\documentclass[12pt]{report} \usepackage{amsthm,amssymb,amsmath,amsfonts,mathrsfs} \usepackage{nicematrix} \usepackage{xepersian} \settextfont[Scale=1.1]{B Nazanin} \ExplSyntaxOn \cs_set_eq:NN \etex_iffontchar:D \tex_iffontchar:D \cs_undefine:N\c_one \int_const:Nn\c_one { 1 } \ExplSyntaxOff \setdigitfont[Scale=1]{XB Zar} \setlatintextfont{Times New Roman} \renewcommand\proofname{\textbf{برهان}} \newtheorem{thm}{قضیه}[chapter] \renewcommand{\baselinestretch}{1.8} \begin{document} \chapter{ پیشنیاز } \section{مقادیر تکین} \begin{thm}[ تجزیه مقدار تکین\LTRfootnote{Singular Value Decomposition}]\label{1.1} فرض کنید ‌$A \in \mathbf{M}_{m,n} (\mathbb{C}) $ داده شده است و $q=min\{m,n\}$ . آنگاه ماتریس‌های یکانی $U \in M_{m}$ , $V \in M_{n}$ و ماتریس قطری $$\Sigma=diag(\sigma_{1},\sigma_{2},\dots,\sigma_{q}) , \quad \sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge\dots\ge\sigma_{q}\ge 0 $$ وجود دارد که $ A=U \Sigma V^* $ . اگر ‌$A \in \mathbf{M}_{m,n} (\mathbb{R}) $ آنگاه $U$ و $V$ ماتریس های متعامد یکه هستند . \end{thm} \begin{proof} دایره واحد اقلیدسی در ‌$\mathbb{C}^n$ یک مجموعه فشرده و تابع $f(x)=\Vert Ax\Vert _2$ یک تابع پیوسته حقیقی مقدار است . بنابراین طبق قضیه وایرشتراس\LTRfootnote{Weierstrass theorem} بردار ‌$v \in\mathbb{C}^n $ با طول واحد وجود دارد که $$ \Vert Av\Vert _2=\max \{\Vert Ax\Vert _2,x\in \mathbb{C}^n ,\Vert x\Vert _2=1 \} $$ اگر $\Vert Av\Vert _2=0$ آنگاه طبق تعریف نرم ماتریسی $\Vert Av\Vert _2=0 \Leftrightarrow Av=0 $ و باتوجه به فرض $v\neq 0$ پس $A=0$ اکنون با درنظرگرفتن $\Sigma=0$ و هر ماتریس یکانی $U \in M_{m}$ , $V \in M_{n}$ حکم قضیه برقرار است . اما اگر $\Vert Av\Vert _2 \neq 0$ بردار $u=\dfrac{Av}{\sigma_1} \in \mathbb{C}^m $ و $\sigma_1 =\Vert Av\Vert _2$ را در نظر بگیرید ، در این صورت $m-1$ بردار متعامد یکه $u_2,u_3,\dots,u_m \in \mathbb{C}^m$ وجود دارد که می توان ماتریس یکانی\\ $U_1=[u,u_2,\dots,u_m]\in \mathbf{M}_{m} $ را بدین گونه ساخت وهمچنین $n-1$ بردار متعامد یکه \\ $v_2,v_3,\dots,v_n \in \mathbb{C}^n$ وجود دارد که $ V_1=[v,v_2,\dots,v_n]\in \mathbf{M}_{n} $ نیز یک ماتریس یکانی است، در ادامه می خواهیم عناصر قطری ماتریس $\Sigma$ را بدست آوریم. \\ \begin{align*} \setlength{\jot}{10pt} \tilde{A_1} = U^*_1 AV_1 & = \begin{bmatrix} u^*\\ u^*_2\\ \vdots\\ u^*_m \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} v & v_2 & \dots & v_n \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} u^*\\ u^*_2\\ \vdots\\ u^*_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Av & Av_2 & \dots & Av_n \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} u^*\\ u^*_2\\ \vdots\\ u^*_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_1 v & Av_2 & \dots & Av_n\\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} u^*\sigma_1u & u^*Av_2 & \dots & u^*Av_n \\ \sigma_1u^*_2u & u^*_2Av_2 & \dots & u^*_2Av_n\\ \vdots \\ \sigma_1u^*_mu & u^*_mAv_2 & \dots & u^*_mAv_n \end{bmatrix}\\ & = \setLTR \begin{bNiceArray}{cccc} \sigma_1 & u^*Av_2 & \dots & u^*Av_n \\ 0 & \Block{3-3}<\Large>{A_2} & & \\ \vdots & & &\\ 0 & & &\\ \end{bNiceArray} \quad && , A_2 \in \mathbf{M}_{m-1,n-1}\\ & = \begin{bmatrix} \sigma_1 & z^* \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} \quad && , z^*=\begin{bmatrix} u^*Av_2 & \dots & u^*Av_n \end{bmatrix} \end{align*} \\ حال نشان می دهیم $z^*=0$ . بردار $y$ را به صورت $y= \begin{bmatrix}\sigma_1\\z \end{bmatrix}/ (\sigma_1^2+z^*z)^\frac12 \in \mathbb{C}^n $ درنظر بگیرید . دراینصورت: \begin{align*} \Vert AV_1y\Vert_2^2=\Vert V_1^*AV_1y\Vert_2^2 &=\Vert \tilde{A}_1 y\Vert_2^2 && \text {$V_1^*$ یکانی و حافظ نرم2 می باشد}\\ & =\frac1{(\sigma_1^2+z^*z)}\Vert \begin{bmatrix} \sigma_1 & z^* \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ z \end{bmatrix}\Vert^2_2 \\ & = \frac1{(\sigma_1^2+z^*z)}\Vert\begin{bmatrix} \sigma_1^2+z^*z \\ A_2z \end{bmatrix}\Vert^2_2 \\ & =\frac1{(\sigma_1^2+z^*z)}\big((\sigma_1^2+z^*z)^2+\Vert A_2z\Vert^2_2 \big)\\ & =(\sigma_1^2+z^*z)+ \frac1{(\sigma_1^2+z^*z)}\Vert A_2z\Vert^2_2\\ & \ge \sigma_1^2+z^*z \end{align*} اگر $z\neq 0$ آنگاه به طور اکید از $\sigma_1^2$ بزرگ تر است.اما با توجه به این که $$\sigma_1=\max \{\Vert Ax\Vert _2:x\in \mathbb{c}^n,\quad \Vert x\Vert _2=1 \}$$ نتیجه میگیریم $z=0$ . در نتیجه \begin{align*} \tilde{A_1} = U^*_1 AV_1 & = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} \end{align*} حال مراحل بالا را برای $A_2\in \mathbf{M}_{m-1,n-1}$ تکرار میکنیم و ستون های $U$ و $V$ و قطری های $ \Sigma $ را بدست می آوریم. اگر $m\le n$ آنگاه \begin{align*} AA^*=(U\Sigma V^*)(U\Sigma V^*)^* &=(U\Sigma V^*)(V\Sigma ^T U^*)\\ & = U\Sigma \Sigma^T U^* \end{align*}و $$\Sigma \Sigma^T=diag(\sigma_1^2,\dots ,\sigma_q^2)$$ بنابراین اعداد نامنفی $\sigma_i$ به طور منحصربفرد توسط $A$ محاسبه می شوند. اگر $n\le m$ آنگاه از $A^*A$ چنین نتیجه ای بدست می آید. اگر $A$ حقیقی باشد $(A\in \mathbf{M}_{m,n}(\mathbb{R}))$ تمام محاسبات را میتوان روی اعداد حقیقی انجام داد و بدین ترتیب $U$ و $V$ ماتریس های حقیقی متعامد یکه خواهند بود. \end{proof} \end{document}