\pagestyle{fancy}
\linespread{1.8}
\[•\]\chapter{عملگر انتگرالی تعریف شده به وسیله عملگر دیفرانسیلی}

 اين فصل شامل دو بخش مي باشد.
 در بخش اول به بررسی عملگر انتگرالی $G_{n, m,\alpha}$ مي پردازيم و شرایطی را که ایجاب می کند این عملگر تک ارز باشد ، بیان می کنیم.
  در بخش دوم به بررسی عملگر دیفرانسیلی و برخی از ویژگی های آنها روی دو مجموعه ..... می پردازیم  .\\

\section {G_{n,m,\alpha}}
در اين بخش پيش از بيان قضيه اصلي، به  مقدماتی نیاز است که شامل لم عمومی شوارتز و چند قضیه و از همه مهم تر تعریف عملگر انتگرالی دلخواهمان $G_{n,m,\alpha}$ می باشد.

\begin{lem}
\textbf{لم عمومی شوارتز}
فرض كنيم $f$ در دیسک $U_R  ={z\in C :\mid z\mid<R} $ منظم باشد و  $\mid f(z)\mid<M$ که $M$ را ثابت در نظرمی گیریم. اگر $f$ یک صفر با مرتبه ی بزرگ تر از $m$ برای $z=0$ داشته باشد ،آن گاه \\
$$ \mid f(z)\mid \leq\dfrac{M}{R^{m}} \mid z\mid^{m}$$
تساوی زمانی اتفاق می افتد که 
$$f(z)=e^{i\theta}\dfrac{M}{R^{m}} Z^{m}$$
و $\theta$ ثابت است .\\
\textbf{قضیه $A$:\ref{Se13}}
فرض کنید $\alpha$ یک عدد مختلط باشد به طوری که $Re\alpha>0$ و $f\in A$ . اگر $f$در شرط \\
$$\dfrac{1-\mid z\mid ^{2Re\alpha}}{Re\alpha} \mid \dfrac{zf''(z)}{f'(z)} \mid\leq1      z\in U$$ 
صدق کند آن گاه برای هر عدد مختلط $\beta$ که $ Re\beta\geq Re \alpha$ عملگر انتگرالی 
$$\Gamma_{\beta}(z) = {\beta \int_{0}^{2} t^{\beta-1} f'(t) dt}^\dfrac{1}{\beta}$$
عضو مجموعه $S$ است.

\textbf{قضیه $B$:\ref{Se14}}
فرض کنیم $f\in A$ در نامساوی زیر صدق کند \\
$$(6)            \mid \dfrac{z^{2}f'(z)}{(f(z))^{2}} -1\mid \leq 1    z\inU $$\\
$f$ در $U$ تک ارز است.\\ 
\textbf{قضیه $C$:\ref{Se15}}
فرض کنید $g \in A$ در شرط $6$ صدق کند و در نظر بگیرید $\alpha$ عدد مختلطی باشد که :\\
$$\mid \alpha-1\mid\leq\dfrac{Re\alpha}{3}$$
اگر $z\in U$ و $\mid g(z) \mid \leq1$ آن گاه تابع 
$$ (7)            G_{\alpha}(z) ={\alpha\int_{0}^{z} (g(t))^{\alpha-1} dt}^\dfrac{1}{\alpha} $$.\\
در خانواده $S$ است \\
در $[2]$ بریز عملگر انتگرالی $G_{n,\alpha} $ را در نظر گرفت \\

\ $ (8)            G_{n,\alpha}(z) ={[n(\alpha -1)+1] \int_{0}^{z} (g_{1}(t))^{\alpha-1} ....(g_{n}(t))^{\alpha-1} dt}^{\dfrac{1}{n(\alpha-1)+1}$\\
$(g_{1} , ...,g_{n} \in A )$\\
وثابت کرد تابع $G_{n,\alpha}$ در $U$ تک ارز است.
\textbf{یادآوری 2}
با در نظر گرفتن $n=1$ ،$8$ عملگر دیفرانسیلی $G_{\alpha}$ همان که در $7$  تعریف شده را به ما می دهد. \\
\textbf{قضیه $D$: \ref{Se14}}\\
فرض کنید $g_{i}\in A , \forall i=1,2,...,n,  n\inN$ صادق در شرط \\
$$ \mid\dfrac{z^{2}g'_{i}}{(g_{i})^{2}} -1\mid<1            \forall z\in U    , \forall i=1,...,n$$\\ 
و $\alpha\in C$ طوری باشد که \\
\ $$  \mid \alpha-1 \mid \leq\dfrac{Re\alpha}{3n} $$.\\
اگر برای هر $i=1,2,...,n$ و برای هر $z\inU$ ،
$$ \mid g_{i}(z) \mid \leq 1$$
آنگاه $G_{n,\alpha}$\leq تعریف شده در $8$ تک ارز است. \\ 
در $[4]$ نویسنده عملگر انتگرالی جدیدی ، براساس عملگر دیفرانسیلی العبودی ، همانطور که در ذیل می بینید معرفی کرده است.\\
\textbf{تعریف 1}$4$\\
فرض کنید $n\inN$ و $m\inN_{0}$  و $\alpha \in C$  .\\
عملگر انتگرالی $G_{n,m,\alpha}$ را با 
$$ (9)          G_{n,m,\alpha}={[n(\alpha-1)+1] \int_{0}^{z}\sqcap_{j=1}^{n}(D^{m}g_{i}(t))^{\alpha-1} dt}^\dfrac{1}{n(\alpha-1)+1},          z\in U$$\\
\textbf{نتایج اصلی }\\
\textbf{قضیه 1 }\\
فرض کنید $M_{j}\geq1$ ، برای هر تابع $g_{i}\inA$  ، $(j\in{1,...,n}$ در شرط $(11)$ صدق کند:
$$ (11)                     \mid\dfrac{z^{2}(D^{m}g_{j}(z))'}{(D^{m}g_{j}(z))^{2}} -1 \mid \leq1      (z\in U,  m\in N_{0})$$$\\ .



\section {مقدمات}
در اين فصل ثابت مي كنيم كه هر نگاشت خطي يكدار $h : A\rightarrow B $ يك همريختي ژوردان است زماني كه براي هر $u,v\in U(A)$، $ y\in A$ و $n=0,1,2,...$ معادله
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad h([3^{n}u3^{n}vy]_{A} +[3^{n}vy3^{n}u]_{A} +[y3^{n}u3^{n}v]_{A})\\
&= ([h(3^{n}u)h(3^{n}v)h(y)]_{B} +[h(3^{n}v)h(y)h(3^{n}u)]_{B} +[h(y)h(3^{n}u)h(3^{n}v)]_{B})
\end{split}
\end{equation*}
برقرار باشد. همچنين فرض كنيم $A$  يك $C^{*}$-جبر سه تايي حقيقي يكدار با رتبه صفر باشد، تقريبا هر نگاشت پيوسته خطي يكدار يك همريختي سه تايي ژوردان است زماني كه نگاشت $h : A\rightarrow B $ براي هر $u,v\in U(A)$، $ y\in A,$ و $n=0,1,2,...$ كه معادله
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad h([3^{n}u3^{n}vy]_{A} +[3^{n}vy3^{n}u]_{A} +[y3^{n}u3^{n}v]_{A})\\
&= ([h(3^{n}u)h(3^{n}v)h(y)]_{B} +[h(3^{n}v)h(y)h(3^{n}u)]_{B} +[h(y)h(3^{n}u)h(3^{n}v)]_{B})
\end{split}
\end{equation*}
برقرار باشد.

\section {همريختي هاي سه تايي ژوردان روی $C^{*}$-جبر سه تایی يكدار}
در این بخش، پايداري هايرز- اولام- راسياس، همريختي هاي سه تايي ژوردان روی $C^{*}$-جبر سه تایی يكدار مي پردازيم. پيش از بيان قضيه اصلي اين فصل لم زير را كه در فصل دوم به اثبات آن پرداختيم (براي بيان قضيه اصلي اين فصل به آن نياز داريم) بيان مي كنيم.\\
\textbf{تذکر}:
در سرتاسر این بخش فرض می کنیم که$A$ و $B$، $C^{*}$-جبر سه تایی در نظر مي گيريم. مگر آنكه قيد شوند.
\begin{lem}
فرض كنيم $A$ و $B$ ، جبر باناخ باشند و نگاشت جمعي $f : A\rightarrow B$ وجود داشته باشد در اين صورت
به ازاي هر $a, b ,c \in A$ احكام زير معادل هستند.

\begin{equation}\label{e40}
\ f([a,a,a]) = [f(a),f(a),f(a)],
\end{equation}
\begin{equation}\label{e41}
\begin{split}
&\quad f([a,b,c]+ [b,c,a]+ [c,a,b])\\
&=[f(a),f(b),f(c)]+[f(b),f(c),f(a)]+[f(c),f(a),f(b)]
\end{split}
\end{equation}

\end{lem}
\begin{proof}
ر.ك. به لم (2.2.2)
\end{proof}\vskip 2mm
با توجه به روش \cite{34} و لم (1.2.3)قضيه زير نتيجه مي شود.
\begin{theorem}\label{T.4.1}
 فرض کنیم $f:A\rightarrow B$ نگاشتي با شرط $f(0)=0$ باشد به طوري كه براي هر
 \\$u,v\in I_{1}(A_{sa})$,  $ y\in A$ و $n=0,1,2,...$
 \begin{equation}\label{e41}
\begin{split}
&\quad f([3^{n}u3^{n}vy]_{A} +[3^{n}vy3^{n}u]_{A} +[y3^{n}u3^{n}v]_{A})\\
 &= ([f(3^{n}u)f(3^{n}v)f(y)]_{B} +[f(3^{n}v)f(y)f(3^{n}u)]_{B} +[f(y)f(3^{n}u)f(3^{n}v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation}
در اين صورت تابع $ \phi:(A-\{0\})^{2} \rightarrow [0,\infty)$ به ازاي هر $x,y \in A-\{0\}$ وجود دارد به طوري كه 
$$\widetilde{\phi}(x,y)=\sum^{\infty}_{n=0}3^{-n}\phi(3^{n}x,3^{n}y)<\infty$$
 به ازاي هر $\mu \in T$ و $x, y \in A$  داريم
\begin{equation}\label{e42}
\|2f(\frac{\mu x+ \mu y}{2})-\mu f(x)-\mu f(y)\|\leq\phi(x,y)
\end{equation}
اگر $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(3^{n}e)}{3^{n}} \in I_{1}(B_{sa}) \bigcap Z(B)$ باشد، آن گاه نگاشت $f:A\rightarrow B$ يك همريختي سه تايي ژوردان است.
\end{thm}

\begin{proof}
با قرار دادن $\mu = 1$ در معادله (\ref{e42}) و با استفاده از قضيه (7.2.1) نتيجه مي شود كه يك نگاشت جمعي منحصر بفرد مانند $ h: A\rightarrow B$ وجود دارد به طوري كه به ازاي هر $x \in A-\{0\}$ خواهيم داشت
\begin{align}\label{e43}
\| f(x) - h(x) \| \leq \frac{1}{3} \Big( \widetilde{\phi}(x, -x) + \widetilde{\phi} (-x, 3x) \Big)
\end{align}
فرض كنيم $h$ نگاشتي باشد كه  به ازاي هر $x \in A$ داريم 
$$h(x)= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(3^{n}x)}{3^{n}}.$$
با استدلال مشابه  قضيه (6.2.1) $h$، $C$-خطي است. با توجه به نامعادله (\ref{e42}) و به ازاي هر $u,v\in U(A)$ و $ y\in A$ داريم
\begin{equation}\label{e44}
\begin{split}
&\quad h([uvy]_{A} +[vyu]_{A} +[yuv]_{A})\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty} f(\frac{[3^{n}u3^{n}vy]_{A}}{9^{n}} +\frac{[3^{n}vy3^{n}u]_{A}}{9^{n}} +\frac{[y3^{n}u3^{n}v]_{A}}{9^{n}})\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big(\frac{[f(3^{n}u)f(3^{n}v)f(y)]_{B}}{9^{n}} +\frac{[f(3^{n}v)f(y)f(3^{n}u)]_{B}}{9^{n}} +\frac{[f(y)f(3^{n}u)f(3^{n}v)]_{B}}{9^{n}}\Big)\\
\end{split}
\end{equation}
\begin{equation*}
\begin{split}
&=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big(\frac{[f(3^{n}u)f(3^{n}v)f(y)]_{B}+ [f(y)f(3^{n}u)f(3^{n}v)]_{B}+ [f(3^{n}v)f(y)f(3^{n}u)]_{B}}{9^{n}} \Big)\\
&= ([h(u)h(v)f(y)]_{B} +[h(v)f(y)h(u)]_{B} +[f(y)h(u)h(v)]_{B}),
\end{split}
\end{equation*}
از طرفي $h$ نگاشتي جمعي است، با توجه به نامعادله (\ref{e44}) براي هر $u,v\in U(A)$ و $ y\in A$ خواهيم داشت
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad  3^{n}h([uvy]_{A} +[vyu]_{A} +[yuv]_{A})\\
&= h([uv(3^{n}y)]_{A} +[v(3^{n}y)u]_{A} +[(3^{n}y)uv]_{A})\\
&= ([h(u)h(v)f(3^{n}y)]_{B} +[h(v)f(3^{n}y)h(u)]_{B} +[f(3^{n}y)h(u)h(v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation*}
بنابراين به ازاي هر $u,v\in U(A)$ و $ y\in A$ داريم
\begin{equation}\label{e45}
\begin{split}
&\quad h([uvy]_{A} +[vyu]_{A} +[yuv]_{A})\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty} ([h(u)h(v)\frac{f(3^{n}y)}{3^{n}}]_{B} +[h(v)\frac{f(3^{n}y)}{3^{n}}h(u)]_{B} +[\frac{f(3^{n}y)}{3^{n}}h(u)h(v)]_{B})\\
&= ([h(u)h(v)h(y)]_{B} +[h(v)h(y)h(u)]_{B} +[h(y)h(u)h(v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation}
با اين فرض داريم $h(e)= lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(3^{n}e)}{3^{n}}\in U(B)$ ، از اين رو با توجه به نامعادله هاي (\ref{e44}) و (\ref{e45}) براي هر $ y\in A$ داريم
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad ([h(e)h(e)h(y)]_{B} +[h(e)h(y)h(e)]_{B} +[h(y)h(e)h(e)]_{B})\\
&= (h([eey]_{A} +[eye]_{A} +[yee]_{A}))\\
&= ([h(e)h(e)f(y)]_{B} +[h(e)f(y)h(e)]_{B} +[f(y)h(e)h(e)]_{B}),
\end{split}
\end{equation*}
$e_{B}$ عضو واحد از $B$ در نظر مي گيريم و از طرفي $ h(e)$ متعلق به $ I_{1}(B_{sa})$ است به طوري كه به ازاي هر $ y\in A$ خواهيم داشت
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad 3h(y)= ([e_{B}e_{B}h(y)]_{B} +[e_{B}h(y)e_{B}]_{B} +[h(y)e_{B}e_{B}]_{B})\\
&=[[h(e)^{-1}e_{B}h(e)]_{B}e_{B}h(y)]_{B} +[[h(e)^{-1}e_{B}h(e)]_{B}h(y)e_{B}]_{B}
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation}\label{e46}
\begin{split}
&\quad+[h(y)[h(e)e_{B}h(e)^{-1}]_{B}e_{B}]_{B}\\
&=[h(e)^{-1}[e_{B}h(e)e_{B}]_{B}h(y)]_{B} +[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)h(y)e_{B}]_{B}]_{B}\\
&\quad+[h(y)h(e)[e_{B}h(e)^{-1}e_{B}]_{B}]_{B}\\
&=[h(e)^{-1}[e_{B}e_{B}h(e)]_{B}h(y)]_{B} +[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)h(y)[h(e)^{-1}e_{B}h(e)]_{B}]_{B}]_{B}\\
&\quad+[h(y)h(e)[[h(e)e_{B}h(e)^{-1}]_{B}h(e)^{-1}e_{B}]_{B}]_{B}\\
&=[h(e)^{-1}e_{B}[e_{B}h(e)h(y)]_{B}]_{B}+[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)h(y)[h(e)^{-1}e_{B}h(e)]_{B}]_{B}]_{B}\\
&\quad+[h(y)h(e)[h(e)[e_{B}h(e)^{-1}h(e)^{-1}]e_{B}]_{B}]_{B}\\
&=[h(e)^{-1}e_{B}[[h(e)^{-1}e_{B}h(e)]_{B}h(e)h(y)]_{B}]_{B}+[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)h(y)[h(e)^{-1}h(e)e_{B}]_{B}]_{B}]_{B}\\ 
&\quad+[[h(y)h(e)h(e)]_{B}[e_{B}h(e)^{-1}h(e)^{-1}]e_{B}]_{B}\\
&=[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)h(e)h(y)]_{B}]_{B}]_{B}+[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)h(y)[h(e)h(e)^{-1}e_{B}]_{B}]_{B}]_{B}\\ 
&\quad+[[f(y)h(e)h(e)]_{B}[e_{B}h(e)^{-1}h(e)^{-1}]e_{B}]_{B}\\
&=[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)h(e)f(y)]_{B}]_{B}]_{B}+[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)h(y)h(e)]_{B}h(e)^{-1}e_{B}]_{B}]_{B}\\
&\quad+[[f(y)h(e)[h(e)e_{B}h(e)^{-1}]_{B}h(e)^{-1}]e_{B}]_{B}\\
&=[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)^{-1}e_{B}h(e)]_{B}h(e)f(y)]_{B}]_{B}+[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)f(y)h(e)]_{B}h(e)^{-1}e_{B}]_{B}]_{B}\\
&\quad+[[f(y)h(e)[e_{B}h(e)^{-1}e_{B}]_{B}]_{B}\\
&=[h(e)^{-1}[e_{B}e_{B}h(e)]_{B}f(y)]_{B} +[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)f(y)[h(e)h(e)^{-1}e_{B}]_{B}]_{B}]_{B}\\
&\quad+[f(y)[h(e)e_{B}h(e)^{-1}]_{B}e_{B}]_{B}\\
&\quad =[h(e)^{-1}e_{B}[e_{B}h(e)_{B}f(y)]_{B}]_{B} +[h(e)^{-1}e_{B}[h(e)f(y)[h(e)e_{B}h(e)^{-1}]_{B}]_{B}]_{B}\\
&+[f(y)e_{B}e_{B}]_{B}\\
&\quad=[h(e)^{-1}[e_{B}e_{B}h(e)_{B}]_{B}f(y)]_{B} +[[h(e)^{-1}e_{B}h(e)]_{B}f(y)e_{B}]_{B}+ f(y)\\
&=[h(e)^{-1}e_{B}h(e)_{B}]_{B}e_{B}f(y)]_{B} +[e_{B}f(y)e_{B}]_{B} +f(y)\\
&\quad=[e_{B}e_{B}f(y)]_{B} +f(y)+ f(y)= f(y)+ f(y)+ f(y)= 3f(y).
\end{split}
\end{equation}
باتوجه به معادله (\ref{e46})، $h(y)=f(y)$.
نشان مي دهيم $f$ يك همريختي سه تايي ژوردان است،
براي هر $a,b \in A$ تعريف مي كنيم $ a\lozenge b:= [aeb]_{A}$  به طوري كه $\lozenge :A\times A\rightarrow A$ يك حاصل ضرب دوتايي كه زوج $(A, \lozenge)$ را به عنوان ( باينري) $C^{*}$-جبر در نظر مي گيريم. و همچنين به ازاي هر $a \in A$ داريم $a \in U(A,[~]_{A})$ اگر و فقط اگر $a \in U((A, \lozenge))$.
فرض كنيم $a, b \in A$ با توجه به قضيه (7.1.4) از \cite{37} $a, b$ تركيب خطي متناهي از عناصر واحد هستند.  يعني به ازاي هر $c_{i}, d_{j} \in C, u_{i},v_{j} \in U(A))$ داريم $ a=\sum^{n}_{i=1}c_{i}u_{i},   b=\sum^{m}_{j=1}d_{j}v_{j}$.
\\در نتيجه با توجه به نامعادله (\ref{e45}) به ازاي هر $y \in A$ داريم
\begin{equation*}
\begin{split}
 &\quad f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)= h\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&\quad =h\Big([\sum^{n}_{i=1}c_{i}u_{i}\sum^{m}_{j=1}d_{j}v_{j}y]_{A} +[\sum^{m}_{j=1}d_{j}v_{j}y\sum^{n}_{i=1}c_{i}u_{i}]_{A} +[y\sum^{n}_{i=1}c_{i}u_{i}\sum^{m}_{j=1}d_{j}v_{j}]_{A}\Big)\\
&=h\Big([\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}c_{i}d_{j}u_{i}v_{j}y]_{A} +[\sum^{m}_{j=1}d_{j}v_{j}y\sum^{n}_{i=1}c_{i}u_{i}]_{A} +[y\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}c_{i}d_{j}u_{i}v_{j}]_{A}\Big)\\
&\quad =\big( (\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}c_{i}d_{j}h[u_{i}v_{j}y]_{A}) +
(\sum^{m}_{j=1}d_{j}h[v_{j}yu_{i}]_{A}\sum^{n}_{i=1}c_{i}) +(h[yu_{i}v_{j}]_{A}\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}c_{i}d_{j}\Big)\\
&=\Big( (\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}c_{i}d_{j}[h(u_{i})h(v_{j})h(y)]_{B}) +(\sum^{m}_{j=1}d_{j}[h(v_{j})h(y)h(u_{i})]_{B}\sum^{n}_{i=1}c_{i})\\
&\quad +([h(y)h(u_{i})h(v_{j})]_{B}\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}c_{i}d_{j})\Big)\\
&\quad =Big([\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}c_{i}d_{j}h(u_{i})h(v_{j})h(y)]_{B}+ [\sum^{m}_{j=1}d_{j}h(v_{j})h(y)\sum^{n}_{i=1}c_{i}h(u_{i})]_{B}\\
&+[h(y)\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}c_{i}d_{j}h(u_{i})h(v_{j})]_{B}\Big)\\
&\quad =\Big([h(\sum^{n}_{i=1}c_{i}u_{i})h(\sum^{m}_{j=1}d_{j}v_{j})h(y)]_{B} +[h(\sum^{m}_{j=1}d_{j}v_{j})h(y)h(\sum^{n}_{i=1}c_{i}u_{i})]_{B}\\
&\quad+[h(y)h(\sum^{n}_{i=1}c_{i}u_{i})h(\sum^{m}_{j=1}d_{j}v_{j})]_{B}\Big)\\
&=\Big([h(a)h(b)h(y)]_{B} +[h(b)h(y)h(a)]_{B} +[h(y)h(a)h(b)]_{B}\Big),
\end{split}
\end{equation*}
اين اثبات قضيه را كامل مي كند.
\end{proof}\vskip 2mm

\begin{cor}\label{c4.2}
فرض كنيم $p \in (0,1), \theta \in [0,\infty)$ اعداد حقيقي باشند و $f:A\rightarrow B$ نگاشتي باشد كه $f(0)=0$ به ازاي هر $u,v\in U(A)$، $ y\in A$ و $n=0,1,2,...$ داريم
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad f([3^{n}u3^{n}vy]_{A} +[3^{n}vy3^{n}u]_{A} +[y3^{n}u3^{n}v]_{A})\\
&=([f(3^{n}u)f(3^{n}v)f(y)]_{B} +[f(3^{n}v)f(y)f(3^{n}u)]_{B} +[f(y)f(3^{n}u)f(3^{n}v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation*}
فرض كنيم براي  هر $u,v\in U(A)$,  $ y\in A$ و $n=0,1,2,...$ 
\begin{equation*}
\|2f(\frac{\mu x+ \mu y}{2})- \mu f(x) -\mu f(y)\| \leq \theta ( \|x\|^{p}+ \|y\|^{p} ),
\end{equation*}
وجود داشته باشد. اگر $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(3^{n}e)}{3^{n}} \in I_{1}(B_{sa})$ باشد، آن گاه نگاشت $f:A\rightarrow B$ يك همريختي سه تايي ژوردان است.
\end{cor}\vskip 2mm

\begin{proof}
به ازاي هر $x,y \in A$ با قرار دادن $\phi(x,y,z):=\theta(\|x\|^{p}+ \|y\|^{p})$ با توجه به قضيه (\ref{T.4.1}) نتيجه لازم بدست مي آيد و اين اثبات را تمام مي كند.
\end{proof}\vskip 2mm

\begin{theorem}\label{T.4.2}
فرض كنيم $A$ يك $C^{*}$-جبر سه تايي حقيقي با رتبه صفر و $f:A\rightarrow B$ نگاشتي پيوسته با شرط $f(0)=0$ باشد. به طوري كه به ازاي هر $u,v\in I_{1}(A_{sa})$, $ y\in A$ و $n=0,1,2,...$ داريم
\begin{equation}\label{Se13}
\begin{split}
&\quad f([3^{n}u3^{n}vy]_{A} +[3^{n}vy3^{n}u]_{A} +[y3^{n}u3^{n}v]_{A})\\
&=([f(3^{n}u)f(3^{n}v)f(y)]_{B} +[f(3^{n}v)f(y)f(3^{n}u)]_{B} +[f(y)f(3^{n}u)f(3^{n}v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation}
فرض كنيم تابع $\phi:(A-\{0\})^{2} \rightarrow [0,\infty)$ به ازاي هر $x,y \in A- \{0\} $ وجود داشته باشد و در نامعادله (\ref{e42}) و $ \widetilde{\phi} (x,y)<\infty$ صدق كند و اگر $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(3^{n}e)}{3^{n}} \in I_{1}(B_{sa}) $ باشد، آن گاه  نگاشت $f:A\rightarrow B$ يك همريختي سه تايي ژوردان است.
\end{thm}\vskip 2mm

\begin{proof}
با استدلال مشابه در اثبات قضيه (\ref{T.4.1})، نگاشت $C$-خطي منحصر بفرد $h:A\rightarrow B$ وجود دارد كه در معادله (\ref{e43}) صدق مي كند. با توجه به معادله (\ref{Se13}) به ازاي هر $u,v\in I_{1}(A_{sa})$، $ y\in A$ داريم
\begin{equation}\label{Se14}
\begin{split}
&\quad h([3^{n}u3^{n}vy]_{A} +[3^{n}vy3^{n}u]_{A} +[y3^{n}u3^{n}v]_{A})\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty} f(\frac{[3^{n}u3^{n}vy]_{A}}{9^{n}} +\frac{[3^{n}vy3^{n}u]_{A}}{9^{n}} +\frac{[y3^{n}u3^{n}v]_{A}}{9^{n}})\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big(\frac{[f(3^{n}u)f(3^{n}v)f(y)]_{B}+ [f(y)f(3^{n}u)f(3^{n}v)]_{B}+ [f(3^{n}v)f(y)f(3^{n}u)]_{B}}{9^{n}} \Big)\\
&=([h(u)h(v)f(y)]_{B} +[h(v)f(y)h(u)]_{B} +[f(y)h(u)h(v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation}
با توجه به معادله (\ref{Se14})، $h$ جمعي است، به طوري كه به ازاي هر $u,v\in I_{1}(A_{sa})$، $ y\in A$ به دست مي آيد 
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad 3^{n}h([uvy]_{A} +[vyu]_{A} +[yuv]_{A})\\
&= h([uv(3^{n}y)]_{A} +[v(3^{n}y)u]_{A} +[(3^{n}y)uv]_{A})\\
&= ([h(u)h(v)f(3^{n}y)]_{B} +[h(v)f(3^{n}y)h(u)]_{B} +[f(3^{n}y)h(u)h(v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation*}
از طرفي به ازاي هر $u,v\in I_{1}(A_{sa})$، $ y\in A$
\begin{equation}\label{Se15}
\begin{split}
&\quad h([uvy]_{A} +[vyu]_{A} +[yuv]_{A})\\
&= \lim_{n\rightarrow\infty} ([h(u)h(v)\frac{f(3^{n}y)}{3^{n}}]_{B} +[h(v)\frac{f(3^{n}y)}{3^{n}}h(u)]_{B} +[\frac{f(3^{n}y)}{3^{n}}h(u)h(v)]_{B}),
\end{split}
\end{equation}
با اين فرض داريم
$$h(e)= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(3^{n}e)}{3^{n}} \in U(B)$$
مشابه اثبات قضيه (\ref{T.4.1}) و با توجه به معادله هاي (\ref{Se14}) و (\ref{Se15})، $h=f$ نتيجه مي شود، بنابراين $h$ پيوسته است. در اين صورت رتبه حقيقي $A$ صفر است. به آساني مي توان نشان داد $I_{1}(A_{sa})$ در $\{x \in A_{sa}:\|x\|=1\}$ چگال است. فرض كنيم $u,v \in \{x \in A_{sa}:\|x\|=1\}$ باشد. وجود دارند $\{t_{n}\} , \{z_{n}\}$ در $I_{1}(A_{sa})$، به طوري كه $ \lim_{n\rightarrow\infty}t_{n}=u ,  \lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=v$ است، از طرفي چون $h$ پيوسته است، با توجه به معادله (\ref{Se15}) به ازاي هر $y \in A$ داريم
\begin{equation}\label{Se16}
\begin{split}
&\quad h([uvy]_{A} +[vyu]_{A} +[yuv]_{A})= h\Big(\lim_{n\rightarrow\infty}((t_{n}z_{n}y) +(z_{n}yt_{n}) +(yt_{n}z_{n}))\Big)\\
&= \lim_{n\rightarrow\infty} h\Big([t_{n}z_{n}y]_{A} +[z_{n}yt_{n}]_{A} +[yt_{n}z_{n}]_{A}\Big)\\
&= \lim_{n\rightarrow\infty} \Big([h(t_{n})h(z_{n})h(y)]_{B} +[h(z_{n})h(y)h(t_{n})]_{B} +[h(y)h(t_{n})h(z_{n})]_{B}\Big)\\
&=([h(u)h(v)h(y)]_{B} +[h(v)h(y)h(u)]_{B} +[h(y)h(u)h(v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation}
لذا فرض كنيم $a,b \in A$ به طوري كه $ a=a_{1}+ia_{2} , b= b_{1}+ib_{2}$، از طرفي $a_{1}:=\frac{a+a^{*}}{2} , b_{1}:=\frac{b+b^{*}}{2}$ و $a_{2}:=\frac{a-a^{*}}{2i} , b_{2}:=\frac{b-b^{*}}{2i}$ خود الحاقي هستند. ابتدا فرض مي كنيم $a_{2}=b_{2}=0 , a_{1}, b_{1}\neq0 $. چون $h$، $C$-خطي است از معادله (\ref{Se16}) به ازاي هر $y \in A$ خواهيم داشت
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)= h\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&=h\Big([a_{1}b_{1}y]_{A} +[b_{1}ya_{1}]_{A} +[ya_{1}b_{1}]_{A}\Big)\\
&=h\Big((\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}) +(\|b_{1}\|\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|]_{A}\\
&\quad +(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|\|b_{1}\|)\Big)\\
&=\Big(\|a_{1}\|\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{1}\|\\
&\quad +h\Big(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&=\Big(\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big[h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{A} +\|b_{1}\|\Big[h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{A}\|a_{1}\|\\
&\quad +\Big[h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{A}\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&=\Big(\Big[h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{B}\\
&\quad +\Big[h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&=\Big([h(a_{1})h(b_{1})h(y)]_{B} +[h(b_{1})h(y)h(a_{1})]_{B} +[h(y)h(a_{1})h(b_{1})]_{B}\Big)\\
&=\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big),
\end{split}
\end{equation*}
حال، براي $a_{1}=b_{1}=0 , a_{2}, b_{2}\neq0 $ در نظر مي گيريم.  از طرفي چون $h$، $C$-خطي است از معادله (\ref{Se16}) به ازاي هر $y \in A$ داريم
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)= h\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&=h\Big([ia_{2}ib_{2}y]_{A} +[ib_{2}yia_{2}]_{A} +[yia_{2}ib_{2}]_{A}\Big)\\
&=h\Big(-(\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}) -(\|b_{2}\|\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|]_{A})\\
&\quad -(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|\|b_{2}\|)\Big)\\
&=\Big(-\|a_{2}\|\|b_{2}\|h\Big(\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}\Big) -\|b_{2}\|h\Big(\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\\
&\quad -h\Big(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&=\Big(-\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big[h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{A} -\|b_{2}\|\Big[h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{A}\|a_{2}\|\\
&\quad -\Big[h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{A}\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&=\Big(\Big[h(i\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(i\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[h(i\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)h(i\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{B}\\
&\quad +\Big[h(y)h(i\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(i\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&=\Big([h(ia_{2})h(ib_{2})h(y)]_{B} +[h(ib_{2})h(y)h(ia_{2})]_{B} +[h(y)h(ia_{2})h(ib_{2})]_{B}\Big)\\
&\quad =\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big).
\end{split}
\end{equation*}
حال با فرض $a_{2}=b_{1}=0 , a_{2}, b_{2}\neq0 $ با توجه به معادله (\ref{Se16}) به ازاي هر $y \in A$ خواهيم داشت
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)= h\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&=h\Big([a_{1}ib_{2}y]_{A} +[ib_{2}ya_{1}]_{A} +[ya_{1}ib_{2}]_{A}\Big)\\
&=h\Big((i\|a_{1}\|\|b_{2}\|\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}) +(i\|b_{2}\|\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|]_{A})\\
&\quad +(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}i\|a_{1}\|\|b_{2}\|)\Big)\\
&=\Big(\|a_{1}\|\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{1}\|\\
&\quad +h\Big(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\Big)i\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big)
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
&=\Big(i\|a_{1}\|\|b_{2}\|\Big[h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{A} +i\|b_{2}\|\Big[h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{A}\|a_{1}\|\\
&\quad +\Big[h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{A}i\|a_{1}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&=\Big(\Big[h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(i\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[h(i\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{B}\\
&\quad +\Big[h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(i\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&=\Big([h(a_{1})h(ib_{2})h(y)]_{B} +[h(ib_{2})h(y)h(a_{1})]_{B} +[h(y)h(a_{1})h(2b_{i})]_{B}\Big)\\
&=\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big),
\end{split}
\end{equation*}
به آساني مي توان نشان براي  $a_{1}=b_{2}=0 , a_{2}, b_{1}\neq0 $ به ازاي هر $y \in A$ بدست مي آيد
\begin{eqnarray*}
&‌ &f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&=&\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big),
\end{eqnarray*}
در صورتي كه $b_{2}=0 , a_{1}, a_{2}, b_{1}\neq0 $ باشند براي هر $y \in A$ داريم
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)= h\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&=h\Big([(a_{1}+ia_{2})b_{1}y]_{A} +[b_{1}y(a_{1}+ia_{2})]_{A} +[y(a_{1}+ia_{2})b_{1}]_{A}\Big)\\
&=h\Big([a_{1}b_{1}y]_{A} +[b_{1}ya_{1}]_{A} +[ya_{1}b_{1}]_{A}\Big) +ih\Big([a_{2}b_{1}y]_{A} +[b_{1}ya_{2}]_{A} +[ya_{2}b_{1}]_{A}\Big)\\
&=h\Big((\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}) +(\|b_{1}\|\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|]_{A})\\
&\quad +(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|\|b_{1}\|)\Big)
+ih\Big((\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A})\\
&+(\|b_{1}\|\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{12}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|]_{A}) +(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|\|b_{1}\|)\Big)\\
&=\Big(\|a_{1}\|\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{1}\|\\
&\quad +h\Big(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big) +\Big(i\|a_{2}\|\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}\Big)\\
&+i\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\| +h\Big(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\Big)i\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&=\Big(\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big[h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{A} +\|b_{1}\|\Big[h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{A}\|a_{1}\|
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad +\Big[h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{A}\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&+\Big(i\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big[h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{A} +i\|b_{1}\|\Big[h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{A}\|a_{2}\|\\
&\quad +\Big[h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{A}i\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&=\Big(\Big[h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{B}\\
&\quad +\Big[h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&+\Big(i\Big[h(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{B} +i\Big[h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{B}\\
&\quad +i\Big[h(y)h(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&=\Big([h(a_{1})h(b_{1})h(y)]_{B} +[h(b_{1})h(y)h(a_{1})]_{B} +[h(y)h(a_{1})h(b_{1})]_{B}\Big)\\
&\quad +\Big(i[h(a_{2})h(b_{1})h(y)]_{B} +i[h(b_{1})h(y)h(a_{2})]_{B} +i[h(y)h(a_{2})h(b_{1})]_{B}\Big)\\
&=\Big([h(a_{1}+ia_{2})h(b_{1})h(y)]_{B} +[h(b_{1})h(y)h(a_{1}+ia_{2})]_{B} +[h(y)h(a_{1}+ia_{2})h(b_{1})]_{B}\Big)\\
&=\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big).
\end{split}
\end{equation*}
با استدلال مشابه فوق براي $a_{2}=0 , a_{1}, b_{1}b_{2}\neq0 $ به ازاي هر $y\in A$ مي توان نشان داد
\begin{eqnarray*}
&‌ &f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&=&\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big),
\end{eqnarray*}
حال براي  $a_{1}=0 ,a_{2}, b_{1}, b_{2}\neq0 $ به ازاي هر $y \in A$  با توجه به معادله (\ref{Se16}) داريم
\begin{eqnarray*}
& &f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)= h\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&=&h\Big([ia_{2}(b_{1}+ib_{2})y]_{A} +[(b_{1}+ib_{2})yia_{2}]_{A} +[yia_{2}(b_{1}+ib_{2})]_{A}\Big)\\
&=&h\Big([ia_{2}b_{1}y]_{A} +[b_{1}yia_{2}]_{A} +[yia_{2}b_{1}]_{A}\Big)- h\Big([a_{2}b_{2}y]_{A} +[b_{2}ya_{2}]_{A} +[ya_{2}b_{2}]_{A}\Big)\\
&=&h\Big((i\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}) +(\|b_{1}\|\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}i\|a_{2}\|]_{A})
\end{eqnarray*}
\begin{equation*}
\begin{split}
\\
&\quad +(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}i\|a_{2}\|\|b_{1}\|)\Big)\\
&-h\Big((\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}) +(\|b_{2}\|\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|]_{A})\\ &+(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|\|b_{2}\|)\Big)\\
&\quad =\Big(i\|a_{2}\|\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\Big)i\|a_{2}\|\\
&+h\Big(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\Big)i\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&\quad -\Big(\|a_{2}\|\|b_{2}\|h\Big(\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{2}\|h\Big(\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\\
&+h\Big(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&\quad =\Big(i\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big[h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{A} +\|b_{1}\|\Big[h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{A}i\|a_{2}\|\\
&+\Big[h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{A}i\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&\quad -\Big(\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big[h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{A} +\|b_{2}\|\Big[h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{A}\|a_{2}\|\\
&+\Big[h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{A}\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&\quad =\Big(\Big[h(i\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{B}\\
&+\Big[h(y)h(i\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&\quad +\Big(\Big[ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})ih(\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[ih(\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{B}\\
&+\Big[h(y)ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})ih(\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&\quad =\Big([ih(a_{2})h(b_{1})h(y)]_{B} +[h(b_{1})h(y)ih(a_{2})]_{B} +[h(y)ih(a_{2})h(b_{1})]_{B}\Big)\\
&+\Big([ih(a_{2})ih(b_{2})h(y)]_{B} +[ih(b_{2})h(y)ih(a_{2})]_{B} +[h(y)ih(a_{2})ih(b_{2})]_{B}\Big)\\
&\quad =h\Big([ia_{2}(b_{1}+ib_{2})y]_{A} +[(b_{1}+ib_{2})yia_{2}]_{A} +[yia_{2}(b_{1}+ib_{2})]_{A}\Big)\\
&=\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big).
\end{split}
\end{equation*}
همچنين، با استدلال مشابه براي $b_{1}=0 , a_{1}, a_{2}, b_{2}\neq0 $ به ازاي هر $ y \in A$ مي توان نشان داد
\begin{eqnarray*}
& &f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\&=&\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big).
\end{eqnarray*}
\\در نهايت با در نظر گرفتن $b_{1}, a_{1}, a_{2},b_{2}\neq0 $ براي هر $ y \in A$ با توجه به معادله (\ref{Se16}) خواهيم داشت
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)= h\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\
&=h\Big([(a_{1}+ia_{2})(b_{1}+ib_{2})y]_{A} +[(b_{1}+ib_{2})y(a_{1}+ia_{2})]_{A} +[y(a_{1}+ia_{2})(b_{1}+ib_{2})]_{A}\Big)\\
&=h\Big([a_{1}b_{1}y]_{A} +[b_{1}ya_{1}]_{A}+ [ya_{1}b_{1}]_{A}\Big)+h\Big([a_{1}ib_{2}y]_{A} +[ib_{2}ya_{1}]_{A} +[ya_{1}ib_{2}]_{A}\Big)\\
&\quad+h\Big([ia_{2}b_{1}y]_{A} +[b_{1}yia_{2}]_{A} +[yia_{2}b_{1}]_{A}\Big)-h\Big([a_{2}b_{2}y]_{A} +[b_{2}ya_{2}]_{A} +[ya_{2}b_{2}]_{A}\Big)\\
&=h\Big((\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}) +(\|b_{1}\|\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|]_{A})\\
 &\quad+(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|\|b_{1}\|)\Big)\\
&+ih\Big((\|a_{1}\|\|b_{2}\|\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}) +(\|b_{2}\|\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|]_{A})\\
&\quad+(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}\|a_{1}\|\|b_{2}\|)\Big)\\
&+ih\Big((\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}) +(\|b_{1}\|\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|]_{A})\\
&\quad+(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|\|b_{1}\|)\Big)\\
&-h\Big((\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}) +(\|b_{2}\|\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|]_{A})\\
&\quad+(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}\|a_{2}\|\|b_{2}\|)\Big)\\
&=\Big(\|a_{1}\|\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{1}\|\\ 
&+h\Big(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&\quad+i\Big(\|a_{1}\|\|b_{2}\|h\Big(\Big[\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{2}\|h\Big(\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{1}\|
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad+h\Big(\Big[y\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&+i\Big(\|a_{2}\|\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{1}\|h\Big(\Big[\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\\
&\quad+h\Big(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&-\Big(\|a_{2}\|\|b_{2}\|h\Big(\Big[\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\Big]_{A}\Big) +\|b_{2}\|h\Big(\Big[\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\\
&\quad+h\Big(\Big[y\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|}\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|}\Big]_{A}\Big)\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&=\Big(\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big[h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{B} +\|b_{1}\|\Big[h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{B}\|a_{1}\|\\
&\quad+\Big[h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{B}\|a_{1}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&+i\Big(\|a_{1}\|\|b_{2}\|\Big[h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{B} +\|b_{2}\|\Big[h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{B}\|a_{1}\|\\
&\quad+\Big[h(y)h(\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{B}\|a_{1}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&+i\Big(\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big[h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{B}+\|b_{1}\|\Big[h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{B}\|a_{2}\|\\
&\quad+\Big[h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{B}\|a_{2}\|\|b_{1}\|\Big)\\
&-\Big(\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big[h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{B} +\|b_{2}\|\Big[h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{A}\|a_{2}\|\\
&\quad+\Big[h(y)h(\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{B}\|a_{2}\|\|b_{2}\|\Big)\\
&=\Big(\Big[h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{B}\\
&\quad+\Big[h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&+\Big(\Big[h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})ih(\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[h(i\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})\Big]_{B}\\
&\quad+\Big[h(y)h(\|a_{1}\|\frac{a_{1}}{\|a_{1}\|})ih(\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&+\Big(\Big[ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})h(y)ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{B}\\
&\quad+\Big[h(y)ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\|b_{1}\|\frac{b_{1}}{\|b_{1}\|})\Big]_{B}\Big)\\
&+\Big(\Big[ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})ih(\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)\Big]_{B} +\Big[ih(\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})h(y)ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})\Big]_{B}\\
&\quad+\Big[h(y)ih(\|a_{2}\|\frac{a_{2}}{\|a_{2}\|})h(\|b_{2}\|\frac{b_{2}}{\|b_{2}\|})\Big]_{B}\Big)
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
&=\Big([h(a_{1})h(b_{1})h(y)]_{B} +[h(b_{1})h(y)h(a_{1})]_{B} +[h(y)h(a_{1})h(b_{1})]_{B}\Big)\\
&\quad+\Big([h(a_{1})ih(b_{2})h(y)]_{B} +[ih(b_{2})h(y)h(a_{1})]_{B} +[h(y)h(a_{1})ih(b_{2})]_{B}\Big)\\
&+\Big([ih(a_{2})h(b_{1})h(y)]_{B} +[h(b_{1})h(y)ih(a_{2})]_{B} +[h(y)ih(a_{2})h(b_{1})]_{B}\Big)\\
&\quad+\Big([ih(a_{2})ih(b_{2})h(y)]_{B} +[ih(b_{2})h(y)ih(a_{2})]_{B} +[h(y)ih(a_{2})ih(b_{2})]_{B}\Big)\\
&=\Big([h(a_{1}+ia_{2})h(b_{1}+ib_{2})h(y)]_{B} +[h(b_{1}+ib_{2})h(y)h(a_{1}+ia_{2})]_{B}\\
&\quad+[h(y)h(a_{1}+ia_{2})h(b_{1}+ib_{2})]_{B}\Big)\\
&=\Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big).
\end{split}
\end{equation*}
بنابراين، براي هر $a, b, y \in A$ داريم
\begin{eqnarray*}
& &f\Big([aby]_{A} +[bya]_{A} +[yab]_{A}\Big)\\&=& \Big([f(a)f(b)f(y)]_{B} +[f(b)f(y)f(a)]_{B} +[f(y)f(a)f(b)]_{B}\Big),
 \end{eqnarray*}
  در نتيجه $f$ يك همريختي سه تايي ژوردان است. و اين اثبات را تمام مي كند.
\end{proof}\vskip 2mm

\begin{cor}\label{c4.3}
فرض كنيم $A$ يك $C^{*}$-جبر سه تايي حقيقي با رتبه صفر و $p \in (0,1)$ ،
\\$ \theta \in [0,\infty)$ اعداد حقيقي باشند و $f:A\rightarrow B$ نگاشتي باشد كه $f(0)=0$ به ازاي هر $u,v\in U(A)$,  $ y\in A$ و $n=0,1,2,...$ داريم
\begin{equation*}
\begin{split}
&\quad f([3^{n}u3^{n}vy]_{A} +[3^{n}vy3^{n}u]_{A} +[y3^{n}u3^{n}v]_{A})\\
&=([f(3^{n}u)f(3^{n}v)f(y)]_{B} +[f(3^{n}v)f(y)f(3^{n}u)]_{B} +[f(y)f(3^{n}u)f(3^{n}v)]_{B}).
\end{split}
\end{equation*}
فرض كنيم براي هر $u,v\in U(A)$,  $ y\in A$ و $n=0,1,2,...$ 
\begin{equation*}
\|2f(\frac{\mu x+ \mu y}{2})- \mu f(x) -\mu f(y)\| \leq \theta ( \|x\|^{p}+ \|y\|^{p} )
\end{equation*}
وجود داشته باشد. اگر $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(3^{n}e)}{3^{n}} \in I_{1}(B_{sa})$ باشد، آن گاه نگاشت $f:A\rightarrow B$ يك همريختي سه تايي ژوردان است.
\end{cor}\vskip 2mm

\begin{proof}
به ازاي هر $x,y \in A$ با قرار دادن $\phi(x,y,z):=\theta(\|x\|^{p}+ \|y\|^{p})$ با توجه به قضيه (\ref{T.4.2}) نتيجه لازم بدست مي آيد و اين اثبات را تمام مي كند.
\end{proof}\vskip 2mm

%----------------------------------------------------------------------%