری‌که $ T>0 $، $ f:[0,T]\times\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ و $ G:[0,T]\times[0,T]\longrightarrow[0,\infty) $ توابعی پیوسته باشند و
\[ X=C\big([0,T]\big)=\big\{f \mid f:[0,T]\longrightarrow\mathbb{R}\big\} \]
مجموعه‌ای از توابع پیوسته‌ی حقیقی روی $ [0,T] $ می‌باشد. روی $ X $، متر
\[ d_{\infty}(u,v)=\max_{t\in[0,T]}\lvert u(t)-v(t) \rvert \]
را در نظر بگیرید. همچنین فرض کنید $ (\alpha,\beta)\in X^{2} $ و $ (\alpha_{0},\beta_{0})\in \mathbb{R}^{2} $، به‌طوری‌که
\[\alpha_{0}\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant\beta_{0}\]
و برای هر $ t\in[0,T] $، داشته باشیم
\[\alpha(t)\leqslant\int_{0}^{T} G(t,s) f\big(s,\beta(s)\big) ds\]
و
\[\beta(t)\geqslant\int_{0}^{T} G(t,s) f\big(s,\alpha(s)\big) ds\]
\end{block}
\end{plainslide}
%
\begin{plainslide}
\begin{block}
و برای هر $ s\in[0,T] $، $ f(s,\cdot) $ یک تابع نزولی باشد، به‌طوری‌که برای هر $ x,y\in\mathbb{R} $،
\begin{equation}\label{eq24}
x\geqslant y\Rightarrow f(s,x) \leqslant f(s,y)
\end{equation}
و
\begin{equation}\label{eq25}
\sup_{t\in[0,T]}\int_{0}^{T} G^{2}(t,s) ds\leqslant\dfrac{1}{T}
\end{equation}
فرض کنید که برای هر $ s\in[0,T] $، و هر $ x,y\in\mathbb{R} $، ‌که $ x\leqslant\beta_{0} $ و $ y\geqslant\alpha_{0} $ یا $ x\geqslant\alpha_{0} $ و $ y\leqslant\beta_{0} $، داشته باشیم
\begin{equation}\label{eq26}
\lvert f(s,x)-f(s,y)\rvert\leqslant\sqrt{ln\big(\lvert x-y\rvert^{2}+1\big)}
\end{equation}
همچنین مجموعه‌ی $ \mathcal{C} $ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم
\[ \mathcal{C}=\big\{u\in C\big([0,T]\big) : \alpha\leqslant u\leqslant\beta\big\} \]
در این‌صورت با توجه به مفروضات فوق، معادله‌ی انتگرال \eqref{eq20}، دارای یک و فقط یک جواب $ u^{*}\in\mathcal{C} $ می‌باشد.
\end{block}
\end{plainslide}
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\SecSlide{مراجع}\label{Sec:Refrence}
\begin{plainslide}
\small
% شروع محیط مراجع 
\setLTRbibitems
\begin{thebibliography}{99}
\resetlatinfont
% تذکر: چنانچه از نسخه‌های قدیمی زی‌پرشین و بی‌دی استفاده می‌کنید، هنگام استفاده از سه دستور بالا، با خطا 
% مواجه می‌شوید. بنابراین باید زی‌پرشین و بی‌دی خود را آپدیت کنید.
% چنانچه مرجع فارسی هم دارید باید یا از بسته Persian-bib استفاده کنید و یا راهنمای bidi را مطالعه کنید.
\bibitem{Banach} 
S. Banach, {\em Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales}, Fund. Math. 3 (1922) 133–181.

\bibitem{Caristi}
J. Caristi, {\em Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions}, Trans.
Amer. Math. Soc. 215(1976), 241-251.

\bibitem{Geraghty}
M. A. Geraghty, {\em On contractive mappings}, Proc. Amer. Math. Soc. 40(1973), 604-608.

\bibitem{Goebel-Kirk}
K. Goebel and W. A. Kirk, {\em Topics in metric fixed point theory}, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000.

\bibitem{Kannan}
R. Kannan, {\em Some results on fixed points}, Bull. Clacutta. Math. Soc., 10 (1968) 71–76.

\bibitem{Kirk-Srinivasan-Veeramani}
W. A. Kirk, P. S. Srinivasan and P. Veeramani, {\em Fixed points for mappings satisfying cyclical contractive conditions}, Fixed Point Theory 4 (1) (2003) 79-89.

\bibitem{Nashine}
H. K. Nashine, {\em Cyclic generalized $ \psi $-weakly contractive mappings and fixed point results with applications to integral equations}, Nonlinear Analysis 75 (2012) 6160-6169.

\bibitem{Petric}
M. A. Petric, {\em Some results concerning cyclical contractive mappings}, Gen. Math., 18 (4) (2010) 213–226.

\bibitem{Zhang-Song}
Q. Zhang and Y. Song, {\em Fixed point theory for generalized $ \varphi $-weak contractions}, Applied Mathematics Letters 22 (2009) 75–78.
\end{thebibliography}
\end{plainslide}
%

\begin{plainslide}
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{resources/thank}\\
\end{plainslide}