\chapter{مقدمه\label{intro}}
\cfoot{}
\rhead{\thepage}
\pagenumbering{arabic}

\thispagestyle{empty}
\vskip 9cm
\baselineskip=.9cm

فرض کنید $ A $ و $ B $  دو جبر باناخ باشند و $T \in hom \left( B , A \right)$.
 ما در این‌جا فضای بانا خ دوگان $ A $ را با $ A' $ نشان می‌دهیم. $ a \in A $ و $ f \in A' $ را در نظر می‌گیریم، ‍‍‍‍‍سپس $ f.a $ و $ a.f $ را به‌صورت
  $$ f.a \left( x \right) = f \left( ax\right)  \;\;,\;\;  a.f \left( x \right) = f \left( xa \right)  \;\;\;\; \left(x \in A \right)$$  
  تعریف می‌کنیم
 با توجه به [1]، فضای دوگان $ \left( A \times _T B \right)' $ را می‌توان به‌صورت $ A' \times B' $ معرفی کرد، توسط نگاشت خطی $ \theta :A' \times B'\longrightarrow \left( A \times _T B \right)'$ به‌طوری‌که 
  $$\left\langle  \theta \left( f,g \right) , \left(  a,b \right) \right\rangle = \left\langle f,a\right\rangle  +\left\langle g,b \right\rangle  \;\;\;\;  \left( a\in A, f\in A', b\in B, g\in B' \right) $$ 
  
  
تعریف می‌شود.
   اگرچه $ \left( A\times_TB\right) $ یک $ \left( A \times _T B \right) $ -دومدول با عمل مدول طبیعی از $ \left( A \times _T B \right) $ به روی دوگانش است. در حقیقت به وضوح می‌بینیم که 
\begin{equation}
\left( f,g\right)  . \left( a,b \right) = \left( f.\left(  a+T\left( b\right) \right) , T^*\left( f.a \right) + g.b \right) 
\end{equation} 
و
\begin{equation}
\left(  a,b \right) . \left(  f,g \right) = \left( \left(  a+T\left( b\right) \right) . f,T^*\left(  a.f \right) + b.g \right)\;\;\;\; \left(a\in A, b \in B, f \in A', g \in B'\right)
\end{equation} 
می‌باشد. 
به‌علاوه $A\times_TB$ با عمل مدولی زیر یک باناخ $ A $  دومدول است
 $$c.\left(a,b\right):=\left(c,0\right).\left(a,b\right)\;\; , \;\; \left(a,b\right).c:=\left(a,b\right).\left(c,0\right) \;\;\;\;  \left( a,c \in A  ,  b \in B \right) $$

همچنین  $A\times_TB$ به روش مشابه می‌تواند یک $ B $ دومدول باشد.


ما در این‌جا چندین نگاشت منظم که در این مقاله استفاده شده است را تعریف می‌کنیم.
$ p_A:A\times_TB \rightarrow A $ و $ p_B:A\times_TB \rightarrow B $
را در نظر می‌گیریم که با تعریف
  $$p_A \left(\left( a,b \right)\right)=a \;\;
, \;\;  p_B \left(\left( a,b \right)\right)=b \;\;\;\;  \left(a \in A , b \in B \right)$$
به ترتیب نگاشت‌های تصویری معمولی می‌شوند. 
همچنین $ q_A:A \rightarrow A \times_TB $ و $ q_B:B \rightarrow A \times_TB$ به ترتیب با تعریف $ q_A \left(a \right)= \left(a,0 \right) $ و $ q_B \left( b \right)= \left( b,0 \right) $ نگاشت‌های تزریقی معمولی می‌شوند.
اگرچه ما نگاشت  $ r_A:A \times_TB \rightarrowA $ را به‌صورت $$ r_A \left( a,b \right)=a+T \left(b \right)  \;\;\;\; \left( a\in A, b\in B \right)$$ 
تعریف می‌کنیم.
به آسانی می‌توان بررسی کرد که $ q_A $ و $ r_A $ باناخ $ A $-دومدول و نگاشت‌های $ p_B $ و $ q_B $ باناخ $ B $-دومدول هستند.
جبر باناخ $ A $ و باناخ $ A $-دومدول $ X $ را در نظر می‌گیریم. نگاشت خطی کراندار $ D:A \rightarrow X $ را یک مشتق گوییم، هرگاه
  $$ D \left(a,b \right)= D \left(a \right).b + a.D \left( b \right)\;\;\;\; \left( a,b \in A \right)$$ 
با در نظر گرفتن $ x \in X $ نگاشت $ ad_x:A \rightarrow X $ را به‌صورت $ ad_x \left( a\right)= a.x -x.a \left( a\in A\right) $ 
تعریف می‌کنیم. 
بنابراین $ ad_x $ یک مشتق است که به آن مشتق درونی روی $ x $ می‌گوییم.
با توجه در [1] مشتق $ D:A \rightarrow A^* $ را درونی گوییم، هرگاه $$ <D \left(a \right), b > + <D \left( b \right), a > = 0 \;\;\;\;\left( a,b \in A\right) $$
جبر باناخ $ A $ را میانگین‌پذیر دوری گوییم، اگر هر مشتق دوری، درونی باشد.
در قسمت (4) از [2، قضیه‌ی 4.1]، اثبات شده است که اگر $ A $ جابجایی باشد، آن‌گاه $ A \times_TB $ میانگین‌پذیر دوری است اگر‌و‌تنها‌اگر $ A $ و $ B $ هر دو این چنین باشند.
در بحث‌های زیادی از مقاله $ P. A. Dabhi $، بیان شده است که اثبات قسمت (4) از [2، قضیه‌ی 4.1] در بعضی موارد واضح نیست.
در اولین قسمت از اثبات فرض شده است که اگر $ D: A \times_TB \rightarrow A^* \times B^* $ یک مشتق دوری باشد، آن‌گاه $ D\mid_A : A \rightarrow A^* $ و $ D\mid_B :B \rightarrow B^* $ نیز مشتق‌های دوری هستند.
نکته قابل توجه این است که   $ D\mid_B$و  $ D\mid_A $ لزوما نگاشت‌هایی به روی $ A^*$ و $B^* $ نیستند.
در طی صحبت‌‌هایی با $ Dabhi$ یک اثبات جدید از نتایجش را با در نظر گرفتن فرضیات زیادی که ظاهرا نیاز نیست به ما ارایه داد.
همچنین اثباتش برای مواردی است که $ A $ جابجایی باشد.
ما این اثبات را تغییر می‌دهیم و آن را برای مواردی که $ A $ یک جبر باناخ دلخواه باشد بهبود می‌بخشیم.
در ابتدا روشی از فضای دوگان وفادار را بررسی کردیم.
 تعریف 3-1: جبر باناخ $ A $ را در نظر می‌گیریم، اگر برای هر $ f\in A^* $ غیر صفر، $ a\in A $ وجود داشته باشد به‌طوری‌که $ a.f\neq 0 \left(f.a\neq 0 \right) $  می‌بینیم که $ A $ یک فضای دوگان وفادار چپ (راست) دارد.
 بنابراین $ A $ فضای دوگان وفادار دارد، اگر $ A $ هر دو فضای دوگان چپ و راست را داشته باشد.
 قضیه 3-2: دو جبر باناخ $ A $ و $ B $ با فضای دوگان وفادار و $ T \in hom \left( B,A \right) $  را در نظر می‌گیریم.
 اگر  $ A $ و $ B $ میانگین‌پذیری دوری باشند، سپس $ A\times_T B $ میانگین‌پذیری دوری است.
 
 اثبات: فرض کنیم که $ D: A\times_TB \rightarrow A^* \times B^* $  یک مشتق دوری باشد.
 سپس 
 $$ D=\left( D_1,D_2 \right)= \left(q^*_A \ o \ D,q^*_B \ o \ D \right)$$
 با استفاده از (2.1) و (2.2)، برای هر  $ \left(a,b \right), \left(c,d \right) \in A\times_TB $  داریم
 \begin{eqnarray*}
  D \left(\left(a,b\right)\left(c,d\right) \right) & = &  \left(a,b \right).\left(D_1\left(c,d \right) , D_2 \left(c,d \right) \right) + \left(D_1\left(a,b \right) , D_2\left(a,b \right) \right) . \left(c,d\right) \\ & = & \left ( \left (a+T \left(b \right) \right) . D_1 \left(c,d \right),T^* \left (a.D_1 \left (c,d \right) \right) + b. D_2 \left(c,d \right) \right) \\ & + & \left( D_1 \left( a,b \right) . \left( c + T \left(d \right) \right) , T^* \left( D_1 \left( a,b \right) . c \right) + D_2 \left(a,b \right) . d  \right). 
 \end{eqnarray*}
   


این نشان می‌دهد که 
\begin{equation}
D_1 \left( \left(a,b \right) \left( c,d \right) \right) = \left( a + T \left( b \right) \right) . D_1 \left( c,d \right) + D_1 \left( a,b \right) . \left( c + T \left( d \right) \right)
\end{equation} 
و 
\begin{equation}
D_2 \left( \left( a,b \right) \left( c,d \right) \right) = T^* \left( a . D_1 \left( c,d \right) \right) + b. D_2 \left( c,d \right) + T^* \left( D_1 \left( a,b \right) .c \right) + D_2 \left( a,b \right) . d.
\end{equation}
با در نظر گرفتن دو نگاشت 
$$ d_1 = q^*_A \; o \; D \; o \; q_A = D_1 \; o \; q_A : A \rightarrow A^* $$ 
و 
$$ d_2 = q^*_B \; o \; D \; o \; q_B = D_2 \; o \; q_B : B \rightarrow B^* $$
و با جایگذاری $ b = d = 0 $ در (۳.۱) و $ a = c = 0 $ در (۳.۲) به دست می‌‌آوریم 

$$ d_1 \left( ac \right) = a . d_1 \left( c \right) + d_1 \left( a \right) . c $$
و
$$ d_2 \left( bd \right) = b . d_2 \left( d \right) + d_2 \left(b \right) . d. $$

بنابراین $ d_1 $ و $ d_2 $ مشتق هستند.
همچنین با در نظر گرفتن دوری بودن $ D $ داریم 

$$ \left\langle a , d_1 \left( c \right) \right\rangle + \left\langle c , d_1 \left( a \right) \right\rangle = \left\langle \left( a,0 \right) , D \left( c,0 \right) \right\rangle + \left\langle \left( c,0 \right) , D \left( a,0 \right) \right\rangle  = 0  \;\;\;\; \left(a,c \in A \right) $$
و

$$ \left\langle b , d_2 \left( d \right) \right\rangle + \left\langle d , d_2 \left( b \right) \right\rangle = \left\langle \left( 0,b \right) , D \left( 0,d \right) \right\rangle + \left\langle \left( 0,d \right) , D \left( 0,b \right) \right\rangle  = 0     \;\;\;\;\left( b,d \in B \right) $$
بنابراین   $ d_1 $و $ d_2 $ مشتق‌های دوری هستند.
بنابر فرض، $ \varphi \in A^* $ و $ \psi \in B^* $ وجود دارد به‌طوری‌که $ ‌d_1 = ad_\varphi $  و $ d_2 = ad_\psi. $
یعنی 
$$ D_1 \left( a,0 \right) = a.\varphi - \varphi.a  \;\;\;\; \left(a \in A \right)  $$
و
$$ D_2 \left( 0,b \right) = b . \psi - \psi . b \;\;\;\; \left( b \in B \right) $$
همچنین با استفاده از  (۳.۱)، داریم 
\begin{eqnarray*}
 aT \left( b \right) . \varphi\; -\; \varphi. aT \left( b \right) & = & D_1 \left( aT \left( b \right) , 0 \right) = D_1 \left( \left( a,0 \right) \left( 0,b \right) \right) \\ & = & a. D_1 \left( 0,b \right) \;+\; D_1 \left( a,0 \right) . T \left( b \right) \\ & = & a . D_1 \left( 0,b \right) \;+\; a . \varphi . T \left( b \right)\; -\; \varphi . aT \left( b \right).
\end{eqnarray*}
 بنابراین  
 $$ a . \left( D_1 \left( 0,b \right) \; - \; ad_\varphi \left( T \left( b \right) \right) \right)  =  0 \;\;\;\;\left( a \in A \right). $$
 با توجه به این‌که $ A $ فضای دوگان وفادار دارد، بنابراین
 $$ D_1 \left( 0,b \right) = ad_\varphi \left( T \left( b \right) \right) = T \left( b \right) . \varphi \; - \; \varphi . T \left( b \right).$$                            (3.4)
 بنابر (۳.۳) و (۳.۴) به دست می‌آوریم
 $$ D_1 \left( a,b \right) = D_1 \left( a,0 \right) + D_1 \left( 0,b \right) = ad_\varphi \left( a + T \left( b \right) \right).$$                                      (3.5)
 اگرچه با استفاده از (۳.۱)، (۳.۲) و (۳.۳) برای هر $ b \in B, a \in A  $ داریم
 \begin{eqnarray*}
  D_2 \left( aT \left( b \right) ,0 \right) & = & D_2 \left( \left( a,0 \right) \left( T \left( b \right) ,0 \right) \right) \\ & = & T^* \left( a. D_1 \left( T \left( b \right) , 0 \right) \right)  \\ & + & T^* \left( D_1 \left( a,0 \right) . T \left( b \right) \right) \\ & = & T^* \left( a. D_1 \left( T \left( b \right) , 0 \right) \\ & + & D_1 \left( a,0 \right). T \left( b \right) \right) \\ & = & T^* \left( D_1 \left( aT \left( b \right) , 0 \right) \right)  \\ & = & T^* \left( aT \left( b \right) . \varphi \; - \; \varphi . aT \left( b \right) \right).
 \end{eqnarray*}
 بنابراین دوباره با استفاده از (۳.۲) و (۳.۴) داریم 
 \begin{eqnarray*}
 T^* \left(aT \left( b \right) . \varphi \; - \; \varphi . aT \left( b \right) \right) = D_2 \left( aT \left(( b \right) , 0 \right) \\ =  D_2 \left( \left( a,0 \right) \left( 0,b \right) \right) =T^* \left( a . D_1 \left( 0,b \right) \right) + D_2 \left( a,0 \right) . b \\ = T^* \left( a . \left( T \left( b \right) . \varphi \; - \; \varphi . T \left( b \right) \right) \right) + D_2 \left( a,0 \right) . b.
 \end{eqnarray*}
 در نتیجه 
 $$ D_2 \left( a,0 \right) . b = T^* \left( a . \varphi . T \left(b \right) \; - \; \varphi . aT \left( b \right) \right).$$                                      (3.6)
 به آسانی به‌ دست می‌آوریم
 $$ T^* \left( a . \varphi . T \left( b \right) \; - \; \varphi . aT \left( b \right) \right) = T^* \left( a . \varphi \; - \; \varphi . a \right) . b.$$                                    (3.7)
 حال با استفاده از (۳.۶) و (۳.۷) و با در نظر گرفتن این‌که $ B $ فضای دوگان وفادار دارد، به دست می‌آوریم 
 $$  D_2 \left( a,0 \right) = T^* \left( a . \varphi \; - \; \varphi . a \right).$$                           (3.8)
 حال رابطه‌ی (۳.۳) را برابر با (۳.۸) قرار می‌دهیم و داریم 
 $$ D_2 \left( a,b \right) = D-2 \left( a,0 \right) + D_2 \left( 0,b \right) = T^* \left( ad_\varphi \left( a \right) \right) + ad_\psi \left( b \right)\;\;\;\;\;\left( \left( a,b \right) \in A \times_T B \right)$$                                        (3,9)
 حال ابزار مفیدی برای درونی بودن $ D $ داریم.
 
 فرض کنید که $ \left( a,b \right) \in A \times_T B $ باشد.
 با استفاده از (۲.۱) و (۲.۲) و همچنین (۳.۵) و (۳.۹)، برای هر $ \left( x,y \right) \in A \times_T B $ داریم
\begin{eqnarray*}
 <D \left( a,b \right) , \left( x,y \right) > & = & <D_1 \left( a,b \right) , D_2 \left( a,b \right) , \left( x,y \right) > \\ & = & < D_1 \left( a,b \right) , x > \; + \; < D_2 \left( a,b \right) , y > \\ & = & < \left( a+T \left(b \right) \right) . \varphi - \varphi . \left( a + T \left(b \right) \right) , x > \\ & + & < T^* \left( a . \varphi - \varphi . a \right) + b . \psi - \psi . b , y > \\ & = & < a.\varphi + T \left( b \right) . \varphi , x > + < T^* \left( a . \varphi \right) + . \psi , y >  \\ & - & < \varphi . a + \varphi . T \left( b \right) , x > - < T^* \left( \varphi . a \right) + \psi . b , y > \\ & = & < \left( a.\varphi + T\left( b \right) . \varphi , T^* \left( a.\varphi \right) + b . \psi \right. , \left( x,y \right)> \\ & - & < \left( \varphi . a + \varphi . T \left( b \right) , T^* \left( \varphi . a \right) + \left( \psi . b \right) , \left( x,y \right) > \\ & = & < \left( a,b \right) . \left( \varphi , \psi \right) - \left( \varphi , \psi \right) . \left( a,b \right) . \left( x,y \right) > \\ & = & < ad_\left(\varphi,\psi \right) \left( a,b \right) , \left( x,y \right) > .
\end{eqnarray*}
پس $ D = ad_\left(\varphi , \psi \right)  $  و بنابراین  $ D $ درونی است.
لذا  $ A \times_T B $ میانگین‌پذیر دوری است.
در قضیه‌ی بعدی معکوس قضیه‌ی ۳.۲ را با حذف بعضی از فرضیات اثبات می‌کنیم.
 در حقیقت کلیتی از معکوس قسمت ۴ [,2قضیه‌ی ۴.۱] برای هر جبر باناخ دلخواه است.
 قضیه ۳.۳ : دو جبر باناخ $ A $ و $ B $ و $ T \in hom \left( B , A \right) $ را در نظر بگیرید.
 اگر $ A \times_T B $ میانگین‌پذیر دوری باشد، آن‌گاه $ A $ و $ B $ میانگین‌پذیر دوری هستند.
 اثبات : فرض کنید که $ d_1 : A \rightarrow A^* $ یک مشتق دوری باشد.
 قرار دهید $ D_1 = T_A ^* o d_1 o r_A $، نشان می‌دهیم که $ D_1 : A \times_T B \rightarrow A^* \times B^* $ یک مشتق دوری است.
 به‌وضوح برای هر $ f \in A^* $ و $ \left( a,b \right) \in A \times_T B $ می‌بینیم که
 
$ $ \left( a,b \right) . r_A ^* \left( f \right) = r_A ^* \left( \left( a+T \left(b \right) \right) . f \right) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3 . 10) $ $
 و
$ $ r_A ^* \left( f \right) . \left( a,b \right) = r_A ^* \left( f . \left( a+T \left(b \right) \right) \right).\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;(3 . 11) $ $

با استفاده از (۳.۱۰) و (۳.۱۱)، برای هر $ \left( a_1 , b_1 \right) , \left( a_2 , b_2 \right) \in A \times_T B $ داریم
\begin{eqnarray*}
\left(a_1 , b_1 \right) . D_1 \left( a_2 , b_2 \right) + D_1 \left( a_1 , b_1 \right) . \left( a_2 , b_2 \right)  & = & \left( a_1 , b_1 \right) . [ r_A ^* \left( d_1 \left( a_2 + T \left( b \right) \right) \right) ] \\ & + & [r_A ^* \left( d_1 \left( a_1 + T \left( b_1 \right) \right) \right) ] . \left( a_2 , b_2 \right) \\ & = & r_A ^* [ \left(a_1 + T \left(b_1 \right) \right) . \left(d_1 \left(a_2 \right) + d_1 \left( T \left( b_2 \right) \right) \right) ] \\ & + & r_A ^* [ \left( d_1 \left( a_1 \right) + d_1 \left( T \left( b_1 \right) \right) \right) . \left( a_2 T \left( b_2 \right) \right) ] \\ & = & r_A ^* [d_1 \left( a_1 a_2 \right) + d_1 \left( a_1 T \left( b_2 \right) \right) \\ & + & d_1 \left( T \left( bـ۱  \right) a_2 \right. + dـ۱ \left( T \left( b_1 \right) T \left( b_2 \right) \right) ] \\ & = & r_A ^* \; o \; dـ۱ \left(a_1 a_2 + a_1 T \left( b_2 \right) + T \left( b_1 \right) a_2 + T \left( b_1 b_2 \right) \right) \\ & = &  r_A ^* \; o \; d_1 \; o \; r_A \left( a_1 a_2 + a_1 T \left( b_2 \right) + T \left( b_1 \right) a_2 , b_1 b_2 \right) \\ & = &  D_1 \left( \left( a_1 , b_1 \right) \left( a_2 , b_2 \right) \right).
\end{eqnarray*}
بنابراین $ D_1$ یک مشتق است.
در پایان نشان می‌دهیم که $ D_1$ دوری است.
با توجه به این‌که $ d_1$ مشتق دوری است، برای هر $ \left( a_1 , b_1 \right) , \left( a_2 , b_2 \right) $ داریم 
\begin{eqnarray*}
<D_1 \left( a_1 , b_1 \right) , \left( a_2 , b_2 \right) > \; + \; < D-1 \left( a_2 , b_2 \right) , \left( a_1 , b_1 \right) > & = & < r_A^* \left( d_1 \left( a_1 + T \left( b_1 \right) \right) \right) , \left( a_2 , b_2 \right) > \\ & + & <r_A^* \left( d_1 \left( a_2 + T \left( b_2 \right) \right) \right) , \left( a_1 , b_1 \right) > \\ & = & < d_1 \left( a_1 + T \left( b_1 \right) \right) , \left( a_2 + T \left( b_2 \right) \right) > \\ & + & < d_1 \left( a_2 + T \left( b_2 \right) \right) , \left( a_1 + T \left( b_1 \right) \right) > \\ & = & 0,
\end{eqnarray*}
که نشان می‌دهد $ D_1 $ دوری است. 
با توجه به این‌که $ A \times_T B $ میانگین‌پذیر دوری است، لذا $ D_1 $ درونی است.
بنابراین وجود دارد  $ \varphi_1 \in A^* $ و $ \psi_1 \in B^* $ به‌طوری‌که $ D_1 = ad \left( \varphi_1 , \psi_1 \right) $. در نتیجه برای هر $ a \in A $ 
$$ D_1 \left( a , 0 \right) = \left( a , 0 \right) . \left( \varphi_1 , \psi_1 \right) - \left( \varphi_1 , \psi_1 \right) . \left( a , 0 \right).$$
با استفاده از این برابری با (۲.۱) و (۲.۲) داریم 
$$ D_1 \left( a ,0 \right) = r_A^* \left( d_1 \left( a \right) \right) = \left( a . \varphi_1 - \varphi_1 . a , T^* \left( a . \varphi_1 - \varphi_1 . a \right) \right).\;\;\;\;\;(3 . 12)$$
همچنین برای هر $ \left( c ,d \right) \in A \times_T B $ داریم 
\begin{eqnarray*}
<r_A^* \left( d_1 \left( a \right) \right) , \left( c , d \right) > & = & < d_1 \left( a \right) , c + T \left( d \right) > \\ & = & < d_1 \left( a \right) , c > + < T^* \left( d_1 \left( a \right) \right.) , d > \\ & = & < \left( d_1 \left( a \right) , T^* \left( d_1 \left( a \right) \right) \right) , \left( c , d \right) >.
\end{eqnarray*} 
بنابراین 
$$ r_A^* \; o \; d_1 \left( a \right) = \left( d_1 \left( a \right) , T^* \left( d_1 \left( a \right) \right) \right). \;\;\;\;\;\;\;( 3 . 13) $$
حال برابری (۳.۱۲) و (۳.۱۳) نشان می‌دهند که $ d_1 = a d_\varphi_1 $ و بنابراین $ d_1 $ دوری است.
لذا $ A $  میانگین‌پذیر دوری است.
  به طور مشابه نشا می‌دهیم که $ B $ میانگین‌پذیر دوری است.
فرض کنید $ d_2 : B \rightarrow B^* $ یک مشتق دوری باشد و قرار دهید $ D_2 = p_B^* \; o \; d_2 \; o \; p_B $.
به وضوح می‌بینیم که برای هر $ \left( a , b \right) \in A \times_T B $ و $ g \in B^* $ 
 $$ \left( a , b \right) . p_B^* \left( g \right) = p_B^* \left( b . g \right) \;\;\;\;\;\;\;و\;\;\;\;\;\;\;p_B^* \left(g \right) . \left( a , b \right) = p_B^* \left( g . b \right).$$
 حال در مباحثی به طور مشابه اثبات می‌کنیم قسمتی را که نشان می‌دهد $ D_2 : A \times_T B \rightarrow A^* \times B^* $ یک مشتق دوری است.
 این مطلب نشان می‌دهد که $ \varphi_2 \in A^* $ و $ \psi_2 \in B^* $ وجود دارند به‌طوری‌که $ D_2 = ad_\left( \varphi_2 , \psi_2 \right)$.
 با استفاده از (۲.۱) و (۲.۲)، برای هر $ b \in B $ داریم
 $$ D_2 \left( 0 , b \right) = < \left( T \left( b \right) . \varphi_2 - \varphi_2 . T \left( b \right) , b . \psi_2 - \psi_2 . b \right).$$
 بنابراین برای هر $ b , d \in B $ 
 \begin{eqnarray*}
 < D_2 \left( 0 , b \right) , \left( 0 , d \right) > & = & < \left( T \left( b \right) . \varphi_2 - \varphi_2 . T \left( b \right), b . \psi_2 - \psi_2 . b \right) , \left( 0 , d \right) > \\ & = & < T \left( b \right) . \varphi_2 - \varphi_2 . T \left( b \right) . 0 > \; + \; < b . \psi_2 - \psi_2 . b , d > \\ & = & < b . \psi_2 -\psi_2 . b , d >
 \end{eqnarray*}
 از طرف دیگر بنابر تعریف $ D_2 $ داریم 
 $$ < D_2 \left( 0 , b \right) , \left( 0 , d \right) > = \left( d_2 \left( b \right) , d \right).$$
 در نتیجه
 $$ d_2 \left( b \right) = b . \psi_2 - \psi_2 . b. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( b \in B \right) $$
 این نشان می‌دهد که 
 $$ d_2 = ad_\psi_2,$$
 لذا $ d_2 $ درونی است.
 بنابراین $ B $ میانگین‌پذیر دوری است.
 پایان مقاله اول