% !TEX TS-progr;'am = XeLaTeX
% !TeX root=main.tex

\chapter{یک روش ماتریسی برنولی جدید برای حل معادلات انتگرو-دیفرانسیل خطی و غیر خطی فردهلم مرتبه بالا }
%%%%%%%%%%%%
\section*{مقدمه}

در این بخش یک راه حل مستقیم کارامد برای حل عددی معادلات انتگراو-دیفرانسیل فردهلم خطی مرتبه بالا با فواصل تکهای تحت شرایط مرزی اولیه ارائه می دهیم برای این کار یک ماتریس برنولی برای حل عددی معادلات انتگراو-دیفرانسیل فردهلم خطی مرتبه بالا با فواصل تکهای تحت شرایط مرزی اولیه پیاده سازی شده است
\section{روش ماتریس برنولی برای حل معادلات انتگرو-دیفرانسیل مرتبه بالا}
روش ماتریس برنولی برای حل$m$امین مرتبه معادلات انتگرو-دیفرانسیل  فردهلم  خطی با فواصل تکها بصورت زیر است
\begin{flushleft}
\begin{equation}\label{c1}
\sum_{k=0}^{m} p_{k}y^{(k)}(x)=g(x)+\sum_{j=0}^{J}\lambda_{j} \int_{a_{j}}^{b_{j}} K_{j}(x,t)y(t)dt,\quad 
\end{equation}
\begin{equation*}
a\leq x,t \leq b,\quad a\leq a_{j}<b_{j} \leq b,
\end{equation*}
\end{flushleft}
تحت شرایط مرزی اولیه زیر
\begin{flushleft}
\begin{equation}\label{c2}
\sum_{k=0}^{m-1}(a_{ik}y^{(k)}(a)+b_{ik}y^{(k)}(b)+c_{ik}y^{(k)}(c))=\mu_{i},\quad i=0,1,...,m-1,\quad 
\end{equation}
\begin{equation*}
{min{a_{j}}}_{0\leq j \leq J} \leq c \leq {max{b_{j}}}_{0\leq j \leq J}
\end{equation*}
\end{flushleft}
که$a_{ik},b_{ik},c_{ik},p_{k},\lambda_{j}$ و$\mu_{i}$ ثابت اند همچنین$g(x)$و$K_{j}(x,t)$ توابعی پیوسته اند.علاوه بر این ما طرحمان را برای حل $m$امین $FIDEs$ غیر خطی گسترش می دهیم
\begin{flushleft}
\begin{equation}\label{c3}
\sum_{k=0}^{m} p_{k}y^{(k)}(x)=g(x)+\sum_{j=2}^{J}\lambda_{j} \int_{a_{j}}^{b_{j}} K_{j}(x,t)(y(t))^{j}dt,
\end{equation}
\begin{equation*}
a\leq x,t \leq b,\quad a\leq a_{j}<b_{j} \leq b,
\end{equation*}
\end{flushleft}