%نام فصل اول خود را جلوی چپتر بنویسید
\chapter{  پیش نیازهاو تعاریف مقدماتی}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% به دستورات زیر دست نزنید
\thispagestyle{empty}
%برای عددی شدن صفحات
\pagenumbering{arabic}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% فصل اول خود را از اینجا شروع کنید
در اين فصل تعاریف و قضایایی از گراف جبری و همریختی را که نقش مهمی در فهم بهتر مطالب دارند، یادآور می‌شویم. فرض ما بر این است که خواننده با مفاهیم جبر پیشرفته آشنایی دارد. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%شروع بخش اول
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{{مفاهیم و قضایایی از گراف جبری}}
\begin{definition}
فرض کنید $I$ ایده‌الی سره از حلقه‌ی $R$ باشد، $V(I)$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم
$$ V(I)=\big\{{\pp}\in\Spec(R): ~~I\subseteq {\pp}\big\}.$$
\end{definition}
\begin{definition}[{\large تکیه‌گاه} ]
فرض کنید $M$ یک $R$-مدول باشد، تکیه‌گاه
$M$
را که با نماد $\Supp(M)$ نمایش می‌دهیم را به صورت زیر تعریف می‌کنیم
$$\Supp(M)=\big\{{\pp}\in \Spec(R): ~~ M_{{\pp}} \neq 0\big\}.$$
\end{definition}
\begin{definition}[{\large ایده‌ال‌های اول وابسته} ]
فرض کنید $M$ یک $R$-مدول باشد، مجموعه ایده‌ال‌های اول وابسته
$M$
را که با علامت $\Ass(M)$ نمایش می‌دهیم، عبارت است از
$$\Ass(M)=\big\{{\pp}\in \Spec(R): \exists x \in M,~~ {\pp}=\Ann_R(x)\big\}.$$
\end{definition}
\begin{lemma}\label{supp}
فرض کنید $M$ یک $R$‌-‌مدول باشد، آنگاه
\begin{enumerate}
\item
$\Supp(M)=\left\{{\pp}\in \Spec(R):~\exists x\in M,~ \Ann_R(x)\subseteq {\pp}\right\}$.
\item
$M\neq 0$
اگر و تنها اگر $\Supp_R(M)\neq \emptyset$.
\item
اگر $M$ یک $R$-مدول با تولید متناهی باشد، آنگاه
$\Supp(M)=V\big(\Ann_R(M)\big)$.
\item
اگر $I$ ایده‌لی از حلقه $R$ (نه لزومأ نوتری) باشد آنگاه
$\Supp(R/I)=V(I)$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
رجوع شود به لم ۲۰ از فصل ۹ در
\cite{sharp}
و تمرین ۱۹ از فصل ۳ در
\cite{atiyah}.
\end{proof}
\begin{definition}[{\large بعد حلقه} ]
بعد حلقه $R$ را با $\dim(R)$ نشان داده و به صورت زیر تعریف می‌کنیم
$$ \dim(R)=\sup\big\{n\in\Bbb N_{\dis 0}:~~ {{\pp}}_0 \varsubsetneq {{\pp}}_1 \varsubsetneq \ldots\varsubsetneq {{\pp}}_n ~, ~ {\pp}_i \in \Spec(R)~ ;~ i=0,\ldots,n\big\}.$$
\end{definition}
\begin{definition}\label{dimR/I}
فرض کنید $I$ ایده‌الی از حلقه $R$ باشد، بُعد $I$ که با $\dim I$ نمایش می‌دهیم را همان $\dim R/I$ تعریف می‌کنیم. یعنی
\begin{align*}
\dim I=\dim (R/I) &=\sup\big\{n\in\Bbb N_{\dis 0}:~~\frac{{\pp}_0}{I }\varsubsetneq \frac{{\pp}_1}{I} \varsubsetneq \ldots\varsubsetneq\frac{{\pp}_n}{I} ~,~ {\pp}_i \in \Spec(R)~ ;~ i=0,\ldots,n\big\}\\
&=\sup\big\{n\in\Bbb N_{\dis 0}:~~I\subseteq {\pp}_0 \varsubsetneq {\pp}_1 \varsubsetneq \ldots\varsubsetneq {\pp}_n\big \}.
\end{align*}
\end{definition}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% شروع بخش دوم
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{{ مفاهیم و قضایایی از جبر همولوژی }}
\begin{definition}[{\large $n$-اُمین مدول همولوژی} ]
یک همبافت
نزولی از $R$-مدول‌ها، یک دنباله از $R$-همریختی‌های
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\bf C}_{\bullet}{:\cdots} \ar[r] & {C_{n+1}}\ar[r]^{d_{n+1}}&{C_n} \ar[r]^{d_n} & C_{n-1} \ar[r] & {\cdots}}
\end{displaymath}
است به طوری که برای هر
$n \in {\Bbb Z}$
داشته باشیم
$d_n o~ d_{n+1} = 0$.
برای هر همبافت نزولی
$\bf {C_{\bullet}}$
و هر
$n \in {\Bbb Z}$
تعریف می‌کنیم
$$B_n({\bf {C_{\bullet}}})=\Ima d_{n+1}~~~~~~~~~~~~~~~~,~~~~~~~~~~~~~~~~~Z_n({\bf C_{\bullet}})=\kernn d_n $$
و $n$-اُمین مدول همولوژی همبافت $\bf C_{\bullet}$ را تعریف می‌کنیم
$$ H_n({\bf{ C_{\bullet}}})=\frac{Z_n(\bf{ C_{\bullet)}}}{B_n(\bf {C_{\bullet}})}\cdot$$
\end{definition}
\begin{definition}[\large $n$-اُمین مدول کوهمولوژی]
یک همبافت صعودی از $R$-مدول‌ها، یک دنباله از $R$-همریختی‌های
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\bf C}^{\bullet}{:\cdots} \ar[r] & {C^{n-1}}\ar[r]^{d^{n+1}}&{C^n} \ar[r]^{d^n} & C^{n+1} \ar[r] & {\cdots}}
\end{displaymath}
است به طوری که برای هر
$n \in {\Bbb Z}$
داشته باشیم
$d^n o~ d^{n-1} = 0$.
برای هر همبافت صعودی
$\bf {C^{\bullet}}$
و هر
$n \in {\Bbb Z}$
تعریف می‌کنیم
$$B^n({\bf {C^{\bullet}}})=\Ima d^{n-1}~~~~~~~~~~~~~~~~,~~~~~~~~~~~~~~~~~Z^n({\bf C^{\bullet}})=\kernn d^n $$
و $n$-اُمین مدول کوهمولوژی همبافت $\bf C^{\bullet}$ را تعریف می‌کنیم
$$ H^n({\bf{ C^{\bullet}}})=\frac{Z^n(\bf{ C^{\bullet)}}}{B^n(\bf {C^{\bullet}})}\cdot$$
\end{definition}
\begin{theo}\label{TH_n}
فرض کنید $T$ یک تابعگون جمعی دقیق از رسته $R$-مدول‌ها به رسته $R'$-مدول‌ها باشد. در این صورت
برای $R$-همبافت‌های ${\bf C_\bullet }$ و ${\bf C^\bullet }$ داریم
\begin{enumerate}
\item
اگر $T$ تابعگونی همورد باشد آنگاه برای هر $n\in \Bbb Z$،
$$H_n(T({\bf C_{\bullet}})) \cong T(H_n({\bf C_{\bullet}})),\quad H^n(T({\bf C^{\bullet}})) \cong T(H^n({\bf C^{\bullet}})).$$
\item
اگر $T$ تابعگونی پادورد باشد آنگاه برای هر $n\in \Bbb Z$،
$$H^n(T({\bf C_{\bullet}})) \cong T(H_n({\bf C_{\bullet}})),\quad H_n(T({\bf C^{\bullet}})) \cong T(H^n({\bf C^{\bullet}})).$$
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{proof}
رجوع شود به قضیه 23 از فصل 8 و قضیه 3 از فصل 11 در
\cite{foxby}.
\end{proof}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%شروع بخش سوم- کافیست دستور \section{•} را بنویسید
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%