\documentclass[openany,twocolumn]{book}
%^\usepackage{setspace}\doublespacing

%\input{printcmd}
\input{cmdgraph}





\makeatletter
\@ifundefined{Umathcode}{\let\Umathcode\XeTeXmathcode}{}
\@ifundefined{Umathchardef}{\let\Umathchardef\XeTeXmathchardef}{}
\renewcommand{\@makefntext}[1]{\parindent 1em
   \noindent\hbox to 1em{}% if you want to indent footnote text you can change the width of the hbox (e.g. \hbox to 2em{})
   \llap{\if@RTL\else\latinfont\fi\@thefnmark\space}#1}
   \renewcommand\theequation
{\@arabic\c@equation}
\@addtoreset{equation}{section}

\makeatother


\begingroup\lccode`~=`< \lowercase{\endgroup
 \protected\def~}{\ifmmode<\else\expandafter\mybf\fi}%}
\def\mybf#1>{{\textbf{#1}}}
\AtBeginDocument{
  \catcode`<=\active
}
\let\oldtabular\tabular
\let\endoldtabular\endtabular
\renewenvironment{tabular}{%
\bgroup\renewcommand{\arraystretch}{1.8}\oldtabular}%
{\endoldtabular\egroup}
\graphicspath{{pic/}}
\begin{document}
\baselineskip=.7cm
\setcounter{page}{1}  
\setcounter{chapter}{3}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[LO]{\mbox{بخش} \rightmark/ \thepage}
\fancyhead[RE]{\thepage/\leftmark }
\chapter{مشتق و مشتق گیری}
\includegraphics[width=9cm]{2-1.png}\\
\textbf{نگاهی به آنچه پیش رو داریم}\\
\textbf{
1.2. خط مماس و مشتق \\
2.2. مشتق پذیری و پیوستگی \\
3.2. مشتق عددی\\
4.2. قضایای مشتق گیری از توابع جبری و مشتق مراتب بالاتر\\
5.2. حرکت مستقیم الخط \\
6.2. مشتق به عنوان آهنگ تغییر\\
7.2. مشتق توابع مثلثاتی\\
8.2. مشتق توابع مرکب و قاعده زنجیری \\
9.2. مشتق توابع توانی با نماهای گویا و مشتق گیری ضمنی\\
10.2. آهنگ های وابسته\\
}

مشتق را در بخش 1.2 نخست با بررسی تعبیر هندسی آن به عنوان شیب خط مماس بر نمودار تابع معرفی می‌کنیم. به تابعی که مشتق داشته باشد، تابع مشتق پذیر گفته می‌شود. در بخش 2.2، رابطه‌ی بین مشتق پذیری و پیوستگی را بررسی می‌کنیم. در بخش 3.2، مشتق عددی را برای تقریب مشتق تابع، توسط ماشین حساب ترسیمی، و در بخش های بعد برای تأیید محاسبات مشتق به وسیله نمودار به کار می رود.\\
به کمک عمل مشتق گیری، مشتق محاسبه می‌شود. قضایای مربوط به محاسبه مشتق توابع جبری، در بخش 4.2 بیان و ثابت می‌شوند. در این بخش مشتقات مراتب بالاتر نیز معرفی می‌شوند.\\
بخش 5.2 با تعبیر مشتق به عنوان آهنگ تغییر آغاز می‌شود و سپس کاربرد آن در حرکت مستقیم الخط را بیان می‌کنیم. در بخش 6.2، کاربرد آن را به دیگر زمینه‌ها گسترش می‌دهیم. برای مثال، آهنگ رشد باکتری، کاربردی از مشتق در زیست شناسی است. آهنگ تغییر در واکنش شیمیایی مورد توجه شیمی دانان است. اقتصاددانان، با مفاهیم نهایی همچون، درآمدنهایی، هزینه نهایی و سودنهایی، که همگی آنها آهنگ تعبیر هستند، سروکار دارند.\\
در بخش 7.2، مشتق گیری از توابع مثلثاتی بررسی می‌شود، و در بخش 8.2 قاعده زنجیری را بیان و ثابت می‌کنیم، که ابزار مفیدی برای مشتق گیری از توابع مرکب است. در بخش 9.2 با بهره گیری از قاعده زنجیری، فرمول محاسبه مشتق تابع توانی با نمای گویا را به دست آورده و از توابعی که به صورت ضمنی تعریف می‌شوند، مشتق می‌گیریم. مسائل مربوط به آهنگ های وابسته، از کاربردهای مهم مشتق هستند که در بخش 10.2 بررسی می‌شوند.
\section{خط مماس و مشتق}
بسیاری از مسائل مهم حساب دیفرانسیل وانتگرال، به تعیین خط مماس بر نمودار تابع در نقطه‌ای معین از آن، مربوط می‌شود. این بخش را، با تعریف مفهوم خط مماس، آغاز می‌کنیم.\\
به یاد دارید که در درس هندسه مسطحه، خط مماس بر نقطه از دایره خطی است که دایره را فقط در یک نقطه قطع کند. در حالت کلی، این تعریف برای همه منحنی ها کافی نیست. مثلاً، در شکل 1، خط مماس بر منحنی در نقطه 
$P$، 
منحنی را در نقطه‌ی دیگری مانند 
$Q$ 
قطع می‌کند. برای اینکه تعریفی مناسب از خط مماس بر نمودار یک تابع در نقطه‌ای معین از نمودار برسیم شیب خط مماس در یک نقطه را با استفاده از روش حدگیری تعریف می‌کنیم. سپس، معادله خط مماس توسط شیب آن و نقطه تماس معین می‌شود. تابع 
$f$ 
در 
$x_1$ 
پیوسته است، برای تعریف شیب خط مماس بر نمودار تابع 
$f$ 
در نقطه 
$P(x_1,f(x_1))$، 
فرض می‌کنیم 
$I$ 
بازه بازی شامل 
$x_1$ 
و 
$f_1$ 
بر این بازه تعریف شده باشد. نقطه 
$Q(x_2,f(x_2))$ 
روی نمودار 
$f$ 
را به قسمی در نظر بگیرید که، 
$x_2$ 
نیز متعلق به 
$I$ 
باشد. خط قاطع گذرنده بر 
$P$ 
و 
$Q$ 
را رسم می‌کنیم. هر خط که از دو نقطه بگذرد، خط قاطع نامیده می‌شود. شکل 2، خط قاطع را به ازای مقادیر مختلف 
$x_2$ 
نشان می‌دهد. شکل 3 خط قاطع خاصی را نشان می‌دهد که در آن، 
$Q$ 
طرف راست 
$P$ 
قرار دارد. ولی همان گونه که در شکل 2 می بینید 
$Q$ 
می‌تواند طرف راست یا چپ 
$P$ 
قرار داشته باشد.
\begin{myFig}
\includegraphics[width=12cm]{4-5-3.png}
\end{myFig} 
\bme
(الف) شیب خط مماس بر نمودار 
$f(x)=x^3-3x$ 
در نقطه 
$(x_1,f(x_1))$ 
بیابید. (ب) نقاطی از نمودار را بیابید که، خط مماس در آنها افقی است. به کمک این نقاط، نمودار 
$f$ 
را رسم کنید.
\eme
\bha
(الف) 
\begin{align*}
f(x_1)&=x^3_1-3x_1\\
f(x_1+\Delta x)&=(x_1+\Delta x)^3-3(x_1+\Delta x)
\end{align*}
از (1) داریم: 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
m(x_1)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x_1+\Delta x)^3-3(x_1+\Delta x)-(x^3_1-3x_1)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x^3_1+3x^2_1\Delta x+3x_1(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-3x_1}{\Delta x}\\
&~~~~~~~~~~~\frac{-3\Delta x-x^3_1+3x_1}{~}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{3x^2_1\Delta x+3x_1(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-3\Delta x}{\Delta x}
\end{align*}
چون 
$\Delta\neq0$، 
با تقسیم صورت و مخرج بر 
$\Delta x$، 
به دست می آوریم: 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align}
m(x_1)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}[3x^2_1+3x_1\Delta x+(\Delta x)^2-3]\notag\\
m(x_1)&=3x^2_1-3
\end{align}
(ب): در نقاطی که شیب صفر می‌شود، خط مماس افقی است. 
$m(x_1)=0$ 
قرار می‌دهیم:
\begin{align*}
3x^2_1-3&=0\\
x^2_1&=1\\
x_1&=\pm1
\end{align*}
بنابراین، خط مماس در نقاط 
$(-1,2)$ 
و 
$(1,-2)$ 
افقی است. با تعیین محل این نقاط و نیز چند نقطه‌ی دیگر، نمودار شکل 8 را به دست می آوریم.
\eha
\begin{myjad}
\begin{tabular}{@{}p{8cm}ccc@{}}
\hline
نتیجه 
&~~$t-6$~~&~~$t-2$~~& ~~~~~~~~~~~~~\\
\hline
$v$ 
مثبت و ذره به سمت راست حرکت می‌کند ~~~~~~
&$-$&$-$&$0\leq t<2$\\
$v$ 
صفر است، ذره در حال سکون است 
&$-$&0&$t=2$\\
$v$ 
منفی و ذره به سمت چپ حرکت ‌می‌کند 
&$-$&$+$&$2<t<6$\\
$v$ 
صفر است، ذره در حال سکون است
&0&$+$&$t=6$\\
$v$ 
مثبت و ذره به سمت راست حرکت می‌کند 
&$+$&$+$&$6<t$\\
\hline
\end{tabular}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\end{myjad}

\bme
(الف) شیب خط مماس بر نمودار 
$f(x)=x^3-3x$ 
در نقطه 
$(x_1,f(x_1))$ 
بیابید. (ب) نقاطی از نمودار را بیابید که، خط مماس در آنها افقی است. به کمک این نقاط، نمودار 
$f$ 
را رسم کنید.
\eme
\bha
(الف) 
\begin{align*}
f(x_1)&=x^3_1-3x_1\\
f(x_1+\Delta x)&=(x_1+\Delta x)^3-3(x_1+\Delta x)
\end{align*}
از (1) داریم: 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
m(x_1)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x_1+\Delta x)^3-3(x_1+\Delta x)-(x^3_1-3x_1)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x^3_1+3x^2_1\Delta x+3x_1(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-3x_1}{\Delta x}\\
&~~~~~~~~~~~\frac{-3\Delta x-x^3_1+3x_1}{~}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{3x^2_1\Delta x+3x_1(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-3\Delta x}{\Delta x}
\end{align*}
چون 
$\Delta\neq0$، 
با تقسیم صورت و مخرج بر 
$\Delta x$، 
به دست می آوریم: 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align}
m(x_1)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}[3x^2_1+3x_1\Delta x+(\Delta x)^2-3]\notag\\
m(x_1)&=3x^2_1-3
\end{align}
(ب): در نقاطی که شیب صفر می‌شود، خط مماس افقی است. 
$m(x_1)=0$ 
قرار می‌دهیم:
\begin{align*}
3x^2_1-3&=0\\
x^2_1&=1\\
x_1&=\pm1
\end{align*}
بنابراین، خط مماس در نقاط 
$(-1,2)$ 
و 
$(1,-2)$ 
افقی است. با تعیین محل این نقاط و نیز چند نقطه‌ی دیگر، نمودار شکل 8 را به دست می آوریم.
\eha
\bme
(الف) شیب خط مماس بر نمودار 
$f(x)=x^3-3x$ 
در نقطه 
$(x_1,f(x_1))$ 
بیابید. (ب) نقاطی از نمودار را بیابید که، خط مماس در آنها افقی است. به کمک این نقاط، نمودار 
$f$ 
را رسم کنید.
\eme
\bha
(الف) 
\begin{align*}
f(x_1)&=x^3_1-3x_1\\
f(x_1+\Delta x)&=(x_1+\Delta x)^3-3(x_1+\Delta x)
\end{align*}
از (1) داریم: 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
m(x_1)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x_1+\Delta x)^3-3(x_1+\Delta x)-(x^3_1-3x_1)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x^3_1+3x^2_1\Delta x+3x_1(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-3x_1}{\Delta x}\\
&~~~~~~~~~~~\frac{-3\Delta x-x^3_1+3x_1}{~}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{3x^2_1\Delta x+3x_1(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-3\Delta x}{\Delta x}
\end{align*}
چون 
$\Delta\neq0$، 
با تقسیم صورت و مخرج بر 
$\Delta x$، 
به دست می آوریم: 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align}
m(x_1)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}[3x^2_1+3x_1\Delta x+(\Delta x)^2-3]\notag\\
m(x_1)&=3x^2_1-3
\end{align}
(ب): در نقاطی که شیب صفر می‌شود، خط مماس افقی است. 
$m(x_1)=0$ 
قرار می‌دهیم:
\begin{align*}
3x^2_1-3&=0\\
x^2_1&=1\\
x_1&=\pm1
\end{align*}
بنابراین، خط مماس در نقاط 
$(-1,2)$ 
و 
$(1,-2)$ 
افقی است. با تعیین محل این نقاط و نیز چند نقطه‌ی دیگر، نمودار شکل 8 را به دست می آوریم.
\eha
\begin{myjad}
\begin{tabular}{@{}p{6cm}cccc@{}}
\hline
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~نتیجه 
&
~~~~~~~~$a$~~~~~&~~~~~$v$~~~~~&~~~~~$s$~~~~~&~~~~~~~~~~~~~~\\
\hline
\baselineskip=.68cm
ذره در مبدأ است. سرعت 0 و در حال افزایش است و تندی در حال افزایش است. 
&
6&0&0&$t=0$\\
\baselineskip=.68cm
ذره در سمت راست مبدأ و به طرف راست در حرکت است. سرعت و تندی در حال افزایش است. 
&$+$&$+$&$+$&$0<t<1$\\
\baselineskip=.68cm
ذره در 2 متری سمت راست مبدأ است و با سرعت 3 متر بر ثانیه به سمت راست حرکت می‌کند. و بنابراین تندی و سرعت تغییری نمی‌کنند.
&0&3&2&$t=1$\\
\baselineskip=.68cm
ذره در سمت راست مبدأ واقع است و به طرف راست در حال حرکت است. سرعت در حال کاهش و تندی در حال کاهش است. 
&$-$&$+$&$+$&$1<t<2$\\
\baselineskip=.68cm
ذره در 4 متری سمت راست مبدأ، و جهت حرکت، از راست به چپ تغییر می‌کند.  سرعت در حال کاهش و تندی در حال افزایش است. 
&$-6$&0&4&$t=2$\\
\baselineskip=.68cm
ذره در سمت راست مبدأ و به طرف چپ در حال حرکت است. سرعت در حال کاهش و تندی در حال افزایش است. 
&$-$&$-$&$+$&$2<t<3$\\
\baselineskip=.68cm
ذره در مبدأ واقع و با سرعت 9 متر بر ثانیه به طرف چپ در حرکت است. سرعت در حال کاهش و تندی در حال افزایش است. 
&$-12$&$-9$&0&$t=3$\\
\baselineskip=.68cm
ذره در سمت چپ مبدأ واقع و به طرف چپ در حرکت است. سرعت در حال کاهش است و تندی در حال افزایش است. 
&$-$&$-$&$-$&$3<t$\\
\hline
\end{tabular}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\end{myjad}
\bme
(الف) شیب خط مماس بر نمودار 
$f(x)=x^3-3x$ 
در نقطه 
$(x_1,f(x_1))$ 
بیابید. (ب) نقاطی از نمودار را بیابید که، خط مماس در آنها افقی است. به کمک این نقاط، نمودار 
$f$ 
را رسم کنید.
\eme
\bha
(الف) 
\begin{align*}
f(x_1)&=x^3_1-3x_1\\
f(x_1+\Delta x)&=(x_1+\Delta x)^3-3(x_1+\Delta x)
\end{align*}
از (1) داریم: 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align*}
m(x_1)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x_1+\Delta x)^3-3(x_1+\Delta x)-(x^3_1-3x_1)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x^3_1+3x^2_1\Delta x+3x_1(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-3x_1}{\Delta x}\\
&~~~~~~~~~~~\frac{-3\Delta x-x^3_1+3x_1}{~}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{3x^2_1\Delta x+3x_1(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-3\Delta x}{\Delta x}
\end{align*}
چون 
$\Delta\neq0$، 
با تقسیم صورت و مخرج بر 
$\Delta x$، 
به دست می آوریم: 
\setlength{\jot}{10pt}
\begin{align}
m(x_1)&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}[3x^2_1+3x_1\Delta x+(\Delta x)^2-3]\notag\\
m(x_1)&=3x^2_1-3
\end{align}
(ب): در نقاطی که شیب صفر می‌شود، خط مماس افقی است. 
$m(x_1)=0$ 
قرار می‌دهیم:
\begin{align*}
3x^2_1-3&=0\\
x^2_1&=1\\
x_1&=\pm1
\end{align*}
بنابراین، خط مماس در نقاط 
$(-1,2)$ 
و 
$(1,-2)$ 
افقی است. با تعیین محل این نقاط و نیز چند نقطه‌ی دیگر، نمودار شکل 8 را به دست می آوریم.
\eha






\end{document}