\documentclass[11pt]{report}
%---More than one Author with different Affiliations---------
%\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{authblk}
%-------------------------------------------------------------
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\thepage}
\rhead{\rightmark}
\cfoot{}
\newlength\FHoffset
\setlength\FHoffset{0.5cm}
\addtolength\headwidth{2\FHoffset}

\fancyheadoffset{\FHoffset}

\newenvironment{fminipage}%
	{\begin{Sbox}\begin{minipage}}%
			{\end{minipage}\end{Sbox}\fbox{\TheSbox}}
\usepackage{epsfig,graphicx,subfigure}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amsfonts}
\allowdisplaybreaks
\usepackage{color,xcolor}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{setspace}\doublespacing
%\usepackage[top=40mm, bottom=30mm, left=25mm, right=35mm]{geometry}
\usepackage[top=30mm, bottom=25mm, outer=2.5cm, inner=5cm, heightrounded, marginparwidth=3.5cm, marginparsep=1cm]{geometry}
\usepackage[small,bf]{caption}
\usepackage{float}
\usepackage[noadjust]{cite}
		\usepackage{tocbibind}
		\usepackage{tkz-graph}
		\usepackage{multirow}
%********************************
%\oddsidemargin 0mm
%\evensidemargin 0mm
%\topmargin -15mm %   \headheight 0pt   \headsep 0pt
%\footheight% 14pt  \footskip 40pt
%\textheight 26.cm
%\textwidth 17cm
%\marginparsep=0pt
%********************************
\usepackage[pagebackref=false,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}%The package hyperref provides LaTeX the ability to create hyperlinks within the document
\font\myfont=cmr12 at 12pt
%\fancyheadoffset[RE,LO]{0\textwidth}
%\pagenumbering{arabic} \setcounter{page}{1}
%\date{}

\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.1]{Yas}
\setlatintextfont[Scale=1.1]{Times New Roman}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=2]{IranNastaliq}
\renewcommand\proofname{\textbf{برهان}}	
\renewcommand{\bibname}{مراجع}
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\newtheorem{thm}[definition]{قضیه}
\newtheorem{Conjecture}[definition]{حدس}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{prop}[definition]{گزاره}
\newtheorem{cor}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{Claim}[definition]{ادعا}
\newtheorem{con}[definition]{حدس}
\newtheorem{exam}[definition]{مثال}
\newtheorem{exercise}[definition]{تمرین}
\newtheorem*{note}{نکته}
\newtheorem{prob}[definition]{قرارداد}
\newtheorem{proper}[definition]{ویژگی}
\newtheorem{Rem}[definition]{تعمیم}
\newtheorem{tab}[definition]{تبصره}
\newtheorem{rem}[definition]{تذکر}
\newtheorem*{nem}{نماد گذاری}
\newtheorem*{taz}{تذکر}
\newenvironment{solv}{{\bf حل.} \rm }{\hfill{$\Box$}}
\begin{document}
\chapter{عنوان فصل}
\section{سری فوریه}
در 
\marginpar{
	{\scriptsize	مباحث مورد نیاز فصل.\\
		برای یادگیری این فصل، داشتن دانش کافی از توابع متعامد (فصل 1) و روابط آن‌ها توصیه می‌شود. همچنین، دانش مقدماتی از اعداد مختلط پیش نیاز بخش 2-6 است. در بخش 2-7، از معادلات دیفرانسیل معمولی با ضرایب ثابت استفاده خواهد شد که در پیوست 2 آمده است.
		
		نگاهی به فصل.\\
		سری فوریه که در بخش‌های 2-1 تا 2-4 ارائه شده است، بسط یک تابع با استفاده از توابع متعامد سینوسی و کسینوسی است که نمی‌توان اهمیت آن را در مباحث مختلف مهندسی نادیده گرفت.
		
		بخش‌های 2-5 و 2-8 تا 2-10 از کتاب شامل  اثبات روابط اساسی و خصوصیات تئوری سری فوریه است که می‌توان از آن‌ها صرف نظر کرد بدون آنکه خللی در پیوستگی مطالب ایجاد گردد. با این حال، مطالعه آن به دانشجویان تحصیلات تکمیلی توصیه می‌شود. بخش 2-6 اثبات قضیه سری فوریه است و در بخش 2-7 ارتعاشات اجباری سیستم‌های مکانیکی یا الکتریکی و بکارگیری اصل برهم‌نهی جواب‌ها در حل آن‌ها مورد مطالعه قرار خواهد گرفت.}
}
ریاضیات پایه با سری‌های مختلفی از جمله سری تیلور، سری مک لوران، سری لورانت و$\dots$
آشنا شده‌اید. همانند سری تیلور، سری فوریه نیز نوعی از بسط تابع است. در سری تیلور، تابع با استفاده از توابع 
$  (n=0, 1, 2, \dots) \, x^n$
گسترش می‌یابد، درحالیکه برای بسط یک تابع به کمک سری فوریه، از توابع متعامد
$ \sin \frac{n \pi x}{l} $
و
$ (n=0, 1, 2, \dots) \, \cos \frac{n \pi x}{l} $
استفاده می‌شود. بنابراین می‌توان تابع 
$ f(x) $
را به صورت رابطه 
\eqref{equ 1}
بسط داد که $l$ نصف طول بازه‌ای است که تابع در آن ناحیه تعریف شده است.
\begin{equation}\label{equ 1}
f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \left(a_n \cos\frac{n \pi x}{l}+ b_n \sin \frac{n \pi x}{l}  \right) 
\end{equation}
با توجه به رابطه‌ی ارائه شده برای سری فوریه به وضوح می‌توان دریافت که سری فوریه برای توابعی که در بازه‌ی محدودی تعریف شده‌اند نوشته می‌شود. اما، این سؤال پیش می‌آید که آیا می‌توان سری فوریه را برای هر تابع دلخواه و در بازه‌ی دلخواه و محدود نوشت؟\\
برای پاسخ به این سؤال لازم است مروری بر مفاهیم توابع متناوب و پیوستگی انجام پذیرد که در بخش
\ref{sec 1.2}
به آن خواهیم پرداخت.\\
با مطالعه این کتاب تا حدودی با کاربرد سری فوریه به‌عنوان مناسب‌ترین بسط در حل مسائل ریاضیات مهندسی و ریاضیات پیشرفته آشنا خواهید شد. در حقیقت با اطمینان می‌توان گفت که سری‌های فوریه  پایه و اساس توصیف بسیاری از پدیده‌های فیزیکی مهم در زمینه‌های مختلف مانند ارتعاشات مکانیکی، انتقال حرارت، فیزیک نور و پردازش سیگنال است.\\
اهمیت سری‌های فوریه ریشه در عملکرد ریاضیدان مشهور فرانسوی ژوزف فوریه دارد که ادعا می‌کرد که هر تابعی که در بازه‌ای محدود تعریف شده باشد دارای یک بسط از مجموع توابع سینوسی و کسینوسی است. هدف از این فصل بررسی صحت ادعای فوریه و استخراج خواص اصلی آن و هموار نمودن راهی جهت درک بهتر مطالب فصل‌های آینده است.
\section{توابع متناوب}\label{sec 1.2}
در این بخش، برخی از مفاهیم اساسی که برای درک تئوری سری فوریه نیاز است توضیح داده خواهد شد. تابع 
$ \sin x $
را که نمودار آن در شکل
\ref{label}
نشان داده شده است در نظر بگیرید. از آنجا که مقادیر این تابع به ازای هر 
$2 \pi $
تکرار می‌شود، نمودار فوق با تکرار هر بخش دلخواه به طول 
$ 2 \pi $
از نمودار در طول محور $x$ ایجاد می‌شود. این حالت تناوبی به صورت رابطه 
\eqref{equ 2} 
به ازای تمام مقادیر $x$ بیان می‌شود.
\begin{equation}\label{equ 2}
\sin x= \sin (x+ 2 \pi)
\end{equation}
به طور کلی، برای تابع 
$ f(x) $ 
که به ازای هر $T$ واحد بر روی محور $x$ها تکرار می‌شود رابطه 
\eqref{equ 3}
برقرار است که $T$ را دوره تناوب تابع 
$ f(x) $ 
می‌نامند.

\begin{equation}\label{equ 3}
f(x)=f(x+T) 
\end{equation} 	
با توجه به شکل 
\ref{label}،
مقدار 
$ 2 \pi $
کوچکترین دوره تناوب تابع 
$\sin x $
است، زیرا این تابع به ازای هر 
$ (n= 1, 2, \dots) \, 2n \pi $
تکرار می‌شود. به کوچکترین دوره تناوب یک تابع دوره‌ی تناوب اصلی می‌گویند. بنابراین می‌توان رابطه‌ی 
\eqref{equ 3}
را به صورت کلی‌تر با رابطه‌ی
\eqref{equ 7}
جایگزین نمود.
\begin{equation}\label{equ 7}
f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=\dots=f(x+nT)
\end{equation}
به عنوان یک نتیجه، برای تعریف یک تابع با دوره‌ی تناوب $T$، کافی است تابع را در بازه‌ی دلخواهی به طول $T$ تعریف کرد.

\begin{exam}\label{exam 1}
	\hrule
	\vspace*{0.1cm}
	توصیف توابع متناوب
	\vspace*{0.1cm}
	\hrule
	\vspace*{0.25cm}
	در شکل
	\ref{label}
	یک تابع با دوره‌ی تناوب 2 نشان داده شده است. نشان دهید تابع فوق با تعریف در دو بازه‌ی دلخواه قابل توصیف است.
\end{exam}

\end{document}