\addcontentsline{toc}{chapter}{پیوست‌ها}
\chapter{بسط 
$N_c$
بزرگ}
\thispagestyle{empty}
 به علت پیچیدگی پدیده‌هایی که تئوری 
 $QCD$
 توصیف می‌کند ما حتی تخیل یک حل دقیقی از این تئوری را نمی‌توان کرد. 
 $S$
 ماتریس دقیق مربوط  به این تئوری بسیار پیچیده تر از هر چیزی است که ما بتوانیم بنویسیم. بنابراین روش‌های حل تقریبی لازم می‌شوند. یک روش تقریبی تنها زمانی ممکن است که یک پارامتر بسط وجود داشته باشد. اما پارامتر بسط 
 $QCD$
 چیست؟ ثابت جفت شدگی 
 $g$
 در 
 $QCD$
 یک پارامتر آزاد نیست زیرا از نظر گروه بازبهنجارش
  \LTRfootnote{renormalization group}
  ، این پارامتر وابسته به انرژی می‌شود. این مهمترین چیزی است که این تئوری را مشکل می‌سازد. 
  
  اولین بار 
  $'t Hooft$
  پیشنهاد کرد که ما باید 
  $QCD$
  را از سه رنگ با گروه پیمانه‌ای 
  $SU(3)$
  به 
  $N$
  رنگ به گروه پیمانه‌ای 
  $SU(N)$
  تعمیم دهیم. امید است که در حد 
  $N$
  بزرگ تئوری ساده شود و اینکه 
  $N=3$
  به صورت  کیفی نزدیک به تئوری 
  $N_c$
  بزرگ
  باشد. همچنان که 
  $N$
  بزرگ می‌شود یک بسط سیستماتیک از توان‌های 
  $\dfrac{1}{N}$
  بوجود می آید. همچنین این بسط پدیده های هادرونی مشهور فیزیکی مثل پدیده
  $OZI$
  را تایید می‌کند و نشان می‌دهد که یک بسط برحسب 
  $\dfrac{1}{N}$
  ممکن است یک تقریب خوب در 
  $\dfrac{1}{N}=\dfrac{1}{3}$
  باشد. شاید جالبترین نتایج این رهیافت به شرح زیر باشد:
  
  $\bullet$
  در یانگ میلز تئوری در 
  $N=\infty$
  مزونها و گلوئونها آزاد، پایا و غیر برهمکنشی هستند. 
  
  $\bullet$
  دامنه واپاشی مزونها از مرتبه 
 $\dfrac{1}{\sqrt{N}}$
 و دامنه پراکندگی کشسان مزون-مزون از مرتبه 
 $\dfrac{1}{N}$
 هستند.
 
  $\bullet$
  اکثریت این دامنه های کشسان توسط جمع نمودارهای درختی که ذرات واسطه در این نمودارها مزونها هستند، می‌باشند. 
  
   $\bullet$
  به علاوه قانون 
 $Zweig's$
 در 
 $N=\infty$
 دقیق است. 
 
  $\bullet$
   مزونها تنها با ساختار
 $q\bar{q}$
 وجود دارند (به جای مثلا 
 $q\bar{q}q\bar{q}$).

\subsection*{نمودارهای فایمن برای تئوری 
$N_c$
بزرگ
\cite{21thesis}
}
 در این قسمت ابتدا ترکیباتی از نمودارهای فایمن در 
 $N_c$
 بزرگ
 را مرور می‌کنیم و در قسمت بعد نتایج فیزیکی که از این ترکیبات بدست می آیند را بحث می‌کنیم. در 
 $N_c$
 بزرگ تعداد رنگهای بسیاری ( 
 $N$
 تا)
 وجود دارد. بنابراین میدان گلوئون، 
 $A_{\mu j}^{i}$
  یک ماتریس 
 $N\times N$
 است که 
 $N^2$
 مولفه دارد ( در واقع 
 $N^2 -1$
 اما در 
 $N$
 بزرگ از این اختلاف صرفنظر می‌کنیم).  همچنین کوارک و آنتی کوارک 
 $q^{i},\bar{q_{i}}$
 هر یک دارای 
 $N$
 مولفه است. پس در 
 $N_c$
 بزرگ تعداد زیادی کوارک و آنتی کوارک و حتی بیشتر از آن تعداد گلوئون وجود دارد. به عنوان مثال انتشارگر گلوئونی با یک تک حلقه را در نظر می‌گیریم. 

  \begin{figure}[h!]
   \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{takloop}
     \caption{پایینترین مرتبه قطبش خلا گلوئون (تمام شکلهای این پیوست با استفاده از مقاله دوم از 
\cite{21thesis}
گرفته شده است.     
     )}\label{glueloop}
\end{figure}
مشخص است که  حتی اگر  رنگ حالت اولیه و نهایی مشخص باشد هنوز 
$N$
احتمال برای  رنگ گلوئون واسطه وجود دارد پس این نمودار یک فاکتور رنگ 
$N$
می‌گیرد. از طرفی یک فاکتور جفت شدگی در هر گره اندرکنشی وجود دارد. اگر ما بخواهیم  این نمودار یک رفتار هموار برای 
$N_c$
 بزرگ داشته باشد باید ثابت جفت شدگی را 
$\dfrac{g}{\sqrt{N}}$
انتخاب کنیم (که 
$g$
ثابت نگه داشته می‌شود ولی 
$N$
بزرگ می‌شود).
\begin{figure}[h!]
   \centering
    \includegraphics[width=.24\textwidth]{g_to_N}
     \caption{فاکتور راس سه گلوئونی}\label{gtoN}
\end{figure}
با این انتخاب، دو فاکتور راس 
$\dfrac{g}{\sqrt{N}}$
با فاکتور ترکیب 
$N$
که از حلقه گلوئونی وارد می‌شود، ترکیب می‌شود و یک رفتار هموار در 
$N_c$
 بزرگ خواهیم داشت (یعنی نمودار مستقل از 
$N$
می‌شود):
\begin{eqnarray}
(\dfrac{g}{\sqrt{N}})^2\times N=g^2.
\end{eqnarray}
پس با نرمالایز کردن ثابت جفت شدگی به 
$\dfrac{1}{\sqrt{N}}$
از واگرایی این نمودار جلوگیری کردیم. پس اگر در هر راس یک فاکتور
$\dfrac{1}{\sqrt{N}}$
وجود دارد، به جهت باقی ماندن در 
$N\rightarrow\infty$
، یک نمودار فایمن باید یک فاکتور ترکیب (ناشی از حلقه ها) به اندازه کافی بزرگ برای جبران فاکتور گره‌ها وجود داشته باشد. بنابراین تنها دسته خاصی از نمودارها فایمن مجاز  می‌شوند که به آنها به اصطلاح نمودارها صفحه ای
\LTRfootnote{planar}
 گفته می‌شود. همه نمودارهای دیگر فاکتور ترکیب کوچکتری دارند و در 
$N_c$
 بزرگ، از بین می‌روند. پس 
$N_c$
 بزرگ، در واقع توسط جمع این نمودارها داده می‌شود.
  
  حالا می‌خواهیم یک تکنیک برای قانون شمارش در 
    $N_c$
 بزرگ،  شرح دهیم. گلوئون 
    $A_{\mu j}^{i}$
    یک اندیس بالا مانند 
    $q^{i}$
    و یک اندیس پایین مانند آنتی کوارک 
    $\bar{q_{i}}$
    دارد. پس می‌توانیم گلوئون را به به عنوان ترکیبی از کوارک- آنتی کوارک،
    $A_{\mu j}^{i}=q^{i}\bar{q_{j}}$