\begin{document} \chapter{پراکندگی ناکشسان ژرف DIS و مدل پارتون} \section{معرفی پراکندگی ناکشسان ژرف DIS} اولین و تا کنون قدرتمندترین آزمون برای نظریه QCD اختلالی\LTRfootnote{perturebative Quantom ChromoDynamics}،نقض مقیاس بندی بیورکن\LTRfootnote{Bjorken scaling} در پراکندگی ناکسشان ژرف\LTRfootnote{\textbf{D}eep \textbf{I}nelastic \textbf{S}cattering} لپتون-هادرون میباشد. آزمایش های پراکندگی ناکشسان ژرف لپتون-نوکلئون نقش کلیدی در فهم ساختار هادرون ها بازی می کنند. امروزه تجزیه و تحلیل های تابع ساختار ناکشسان ژرف نه تنها به عنوان یک آزمون دقیق برای نظریه محسوب می شود، بلکه منجر به تعیین توزیع تکانه پاتون ها برای محاسبه سطح مقطع ها در برخوردهای انرژی بالای هادرون ها نیز می شود. از آنجایی که درک دقیق مفهوم پراکندگی ناکشسان ژرف در شناخت هر چه بهتر توابع توزیع پارتون موثر است، قبل از هر چیز به طور جداگانه به بررسی مفهوم فیزیکی تعابیری چون کشسان، ناکشسان،ژرف و مقیاس بندی می پردازیم و سپس در بخش های بعدی با در نظر گرفتن سیری تاریخی، پراکندگی ناکشسان ژرف و مدل پارتون را بررسی خواهیم کرد. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[scale=.4]{figure1} \end{center} \caption{پراکندگی الکترون-هسته که $p_N$ و $q$ به ترتیب چارتکانه هسته ورودی و فوتون مجازی هستند و $W$ جرم ناوردای سیستم هادرونی خروجی است. سه نمودار پایین تر تصویری از سطح مقطع پراکندگی الکترون-هسته، $ e N \rightarrow e X $ ، می باشند که به صورت تابعی از متغیر مقیاس بندی $x_N=Q^2/2 p_N.q$ ، در سه مقدار مختلف $Q^2$ رسم شده اند. }\label{fig1} \end{figure} \subsection{پراکندگی کشسان الکترون-هسته} برای نمونه پراکندگی باریکه ای از الکترون ها از یک هدف هسته ای با جرم $M_N$ را در نظر بگیرید. پراکندگی با تبادل یک فوتون مجازی صورت می گیرد. شکل \ref{fig1} را ببینید. از آنجایی که فوتون مجازی است، روی پوسته جرمی خود قرار نمی گیرد. یعنی چارتکانه $q$ آن در رابطه $q^2=0$ صدق نمی کند. از طرف دیگر یک ذره واقعی (ورودی یا خروجی) یا یک سیستم،باید روی پوسته جرمی خودش باشد. بنابراین جرم ناوردای $W$ مربوط به سیستم خروجی در شکل \ref{fig1}، رابطه \begin{equation} W^2=(p_N+q)^2=M_N^2+2 p_N . q+q^2 \end{equation}\label{equ1} را برآورده میکند،که $M_N$ و $p_N$ به ترتیب جرم و چارتکانه هسته میباشند.از آنجایی که $q^2$ منفی است،برای سادگی تعریف میکنیم: $Q^2\equiv -q^2.$ طول موج فوتون کاوشگر $\lambda \sim 1/Q$ است. اگر انرژی الکترون را افزایش دهیم به گونه ای که فوتون کاوشگر، طول موج کوچک و کوچکتر $\lambda$ را داشته باشد، چه اتفاقی می افتد؟ با $\lambda \gg R_N$ آغاز میکنیم که $R_N$ شعاع هسته است.در این حالت فوتون یک هسته نقطه ای را میبیند و پراکندگی کشسان الکترون-هسته با $W=M_N$ را خواهیم داشت.بنابراین از رابطه \ref{equ1} نتیجه میشود که \begin{equation} x_N\equiv \frac{Q^2}{2 p_N.q}=\left(\frac{Q^2}{2 M_N \nu}\right)_{lab}=1 \end{equation}\label{equ1-2} که $\nu$ انرژی از دست رفته الکترون است. اولین نمودار از سه از سه نمودار رسم شده در شکل \ref{fig1} متناظر با این حالت است. اگر $Q$ را تا $\lambda \sim R_N$ افزایش دهیم ، ممکن است سیستم خروجی یک حالت هسته ای برانگیخته باشد. در این حالت $W>M_N$ و $x_N<1$ خواهد بود (نمودار دوم در شکل \ref{fig1}) . \subsection{پراکندگی ناکشسان ژرف الکترون-هسته} اگر $\lambda \ll R_N$ باشد؛ ممکن است فوتون کاوش عمیقی درون هسته داشته باشد. در این صورت پراکندگی ناکشسان ($W^2 \gg M_N^2$) ژرف ($Q^2 \gg M_N^2$) الکترون-هسته را خواهیم داشت. و الکترون می تواند از یکی از اجزای سازنده هسته (برای مثال پروتون) پراکنده شود. بر حسب $x_N$ ، پیک پراکندگی کشسان الکترون-پروتون در \begin{equation} x_N=\frac{M}{M_N}\left(\frac{Q^2}{2 M \nu}\right)_{lab}=\frac{1}{A}, \end{equation} رخ خواهد داد، اما به دلیل تکانه فرمی پروتون مقید در هسته، مغشوش خواهد بود (نمودار سوم در شکل \ref{fig1}). توجه داشته باشید که $M$ جرم پروتون و $A$ تعداد نوکلئون ها در هسته است. ناحیه زیر پیک که به عنوان تکانه فرمی مشخص شده است، تعداد پروتون ها در یک هسته را می دهد. کاهش پیک کشسان $eN$ با افزایش $Q^2$ ، نشان دهنده شانس کوچک $A-1$ نوکلئون تماشاچی است که در جهت پروتون پس زده شده خروجی حرکت می کنند، تا هسته اولیه شکل خود را باز یابد. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[scale=.3]{figure2} \end{center} \caption{ تصویر طرح واری از پراکندگی ناکشسان ژرف الکترون-پروتون به صورت تابعی از متغیر مقیاس بندی بیورکن $x\equiv Q^2/2 p.q$ .اگر پروتون تنها از سه کوارک ظرفیت نقطه گونه ساخته شده بود، منحنی پیوسته، مستقل از $Q^2$ بود. با این حال با افزایش $Q^2$ مشخص می شود که پروتون اجزای سازنده بیشتری دارد که همه باید در تکانه آن سهیم باشد (منحنی فلش دار). }\label{fig2} \end{figure} \subsection{پراکندگی ناکشسان ژرف الکترون- پروتون} فرض کنید که پروتون از اجزای نقطه گونه (کوارک ها) ساخته شده باشد، اگر $Q^2$ را باز هم افزایش دهیم پراکندگی ناکشسان ژرف الکترون-پروتون صورت می گیرد. در این حالت نیز یک سری نمودار ها مشابه آن هایی که در شکل \ref{fig1} نشان داده شده است خواهیم داشت، با این تفاوت که اکنون شعاع پروتون $R$ جایگزین شعاع هسته $R_N$ می شود. همچنین احتمال های پراکندگی اکنون باید بر حسب \begin{equation} x=\left( \frac{Q^2}{2 p.q} \right) , \end{equation}\label{equ1-4} رسم شوند که $p$ چارتکانه پروتون است. منحنی پیوسته در شکل \ref{fig1} است. این نمودار پیک پراکندگی کشسان $eq$ (با در نظر گرفتن تکانه فرمی) را در حدود $x=\frac{1}{3}$ و اثرات پیک کشسان $ep$ را در $x\sim 1$ نشان می دهد. تابع ساختار پروتون $F_2$ در بخش بعدی تعریف می شود. هادرون های $N^{*}$ حالت های برانگیخته پروتون هستند. اگر زیر ساختاری وجود نداشت، این منحنی با افزایش $Q^2$ ثابت باقی می ماند. در حقیقت ما با یک نوع مقیاس بندی رو به رو هستیم؛ پراکندگی تنها به نسبت $Q^2/2 p.q$ بستگی دارد، و نه به دو متغیر $Q^2$ و $p.q$ به طور جداگانه. $x$به عنوان متغیر مقیاس بندی بیورکن شناخته می شود. به طور خلاصه وقتی $Q^2$ افزایش می یابد، در ابتدا مقیاس بندی «هسته ای» با یک پیک در $x_N=1$ داریم. افزایش بیشتر $Q^2$ نقض مقیاس بندی «هسته ای» و مقیاس بندی «پروتون» با پیکی در $x=1$ را به دنبال خواهد داشت. اگر $Q^2$ باز هم افزایش یابد،مقیاس بندی پروتون هم نقض شده و مقیاس بندی «کوارک» با یک پیک در $x\sim \frac{1}{3}$ را خواهیم داشت. اگر کوارک ها نیز دارای زیر ساختاری بودند، با افزایش بیشتر $Q^2$ بار دیگر ناحیه ای را داشتیم که با نقض مقیاس بندی «کوارک» منجر به یک مقیاس بندی جدید می شد. اما به نظر نمی رسد که تاریخ تکرار شود. نقض های مقیاس بندی به نظریه میدان های کوارک ها و گلوئون ها (QCD) با جفت شدگی $\alpha_s$ منتج می شوند. فوتون مشاهده می کند که پروتون از سه کوارک (ظرفیت) و تعداد دلخواهی از جفت های $q\overline{q}$ (که کوارک های دریا را تشکیل می دهند) ساخته شده است. منشأ کوارک های دریا گلوئون ها هستند ($g\rightarrow q\overline{q}$) که خودشان از کوارک ها تابش می شوند. فرض کنید که فوتون یک کوارک را که کسر$ \xi$ از تکانه پروتون $(p)$ را حمل می کند، کاوش کند. بنابراین برای کوارک های بدون جرم داریم: \begin{equation} (\xi_p +q)^2=m_q^2\simeq 0 \, ،\qquad \Longrightarrow \qquad \xi \simeq \frac{Q^2}{2 p.q}=x \end{equation} بنابراین با افزایش $Q^2$ پارتون های (کوارک ها و گلوئون ها) بیشتر و بیشتری آشکار می شوند که باید سهمی از تکانه پروتون مادر را داشته باشند. هر یک از آنها کسر کوچک $\xi =x$ را حمل میکنند و همانگونه که با خط فلش دار در شکل \ref{fig2} نشان داده شده است، نقض های مقیاس بندی را (بعدا خواهیم دید که شکلی لگاریتمی دارد) خواهیم داشت. بحث های مقدماتی در مورد پراکندگی ناکشسان ژرف را میتوان در اغلب کتاب های فیزیک ذرات بنیادی پیدا کرد. برای مثال در مراجع \cite{1--4}. \section{مشاهده پذیر های DIS} \subsection{سطح مقطع پراکندگی} فرآیندDIS ، $ep\longrightarrow eX$، در شکل \ref{fig3} نشان داده شده است. به طور کلی دو نوع فرآیند DIS وجود دارد: یکی (NC-DIS)\footnote{پراکندگی ناکشسان ژرف جریان خنثی} که با تبادل $\gamma$ و $Z$ همراه است و دیگری (CC-DIS) \footnote{پراکندگی ناکشسان ژرف جریان باردار} که با تبادل $W$ همراه است که در نمودار دوم نشان داده شده است. ما درباره مورد اول صحبت خواهیم کرد. به خاطر داشته باشید که منظور ما از ژرف $Q^2\gg M^2$ و از ناکشسان $W^2=(p+q)^2 \gg M^2$ است. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[scale=.5]{figure3} \caption{ پراکندگی ناکشسان ژرف جریان خنثی ($NC$) و جریان باردار ($CC$) که به ترتیب با تبادل $(\gamma,Z)$ و $W$ همراه است. }\label{fig3} \end{center} \end{figure} سطح مقطع NC به صورت \begin{equation} \frac{d\sigma}{dx dy}=xs \frac{d\sigma}{dx dQ^2}=\frac{2 \pi y \alpha^2}{Q^4} \sum_j \eta L_{j}^{\mu \nu} W_{\mu\nu}^j \end{equation}\label{equ1-6} است و جمع روی $j=\gamma,Z,\gamma Z$ زده می شود که به ترتیب نشان دهنده تبادل فوتون، بوزون$Z$ و اشتراک بین این دو است. همچنین داریم : \begin{equation} \eta_\gamma =1 , \qquad \eta_(\gamma Z)=\left(\frac{G_F M_Z^2}{2 \sqrt{2} \pi \alpha}\right) \left(\frac{Q^2}{Q^2 +M_Z^2}\right), \qquad \eta_Z=\eta_(\gamma Z)^2 . \end{equation}\label{1-7} ما اثرات انتشارگرهای $\gamma$ و $Z$ و ثابت جفت شدگی QED $(\alpha)$ و جفت شدگی فرمی $G_F$ را مشاهده میکنیم. علاوه بر $x$ و $Q^2$ که مربوط به رأس هادرونی هستند، یک متغیر ($y \textrm s$) که مربوط به انرژی همه سیستم $ep$ است را نیز داریم \begin{equation} y=\frac{p.q}{p.k}=\left(\frac{\nu}{E}\right)_{lab.frame} , \qquad s=(k+p)^2\simeq \frac{Q^2}{x y} . \end{equation} هم $x$ و هم $y$ باید در بازه $0$ تا $1$ باشند \cite{5}.$L^{\mu\nu}$ تانسور معمولی بر حسب $k$ و $k'$ است که رأس لپتونی را توصیف میکند \cite{6}. $W_{\mu \nu}$تانسور ناشناخته ای است که توصیف گر رأس هادرونی (برهمکنش جریان های الکترو ضعیف با نوکلئونِ هدف) است. \subsection{توابع ساختار} اگرچه $W_{\mu \nu}$ نا شناخته است اما باید از چاربردارهای $p$ و $q$ و تانسور متریک $g_{\mu \nu }$ ساخته شده باشد. برای DIS غیر قطبیده سه شکل تانسور وجود دارد که شرط پایستگی جریان $q^\mu W_{\mu\nu}=q^\nu W_{\mu\nu}$ را براورده میکند. در این مورد شکل کلی $W_{\mu\nu}$ عبارت است از : \\ \begin{align} W_{\mu\nu} &= \left(-g_{\mu\nu}+\frac{q_\mu q_\nu}{q^2}\right) F_1 (x,q^2) +\frac{\widehat{P}_\mu \widehat{P}_{\nu}}{p.q} F_2 (x,Q^2) \notag \\ &- i \epsilon_(\mu \nu \alpha \beta ) \frac{q^\alpha q^\beta}{2 p.q} F_3 (x,Q^2), \end{align}\label{equ1-9} که در آن $\widehat{P}_\mu =P_\mu-(p.q)q_\mu/q^2 $ می باشد. توابع ساختار $F_i(x,Q^2)$ توابعی از دو متغیر مقیاس $x$ و $Q^2$ هستند که می توانند از $p$ و $q$ تشکیل شوند. توجه داشته باشید که آخرین جمله با ساختاری به شکل $q\times p$ ، پاریته را پایسته نگه نمی دارد. بنابر این اگر تبادل $Z$ قابل چشم پوشی باشد، داریم:$F_3=0$ . اگر رابطه کلی \ref{equ1-10} را در \ref{equ1-6} قرار دهیم و از رابطه مربوط به $L_{\mu\nu}^\gamma$ نیز استفاده کنیم، پس از مقداری ساده سازی جبری در حد $M^2/Q^2\rightarrow 0$ که \begin{equation} Y_\pm=1\pm(1-y)^2 \qquad \texttt{ و } \qquad F_L=F_2- 2 x F_1 \end{equation}\label{1-10} به دست می آوریم: \begin{equation} \frac{d\sigma}{dx dQ^2}=\frac{2 \pi \alpha^2}{x Q^4}(Y_+ F_2 \pm Y_- x F_3-y^2 F_L). \end{equation}\label{equ1-11} عبارتی مشابه نیز برای DIS CC (یعنی $e N\longrightarrow \nu X$ یا $\nu N \longrightarrow eX$) برقرار است. برای هر دو فرایند NC و CC ، علامت $-$ برای $Y_-$ ، برای یک $e^+$ یا $\overline{\nu}$ ورودی و علامت $+$ برای یک $e^-$ یا $\nu$ ورودی گرفته می شود. فعلا اجازه دهید تا روی تبادل محض $\gamma$ یعنی $F_3=0$ تمرکز کنیم. بنابراین هنوز هم برای تعیین $F_2$ و $F_L$ به صورت توابعی از $x$ و $Q^2$ نیازمند اندازه گیری بستگی $y$ هستیم. یعنی به انجام آزمایشهای DIS در بازه ای از انرژی های $ep$ نیازمندیم. خواهیم دید که $F_L=F_2-2 xF_1\simeq0$ \footnote{$F_L$ را تابع ساختار طولی می نامند و اندازه گیری آن از اهمیت ویژه ای برخوردار است طوری که اندازه گیری های توابع ساختار، بدون آن کامل نیست. در حقیقت تابع ساختار طولی در QCD اختلالی هرگز صفر نیست. اما ما در اینجا روندی تاریخی را برای ارائه مطالب در نظر گرفته ایم. }. \section{مدل پارتون-کوارک} مدل پارتون توسط ریچارد فاینمن\LTRfootnote{\textbf{R}ichard \textbf{F}eynman} در سال1969 به عنوان راهی برای تجزیه و تحلیل برخورد های انرژی بالا شامل یک یا دو هادرون در حالت اولیه معرفی شد. در همان سال این مدل توسط بیورکن برای پراکندگی ناکشسان ژرف الکترون-پروتون مورد استفاده قرار گرفت. خلاصه مدل پارتون را می توان به این صورت بیان کرد: در انرژی بالا (در چارچوبی که اصطلاحاً چارچوب تکانه نامتناهی نامیده می شود)، به نظر می رسد که هادرون ها از اجزای نقطه گونه و تقریبا آزادی که پارتون نامیده می شوند، ساخته شده اند. مراجع \cite{7--8} را به منظور مطالعه مختصر در مورد مدل پارتون ببینید. \subsection{مقیاس بندی بیورکن و رابطه کالان- گروس} در اواخر دهۀ شصت، بیورکن پش بینی کرد که در انرژی های خیلی زیاد بستگی توابع ساختار ناکشسان به $Q^2$ کمرنگ شده و تنها توابعی از $x$ خواهند شد. به عبارت دقیق تر، او پیشنهاد کرد که در محدوده پراکندگی ناکشسان ژرف،$Q^2$ و $p.q$ هر دو بزرگ اند، ولی نسبت آن ها (رابطه \ref{equ1-4}) چنین نیست. این رفتار به «مقیاس بندی» معروف است و پیامد این حقیقت است که نوکلئون ها از اجزای نقطه گونه ساخته شده اند. ایده اصلی مدل پارتون- کوارک\LTRfootnote{\textbf{Q}uark \textbf{P}arton \textbf{M}odel} نیز این است که در فرآیند DIS ، $ e p \longrightarrow e X $ ، فوتون مجازی با یکی از کوارک های سازنده پروتون برهم کنش می کند. شکل \ref{fig4} را ببینید. ما فرآیند را از چارچوبی مشاهده می کنیم که در آن پروتون خیلی سریع حرکت می کند، طوری که اتساع زمان نسبیتی آهنگ بر هم کنش کوارک ها با یکدیگر را کاهش می دهد. بنابراین کوارک پس زده شده واقعاً در مدت زمان کوتاهی (حدود $1/Q$ ) که با فوتون برهم کنش می کند، آزاد به نظر می رسد. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{figure4} \caption{(الف) DIS از طریق مدل پارتون؛ زیر فرآیند $e q\longrightarrow e q$ در انرژی مرکز جرم. (ب) پراکندگی $eq$ با هلیسیته های برابر (مخالف) با عامل وزن 1 ($(1-y)^2$) ناشی از اثرات تکانه زاویه ای. همچنین زاویه پراکندگی مرکز جرم $\widehat{\theta}$، نشان داده شده است. دقت کنید که برای فرمیون های واقعاً بدون جرم، همه ذرات اندازه سه تکانه $ \vert \vec{k} \vert $ را دارند.} \end{center} \end{figure} به عنوان یک نتیجه، برهم کنش $ep$ میتواند به صورت جمعی گسسته از احتمال های پراکندگی از کوارک های آزاد منفرد نوشته شود \begin{equation} \frac{d\sigma}{dx dQ^2}=\sum_q \int_0^1 \, d\xi f_q(\xi) \left(\frac{d\widehat{\sigma}_eq}{dx dQ^2} \right)\quad,\end{equation}\label{equ1-12} که $ f_q(\xi) $ احتمال یافتن کوارک $q$ در پروتون است که کسر $\xi$ از تکانه پروتون را حمل می کند. سطح مقطع الکترون-کوارک شکلی به صورت \begin{equation} \frac{d\widehat{\sigma}_{eq}}{dx dQ^2}=\frac{2 \pi \alpha^2 e_q^2}{\widehat{s}^2} \left(\frac{\widehat{s} ^2+\widehat{u} ^2}{\widehat{t} ^2}\right) \delta(x-\xi) \end{equation}\label{equ1-15} دارد که $\widehat{s}$ ، $\widehat{t}$ و $\widehat{u}$ متغیر های Mandelstam برای زیرفرآیند $eq\longrightarrow eq$ می باشند و برای آن ها دو دسته از عبارات زیر را داریم: \begin{align*} \widehat{s}=(x p+k)^2 \simeq 2x p \cdot k\simeq x s & s=4 \overrightarrow{k}^2 \\ \widehat{t}=- Q^2 \simeq - x y s & t=-2 \overrightarrow{k}^2 (1- \cos \widehat{\theta}) \\ \widehat{u}=- \widehat{s} - \widehat{t}\simeq -x(1-y)s & u=- 2 \overrightarrow{k}^2 (1+ \cos \widehat{\theta}) \end{align*}\label{equ1-16} که $|\overrightarrow{k}|$ اندازه سه تکانه $e$ و $q$ ، و $\widehat{\theta}$ زاویه پراکندگی در چارچوب مرکز جرم $ep$ است. اگر مجموعه اول را در \ref{equ1-15} قرار دهیم، آنگاه رابطه \ref{equ1-14} به صورت \begin{equation}\frac{d\sigma}{dx dQ^2}=\frac{2 \pi \alpha^2}{Q^4} \sum_q \int_0^1 \, d\xi \, f_q (\xi) e_q^2 [1+(1-y)^2]\delta(x- \xi) ,\end{equation}\label{equ1-17} در می آید. با مقایسه دو مجموعه معادلات ذکر شده برای $\widehat{s}$، $\widehat{t}$ و $\widehat{u}$ می توان رابطه \begin{equation} y= \frac{1}{2} (1- \cos \widehat{\theta})\end{equation}\label{equ1-18} را به دست آورد. طوری که $y=0$ متناظر با پراکندگی رو به جلو، و $y=1$ متناظر با پراکندگی رو به عقب است. اگر $e$ و $q$ هلیسیته مخالف داشته باشند، آنگاه پراکندگی به عقب ($\widehat{\theta}$) به خاطر پایستگی $J_z$ نمی تواند وجود داشته باشد. این موضوع علت ضریب وزن $(1-y)^2$ در شکل \ref{fig4} (ب) است \footnote{این حقیقت که در انرژی های بالا($E \gg m_{fermion}$)، هلیسیته فرمیون در یک رأس بوزون پیمانه ای پایسته می ماند، خود تأیید کننده این نکته است.}. اگر رابطه \ref{equ1-17} را به شکل \begin{equation}\frac{d\sigma}{dx dQ^2}=\frac{2 \pi \alpha^2}{x Q^4} \sum_q \int_0^1 d\xi \, f_q(\xi) e_q^2 x Y_+ \delta(x-\xi) ,\end{equation}\label{equ1-19} بازنویسی کنیم، و سپس آن را با فرمول کلی تابع ساختار \ref{equ1-12} مقایسه کنیم، با فرض تبادل $\gamma$ ، به دست می آوریم: \begin{equation}F_2=2 x F_1=\sum_q \int_0^1 d\xi \, f_q(\xi) x e_q^2 \delta(x-\xi)=\sum_q e_q^2 f_q(x) x \ .\end{equation}\label{equ1-20} اولین تساوی (یعنی $F_L=0$) تحت عنوان رابطه کالان- گروس\LTRfootnote{\textbf{C}allan-\textbf{G}ross} شناخته می شود. و بازتابی از این حقیقت است که اجزاء باردار پروتون دارای اسپین $\frac{1}{2}$ هستند. این رابطه نیز همانند مقیاس بندی بیورکن به صورت تجربی تأیید شده است (شکل \ref{fig5} را ببینید). اگر کوارک ها اسپین صفر داشتند، آنگاه $F_1$ صفر می شد. همچنین توجه داشته باشید که در مدل پارتون- کوارک، توابع ساختار هیچ بستگی به $Q^2$ ندارند. تأیید تجربی مقیاس بندی بیورکن و رابطه کالان- گروس در پراکندگی ناکشسان ژرف، اولین مدرک قانع کننده برای وجود کوارک ها را فراهم آورد \cite{5} . \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[scale=.6]{figure5} \caption{ تأیید تجربی رابطه کالان- گروس. نسبت $2 xF_1/F_2$ بر حسب $x$ برای آزمودن رابطه کالان- گروس رسم شده است که به وضوح برای $ x \geq 0.2 $ به خوبی برقرار است. }\label{fig5} \end{center} \end{figure} \subsection{قواعد جمع} دیدیم که با استفاده از مدل پارتون، می توان تابع ساختار $F_2$ را بر حسب احتمال های $f_q(x)$ بسط داد. قواعد منطقی وجود دارد که این توابع توزیع را مقیّد می سازد. با انتگرال گیری بر روی تابع توزیع یک کوارک، منهای تابع توزیع پادکوارک متناظرش رابطه \begin{equation} \int_0^1 dx\, (f_i(x) -f_{\overline{i}} (x)) = n_i \ \end{equation}\label{1-21}\\ را به دست می آوریم که در آن $n_i$ تعداد کوارک های دارای طعم $i$ یک هادرون است. برای مثال در مورد پروتون داریم: \begin{equation} \int _{0}^1 (u-\overline{u}) \, dx =\int_0^1 u_v =2 \ ,\qquad \int_0^1 (d-\overline{d}) \, dx = \int_0^1 d_v=1 \end{equation}\label{equ1-22} علاوه بر این پایستگی تکانه ما را به سوی قاعده جمع مهم دیگری رهنمون می شود. با جمع روی همه کسر های تکانه پارتون باید تکانه هادرون مادر را به دست آوریم \begin{equation} \sum_{q,\overline{q}} \int_0^1 dx \, x f_i(x)=1 \ . \end{equation}\label{1-23} \subsection{معمای بزرگ و ظهور QCD} اندازه گیری های تابع ساختار می تواند برای مشخص کردن ترکیب طعم کوارکی پروتون مورد استفاده قرار گیرد. از رابطه\ref{equ1-20} داریم: \begin{equation} F_2^{ep}=x \left(\frac{4}{9} u +\frac{1}{9} d+ \frac{1}{9} s+ \dotsb +\frac{4}{9} \overline{u} +\frac{1}{9} \overline{d} +\frac{1}{9} \overline{s}+\dots \right) . \end{equation}\label{equ1-24} با استفاده از ناوردایی ایزواسپین نتیجه می شود که تابع ساختار نوترون به صورت \begin{equation} F_2^{en}=x \left(\frac{4}{9} d +\frac{1}{9} u+ \frac{1}{9} s+ \dotsb +\frac{4}{9} \overline{d} +\frac{1}{9} \overline{u} +\frac{1}{9} \overline{s}+ \dots \right) . \end{equation}\label{equ1-25} است. می توان روابطی مشابه را برای مورد CC DIS به دست آورد. برای فرآیند های $ e p \longrightarrow \nu X $ خواهیم داشت: \begin{equation} \frac{d\sigma (e^\pm )}{dx dQ^2}= \frac{G_F^2}{2 \pi x} \left( \frac{M_W^2}{Q^2+M_W^2}\right)^2 \left( Y_+ F_2^W \mp Y_- x F_3^W - y^2 F_L^W \right ) \end{equation}\label{1-26} اجازه دهید که $e^- p \rightarrow \nu X$ (یا $\overline{\nu} p \rightarrow e^+ X$) را بررسی کنیم. در این مورد زیر فرآیند های اصلی عبارتند از : $$ e^- u\rightarrow \nu d \ , \qquad @ \texttt{با هلیسیته های مشابه} \\ e^- \overline{d} \rightarrow \nu \overline{u} \ , \qquad @ \texttt{با هلیسیته های مخالف}$$ \label{1-27} اکنون با ئر نظر گرفتن $Y_\pm =1\pm (1-y)^2$ و استفاده از نمودار های هلیسیته شکل \ref{fig4} (ب) نتیجه می شود که $$ F_2^(W^-) =2 x (u+\overline{d}+c+\overline{s} \dotsb) , \quad x F_3^(w^-) =2 x (u-\overline{d}+c-\overline{s} \dotsb)$$\label{1=28} برای $e^+ p \rightarrow \overline{\nu} X$ و($ \overline{\nu} p \rightarrow e^+ X$) توابع ساختار با جا به جایی طعم $d\leftrightarrow u$ و $s\leftrightarrow c$ به دست می آیند، در حالی که تابع ساختار برای نوترون از جابه جایی طعم $u\leftrightarrow d$ در تابع ساختار پروتون به دست می آید.بنابراین در $x$ بزرگ که توزیع کوارک ظرفیت غالب است، داریم: $$ \sigma^(CC) (e^- p) \sim x u_v , \qquad \sigma^(CC) (e^+ p)\sim (1-y)^2 x d_v .$$ \label{1-29} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[scale=.6]{figure6} \caption{ یک ترسیم تاریخی از داده های $NC DIS$ و داده های هدف ثابت میون نوترینو $CC DIS$ مربوط به SLAC که مطابقت خوبی با روابط \ref{equ1-30} و \ref{equ1-31} مدا پارتون- کوارک دارد. اما همچنین نشان می دهد که تنها $50$ از تکانه پروتون توسط کوارک ها حمل می شود.}\label{fig6} \end{center} \end{figure} مقایسه $F_2(N)=(F_2^p + F-2^n)/2$ برای NC DIS و CC DIS می تواند اطلاعات مفیدی را در پی داشته باش. برای NC از روابط \ref{equ1-24} و \ref{equ1-25} داریم: $$F_2^\gamma (eN) = \frac{5}{18} x (u+\overline{u}+d+\overline{d}+ \dotsb ) .$$\label{equ1-30} در حالی که برای فرآیند های CC، $\nu N \longrightarrow \mu X$ ،از \ref{1-27} نتیجه می شود که $$F_2^W (\nu N)=x (u+\overline{u}+d+\overline{d}+ \dotsb ) .$$\label{equ1-31} یک مقایسه آزمایشگاهی از داده های DIS در اوایل سال $1970$ در شکل \ref{fig6} نشان داده شده است.مطابقت بسیار خوب نتایج با روابط مدل پارتون - کوارک آشکار است، اما ناحیه زیر منحنی $$\int_0^1 F_2(\nu N) \, dx=\int_0^1 \sum_(i=q,\overline{q}) x f_i (x) \, dx \simeq 0.5$$ \label{equ1-32} نشان می دهد که تنها $50$از تکانه پارتون ها توسط کوارک ها حمل می شود.این مسئله اولین مدرک (غیر مستقیم) برای وجود مؤلفه گلئونی پروتون را فراهم نمود \cite{5} . قبل از ظهور QCD یک «معمای بزرگ» وجود داشت. در DIS ،کوارک پس زده شده در عمل به گونه ای رفتار می کند که گویی کاملاََ در پروتون آزاد است. اما هنوز چنین چیزی (کوارک آزاد) دیده نشده است. اهمیِِّت ندارد که برخورد چقدر سخت باشد؛ یک کوارک آزاد هرگز قابل مشاهده نیست بلکه داخل پروتون محبوس است. به عبارت دیگر درست است که آنها در برهم کنش با فوتون مجازی همانند ذرات آزاد رفتار می کنند، اما در مقیاس زمانی طولانی تر به وضوح آزاد نیستند. بنابراین این ایده که کوارک ها در داخل پروتون آزادند،کاملاََ درست نیست. اما این سؤال همچنان مطرح است که چه چیزی بقیه تکانه پروتون را حمل می کند؟ پاسخ: گلوئون ها. زیرا آن ها بدون بارند،پس در پراکندگی الکترون- پروتون سهمی ندارند، اما قسمتی از تکانه پروتون را حمل می کنند (محتوای کوارکی پروتون حتی از این هم پیچیده تر است، زیرا گلوئون ها می توانند زوج های کوارک- پادکوارک تولید کنند). بنابراین ما باید بر هم کنش های کوارک ها و گلوئون ها (QCD) را بپذیریم و ببینیم تا چه اندازه توصیف مدل پارتون- کوارک از DIS را بهبود می بخشد. در فصل بعد خواهیم دید که QCD برای حل این معمای بزرگ وارد می شود و توضیحی برای حبس شدگی کوارکی پیشنهاد می کند. \subsection{توابع توزیع پارتون (PDFs) ها در یک نگاه} دیدیم که چگونه با استفاده از مدل پارتون می توان بر هم کنش های انرژی بالا شامل هادرونها در حالت اولیه را بر حسب زیر فرآیند ها شامل پارتن های نقطه گونه توصیف کرد. به منظور ایجاد ارتباط بین نتایج مقیاس پارتون و مقیاس پروتون، باید شار پارتون های ورودی را بدانیم. این شار می تواند بر حسب توابع توزیع پارتون \footnote{\textbf{P}arton \textbf{D}istribution \textbf{F}unctions} بیان شود.تابع توزیع پارتون $f_i(\xi)$ عبارت است از چگالی تعداد پارتون های دارای طعم $i$ که کسر $\xi$ از تکانه هادرون مادر را حمل می کنند ( یا به عبارت دیگر، $f_i(\xi) \, d\xi$ عبارت است از تعداد پارتون هایی که کسر تکانه ای در بازه $[\xi,\xi+d\xi]$ را حمل می کنند). مدل پارتون تعمیم یافته QCD\footnote{QCD-improved parton model} ، که با اعمال تصحیحات QCD بر مدل پارتون به دست می آید، با تکیه بر نظریه های فاکتور گیری \footnote{factorization theoremes} ، چارچوبی را که در آن تقریباََ همه سطح مقطع ها در بر خورد دهنده های انرژی بالای کنونی محاسبه می شوند، فراهم می کند.نظریه های فاکتور گیری بیان می کنند که دسته عظیمی از سطح مقطع های فیزیکی میتوانند به قسمت های مسافت کوتاه \footnote{short distance} و PDF های شامل فیزیک مسافت بزرگ\footnote{long distance} تقسیم شوند.بخش های مسافت کوتاه به فرآیند وابسته اند و می توانند در نظریه اختلال\footnote{perturebation theory} محاسبه شوند.از طرف دیگر، PDF ها غیر اختلالی اند و باید با اطلاعات آزمایشگاهی تعیین شوند؛ با این وجود آنها در تمام انواع فرآیند ها یکسان اند.بنابر این وقتی که PDF ها از یک سری از اندازه گیری ها تعیین می شوند، میتوان از آنها برای به دست آوردن سایر مجهولات در فرآیند های دیگر استفاده کرد. تصحیحات QCD منجر به بستگی PDF ها به مقیلس بازبهنجارش \footnote{renormalization scale} تحت معادلات گروه بازبهنجارش \footnote{\textbf{R}enormalization \textbf{G}roup \textbf{E}quations} (معادلات تحول DGLAP) می شود. مشابه با ضرایب مسافت کوتاه، معادلات تحول DGLAP بستگی اختلالی بر حسب ثابت جفت شدگی قوی\footnote{strong coupling constant} دارند. با این اطلاعات محاسبه مشاهده پذیر ها تا مرتبه NNLO امکان پذیر است.بدین ترتیب میتوان آزمون های دقیقی را از نظریه QCD اختلالی به عمل آورد. در فصل بعد به طور خلاصه به بررسی این مفاهیم خواهیم پرداخت. \end{document}