\begin{center}
\chapter{\Large فصل چهارم. مثالهای حل شده   \label{fasle4} }
\end{center}
\newpage
\setcounter{page}{61}

\section{ مقدمه}
دراین فصل دو مثال از لن - امدن    برای نشان دادن اینکه روش ارائه شده در فصل 3 روشی کارا و موثر است با این روش حل شده و نتایج عددی به صورت جدول و شکل ارائه شده است.


\section{مثالهای حل شده}

\begin{example}\label{147}
معادله لن - امدن زیر را در نظر بگیرید 
$$ y''+\dfrac{2}{x}y'+e^y=0 ,\qquad 0\leq x\leq 5 $$
$$y(0)=0 , \qquad y'(0)=0 $$

معادله فوق با روش‌های رانگ - کوتا مرتبه چهار ($RK4$) با طول گام $h=0.05$، روش تجزیه آدومین ($ADM$)با 15 تکرار و روش پیشنهادی ($PM$)حل شده است . همچنین در شکل
( \ref{ff6})
نتایج عددی با روش رانگ-کوتا مقایسه شده است. 
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}      \hline
         PM              &           ADM            &           RK4              &     x       \\ \hline
0                          &           0                 &             0               &     0       \\
0/0016658338-     &   0/0016658339-     &  0/0016658338-      &     0/1    \\
0/0066533671-     &   0/0066533671-     &  0/0066533659-      &     0/2    \\
0/0411539572-     &   0/0411539568-     &  0/0411539557-      &     0/5    \\
0/1033860531-     &   0/1033860110-     &  0/1033860526-      &     0/8    \\
0/3380194247-     &          *                   &  0/3380194698-      &     1/5    \\
0/5598230043-     &          *                   &  0/5598230869-      &      2      \\
1/5722327621-     &          *                   &   1/5722328870-     &      4      \\
2/0440921077-     &          *                   &   2/0440921616-     &      5      \\   \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{نتایج حاصل از سه روش $0\leq x \leq 5,\qquad RK4,ADM,PM $ \label{name1}}
\end{table}

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{ff6}
\caption{  نمودار تابع  $0\leq x\leq 5,\qquad y''+\dfrac{2}{x}y'+e^y=0   $   \label{ff6}}\
\end{figure}
\end{example}

\newpage

\begin{example}\label{148}
معادله لن - امدن زیر را در نظر بگیرید.
$$y''+\dfrac{2}{x}y'+\sin(y)=0 ,\qquad 0\leq x\leq 3$$
$$y(0)=1 , \qquad y'(0)=0$$

معادله فوق با روش‌های رانگ-کوتا مرتبه چهار ($RK4$) با طول گام ($h=0.05$) و روش تجزیه آدومین ($ADM$) با 15 تکرار و روش پیشنهادی($PM$)حل شده است. همچنین شکل 
(\ref{ff7})
نتایج عددی با روش رانگ-کوتا  مقایسه شده است. 

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}      \hline
PM&                 ADM&             RK4&    x       \\ \hline
1&                   1&        1&      1             \\
0/99439626      & 0/99439626       & 0/99439626    & 0/2   \\
0/96517778      & 0/96517778       & 0/96517781    & 0/5   \\
0/91183203      & 0/91183204       & 0/91183204    & 0/8   \\
0/83609015      & 0/83609012       & 0/83609012    & 1/1   \\
0/77443522      & 0/77443518       & 0/77443518    & 1/3   \\
0/66783449      & 0/66783443       & 0/66783443    & 1/6   \\
0/62917741      & 0/62917734       & 0/62917734    & 1/7   \\
0/58926215      & 0/58926208       & 0/58926208    & 1/8   \\
0/54828789      & 0/54828781       & 0/54828781    & 1/9   \\
0/50646362      & 0/50646355       & 0/50646355    & 2      \\
0/29239843      &           *             & 0/29239832    & 2/5   \\
0/09104126      &           *             & 0/09104115    & 3      \\   \hline
\end{tabular}
\caption{نتایج حاصل از سه روش $ 0\leq x\leq 3,\qquad RK4,ADM,PM$\label{name2}}
\end{center}
\end{table}

\begin{figure}[ht]
\centering
\hspace{3cm}\includegraphics[width=10cm]{ff7}
\caption{ نمودار تابع $0\leq x\leq 3,\qquad y''+\dfrac{2}{x}y'+\sin(y)=0  $ \label{ff7}}
\end{figure}
\end{example}