\documentclass[a4paper,12pt]{report}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{graphics}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{eucal}
%\usepackage[english]{babel}
\usepackage[usenames]{color}
\usepackage[perpage]{footmisc}
\usepackage[noprefix]{nomencl}
\usepackage[Bjornstrup]{fncychap}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{tocbibind}
\usepackage{amsmath, amsthm, amscd, amsfonts, amssymb, graphicx, color}
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\newcommand\englishgloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\usepackage[pagebackref=false, bookmarksnumbered, colorlinks, plainpages, linkcolor=blue, citecolor=magenta]{hyperref}
%\usepackage[top=3cm,right=3cm,bottom=2.5cm,left=2.5cm]{geometry} 
\usepackage{setspace}
\usepackage{makeidx}
\makeindex  

 \usepackage{zref-perpage}% جهت شماره گذاری از یک زیرنویسها در هر صفحه
\zmakeperpage{footnote}

 \usepackage[extrafootnotefeatures]{xepersian}
\settextfont{Persian Modern}

 %\usepackage{zref-perpage}% جهت شماره گذاری از یک زیرنویسها در هر صفحه
%\zmakeperpage{footnote}
\paragraphfootnotes

\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry}\geometry{left=29mm,right=30mm,top=25mm,
bottom=30mm}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}
\usepackage[xindy]{glossaries}
% فراخوانی بسته زی‌پرشین و تعریف قلم فارسی و انگلیسی              
\usepackage{xepersian}
\input{mathrsfs.sty}
% tell tex engine address of folder containing your pictures
\graphicspath{{images/}}

% commands to print the page number in header
\pagestyle{fancy}
\cfoot{}
\lhead{\thepage}

% commands related to XePersian package
\settextfont[Scale=1]{XB Niloofar}
\setlatintextfont{Junicode}
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
\defpersianfont\traffic[Scale=1.5]{B Traffic}
\defpersianfont\yekan[Scale=1.5]{B Yekan}
\defpersianfont\titrsh[Scale=1]{XB Kayhan Navaar}
%\setdigitfont{B Lotus}
%\setlatintextfont{LinLibertine}
% -------------------------------------

\newcommand{\HH}{\mathscr{H}}
\newcommand{\KK}{\mathscr{K}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
%\newcommand{\h}{\mathcal{H}}
\newcommand{\s}{\mathcal{S}}
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\p}{\mathcal{P}}
\newcommand{\BOP}{\textbf{B}}
\newcommand{\BH}{\mathcal{B}(\HH)}
\newcommand{\BK}{\mathcal{B}(\KK)}
\newcommand{\KH}{\mathcal{K}(\mathcal{H})}
\newcommand{\Real}{\mathbb{R}}
\newcommand{\comp}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Field}{\mathbb{F}}
\newcommand{\RPlus}{\Real^{+}}
\newcommand{\Polar}{\mathcal{P}_{\s}}
\newcommand{\Poly}{\mathcal{P}(E)}
\newcommand{\EssD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\la}{\left\langle}
\newcommand{\ra}{\right\rangle}
\newcommand{\SP}{\mathsf{sp}}
\newcommand{\nn}{\nonumber}


% دستوری برای تعریف واژه‌نامه انگلیسی به فارسی
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}

\renewcommand\baselinestretch{1.7}
\baselineskip=18pt plus 1pt
\newtheorem{theorem}{قضیه}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{لم}
\newtheorem{proposition}[theorem]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[theorem]{نتیجه}
\newtheorem{problem}[theorem]{مسئله}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}
\newtheorem{remark}{تبصره}
\newtheorem*{example}{مثال}
\renewcommand\proofname{برهان}

%%Mathematical Operators

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\numberwithin{figure}{chapter}
\numberwithin{equation}{chapter}
\numberwithin{table}{chapter}
\numberwithin{definition}{chapter}

%\onehalfspace

%\voffset=-1cm
%\hoffset=-1cm
%\textwidth=18cm
%\textheight=23cm
\linespread{1.8}
\setdigitfont[Scale=1]{Parsi Digits}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} % delete current header and footer
\renewcommand{\chaptermark}[1]{%
        \markboth{#1}{}}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{%
        \markright{\thesection\ #1}}
\fancyhead[RO]{\slshape \leftmark}
\fancyhead[LE]{\slshape\rightmark}
\fancyhead[LO, RE]{\slshape \thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}

\newglossarystyle{mylist}{%
% put the glossary in the itemize environment:
\renewenvironment{theglossary}{}{}%
% have nothing after \begin{theglossary}:
\renewcommand*{\glossaryheader}{}%
% have nothing between glossary groups:
\renewcommand*{\glsgroupheading}[1]{}%
\renewcommand*{\glsgroupskip}{}%
% set how each entry should appear:
\renewcommand*{\glossaryentryfield}[5]{%
%\item[] % bullet point
\glstarget{##1}{##2}% the entry name
\dotfill% the symbol in brackets
\space ##3 \\% the number list in square brackets
}%
% set how sub-entries appear:
\renewcommand*{\glossarysubentryfield}[6]{%
\glossaryentryfield{##2}{##3}{##4}{##5}{##6}}%
}
\makeglossaries
\glossarystyle{mylist}
\def\glossaryname{واژه نامه}
 \usepackage{xepersian}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newglossaryentry{شمارای نوع دوم}{name=شمارای نوع دوم,
description={\lr{second countable} }}
\newglossaryentry{شمارای نوع اول}{name=شمارای نوع اول,
description={\lr{first countable} }}
\newglossaryentry{ $\sigma$-گسسته}{name= $\sigma$-گسسته,
description={\lr{$\mathrm{\sigma}$-discrete} }}
\newglossaryentry{منتظم}{name=منتظم,
description={\lr{regular} }}
\newglossaryentry{زیر پایه}{name=زیرپایه,
description={\lr{sub base} }}
\newglossaryentry{رایانه}{name=رایانه,
description={\lr{Computer} }}
\newglossaryentry{موسیقی}{name=موسیقی,
description={\lr{Music} }}
\newglossaryentry{شعر}{name=شعر,
description={\lr{Poem} }}
\newglossaryentry{زی‌پرشین}{name=زی‌پرشین,
description={\lr{\XePersian} }}
\newglossaryentry{واژه‌نامه}{name=واژه‌نامه,
description={\lr{Glossary} }}
\newglossaryentry{آنتن}{name=آنتن,
description={\lr{Antenna} }}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\include{besm}

%\large

\chapter*{چکیده}

در این پایان نامه برخی خواص توپولوژیکی  گروههای پارا توپولوژیک و نیم توپولوژیک مورد بررسی قرار می گیرد. شرایطی را به دست می آوریم که تحت آن ها گروه پارا توپولوژیک یا نیم توپولوژیک به یک گروه توپولوژیک تبدیل می شود.
کلمات کلیدی: گروه پارا توپولوژیک، نیم توپولوژیک، گروه توپولوژیک، فضای بئر، شبکه شمارا، تقارن پذیر
ن
\newpage
\tableofcontents
%\listoffigures

\newpage
\chapter*{مقدمه}
%\section*{مقدمه}
\pagenumbering{arabic}
چه موقع یک گروه پاراتوپولوژیک گروه توپولوژیک است؟ طبق قضیه معروف  الیس  \footnote{Ellis} (سال ۱۹۵۷) 
می دانیم  هر گروه نیم توپولوژیک هاسدورف موضعا فشرده ، یک گروه توپولوژیک است.
اخیرا بوزیاد این قضیه را به فضاهای فشرده چخ 
\LTRfootnote{$\mathrm{\check{C}}$ech-complete} 
گسترش داد است. ونتایج  بسیاری از آن بدست آورده است. 

 زلازکو\LTRfootnote{W.$\mathrm{\dot{Z}}$elazko}   سال (۱۹۶۰) نشان داد هر گروه پارا توپوپولوژیک متریک پذیر یک گروه توپولوژیک است.  در سال  1982 برند \footnote{N.Brand}  یافته های زلازکو و الیس را تعمیم داد و اثبات کردکه هرگروه پاراتوپولوژیک یک گروه توپولوژیک فشرده چخ است. سه سال بعد اثبات جدید و کوتاهتری از این قضیه  ارائه شد. با توجه به این مطلب فیستر \footnote{H.pfister} در سال (۱۹۸۵) پرسید:\\
آیا هر گروه فشرده چخ نیم توپولوژیک یک گروه پارا توپولوژیک است ؟ و از این رو بنا برقضیه برند یک گروه توپولوژیک است؟ 

 در فصل اول این پایان نامه، قضایا و تعاریف مقدماتی را می آوریم  و در فصل دوم ، ثابت می کنیم که هر گروه پاراتوپولوژیک هاسدورف متریک پذیر با
 ویژگی بئر یک گروه توپولوژیک است. این تعمیم یافته قضیه کلاسیک  مونتگومری \footnote{Montgomery} است.
  
  همچنین در این پایان نامه دو حکم جدید را که بوزیاد ثابت کرده می آوریم.
1- اگرگروه پاراتوپولوژیک $G$ پیش تصویری از یک گروه توپولوژیک تحت همریختی کامل باشد آنگاه $G$ نیز گروه توپولوژیک است.\\
2-اگر گروه پاراتوپولوژیک $H$ تصویری از گروه توپولوژیک کلا کراندار $G$ تحت همریختی پیوسته باشد، آنگاه $H$ نیز گروه توپولوژیک است.\\ 
 همچنین ثابت می کنیم اگر یک گروه نیم توپولوژیک شمارای نوع اول $G$  یک زیر مجموعه  چگال  $G_{\delta}$ از یک فشرده سازی هاسدورف $G$ باشد، آنگاه $G$ یک گروه توپولوژیک متریک پذیر با یک متر کامل است.
\\درفصل سوم
رابطه جدید معینی بین پایایی توابع کاردینالی در گروههای پاراتوپولوژیک اثبات می کنیم. در حقیقت نشان می دهیم که اگر $G$ یک گروه دو دنباله ای پاراتوپولوژیک باشد به طوریکه $G\times G$ لیندولف باشد آنگاه $G$ شبکه ی شمارا دارد.

 این موضوع روشن می کند که چرا مربع خط سورجنفری نرمال نیست.


\chapter{تعاریف و قضایای مقدماتی}
 در این پایان نامه مجموعه اعداد صحیح نا منفی ، اعداد گویا ، طبیعی ، اعدا حقیقی مثبت و اعداد حقیقی را به ترتیب با  
$\omega$ ،$\mathbb{Q}$ ، $\mathbb{N}$ ، $\mathbb{R}^{+}$ و $\mathbb{R}$ 
  نشان می دهیم.
نگاشت وارون گروه $G$ را با $I: G\longrightarrow G$ که $I(x)=x^{-1}$ ، \\درون $G$ را با $int (G)$ یا $(G)^{o}$ ،\\ و نگاشت ضرب روی گروه   $G$ را با $m : G\times G\longrightarrow G$  که $m( x , y )=xy$  نشان می دهیم.
در این فصل به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی از توپولوژی و کاربردهای آن می پردازیم.
\begin{definition}
\begin{itemize}
\item[الف.]
تمام اشتراک های شمارش پذیر از مجموعه های باز را یک مجموعه $G_{\delta}$ می نامیم.
\item[ب.]
فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیک باشد.
خانواده $\mathscr{B}$ از بازها را یک پایه می نامیم هرگاه هر زیرمجموعه باز از $X$ را بتوان
به صورت اجتماعی از عناصر $\mathscr{B}$ نوشت.\\
مجموعه$\mathscr{E}$از بازها را یک زیرپایه 
\index{زیرپایه}
می نامیم هرگاه مجموعه متشکل از تمام اشتراک‌های متناهی از عناصر $\mathscr{E}$
یک پایه باشد.
\item[ج.]

پایه شمارا: گوییم فضای $X$ در نقطه $x$ پایه شمارا دارد هرگاه گردایه شمارایی از همسایگی های $x$ مانند $B$ موجود باشد به طوریکه هر همسایگی $x$ دست کم حاوی یک عضو این گردایه باشد.\\ اگرفضایی در هر نقطه اش یک پایه شمارا داشته باشد گوییم در اولین اصل شمارایی صدق می کند (شمارای نوع اول).
\item[د.]

فضایی را شمارای نوع دوم 
\gls{second countable}
 گوییم که توپولوژی آن پایه ای شمارا داشته باشد.
 
  به این معنی که فضای توپولوژیک $T$ شمارای نوع دوم است اگر تعدادی شمارا مجموعه $\mathcal{U}=\lbrace U_{i}\rbrace_{i=1}^{\infty}$ از زیر مجموعه های باز $T$ موجود باشد به طوریکه هر زیر مجموعه باز از $T$ را بتوان به صورت اجتماعی از تعدادی اعضای زیر خانواده $\mathcal{U}$ نوشت.
\item[ه.]
فضایی را $T_{1}$ گوییم اگر برای هر جفت نقطه جدا از هم $x$ و $y$ در فضا، مجموعه بازی که شامل $x$ باشد ولی شامل $y$ نباشد موجود باشد. یا به طور معادل فضایی $T_{1}$ است اگر تمام تک عضوی های آن بسته باشد.
\item[و.]

مجموعه $\mathscr{U}$ در فضای توپولوژی $X$ گسسته است اگر هر نقطه $x\in \mathscr{U}$ همسایگی مثل $U$ داشته باشد به طوریکه $U\cap \mathscr{U}=\lbrace x\rbrace$.
\item[ز.]
مجموعه $\mathscr{U}$ را $\sigma$- گسسته
\LTRfootnote{$\mathrm{\sigma}$-discrete} 
گوییم اگر$\mathscr{U}$ بتواند به شکل $\mathscr{U}=\bigcup_{n=1}^{\infty}U_{n}$ بیان شود که در آن هر $U_{n}$ گسسته است .

\end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}
اگر $\mathcal{U}$ و$\mathcal{V}$ پوشش هایی برای مجموعه $X$ باشند ، مجموعه $\mathcal{V}$ تظریف مجموعه $\mathcal{U}$ گفته می شود اگر برای هر $V\in \mathcal{V}$ یک $U\in \mathcal{U}$  وجود داشته باشد به طوریکه $V\subset U$ .
\end{definition}
\begin{definition}
یک مجموعه به همراه یک عمل دو تایی،که خواص  زیر را داشته باشد یک گروه می نامیم.
\begin{itemize}
\item[(۱)] شرکت پذیر باشد .
\item[(۲)]  دارای عضو خنثی باشد.
\item[(۳)]  دارای وارون باشد.
\end{itemize}
اگر عمل دوتایی علاوه بر خواص بالا دارای خاصیت جابه‌جایی باشد، به آن گروه جابه‌جایی یا گروه آبلی می‌گویند. 
\end{definition}
\begin{definition}
گروه توپولوژیک: فرض کنیم $G$ یک گروه باشد که بعلاوه یک فضای توپولوژیک است. اگر نگاشتهای
\begin{center}
$G\times G\longrightarrow G$\hspace*{1cm} با ضابطه ی \hspace*{1cm} $(x,y) \longrightarrow xy$
\end{center}
و 
\begin{center}
$G\longrightarrow G$\hspace*{1cm} با ضابطه ی \hspace*{1cm}$x\longrightarrow x^{-1}$
\end{center}
% \begin{center}
%$(x,y) \longrightarrow xy$ از $G\times G$ به $G$\hspace*{1cm} و \hspace*{1cm} $x\longrightarrow x^{-1}$ از $G$ به $G$ 
%\end{center}
پیوسته باشد آنگاه $G$ یک گروه توپولوژیک نامیده می شود.\\
پیوستگی نگاشت وارون در $a\in G$ یعنی برای هر همسایگی $V=Nb(a^{-1})$ همسایگی $U$ حول $a$ موجود باشد که $I(U)=U^{-1}\subset V$.\\
پیوستگی عمل ضرب در $( a , b )\in G\times G$ یعنی؛ برای هر همسایگی $U=Nb(ab)$ همسایگی $V$ از $a$ و  $W$ از $b$  موجود باشد به طوریکه $VW\subset U$ ، که در آن $VW=\lbrace xy : x\in V , y\in W\rbrace$ است.
\end{definition}
\begin{example}
اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ همراه با عمل جمع و توپولوژی معمولی، تشکیل یک گروه توپولوژیک می دهد . به طور کلی فضای اقلیدسی $\mathbb{R}^{n}$ به همراه جمع و توپولوژی استاندارد یک گروه توپولوژیکی است. بعلاوه گروههای جمعی از همه فضاهای برداری توپولوژیک مانند باناخ و هیلبرت گروههای توپولوژیک هستند.
\end{example}
 فرض کنید $G$ یک گروه توپولوژیک باشد و $f$ به شکل
 \begin{center}

  $f : G\times G\longrightarrow G$\hspace*{1cm} که \hspace*{1cm}$( a , b )\longrightarrow ab$ 
\end{center}
 تعریف شده باشد. $f$ را به طور همزمان، (تواماً) پیوسته گوییم هر گاه  
 اگر \begin{center}
 $(x_{\alpha} , y_{\alpha})\longrightarrow ( a , b)$  
\end{center}
 آنگاه\begin{center}
   $x_{\alpha}y_{\alpha}\longrightarrow ab$.
\end{center}
با توجه به تعریف، $f$ را جدا گانه پیوسته گوییم  اگر\begin{center}
 $x_{\alpha}\longrightarrow a$ 
\end{center}
آنگاه برای هر $b\in G$؛
\begin{center}
 $x_{\alpha}b\longrightarrow ab$.
\end{center}
 و اگر\begin{center}
  $y_{\alpha}\longrightarrow b$ 
\end{center}
آنگاه برای هر $a\in G$؛
\begin{center}
$ay_{\alpha}\longrightarrow ab$  
\end{center}
ویا به بیان دیگر؛ \\ 
$L_{a} : G\longrightarrow G$ با تعریف $L_{a}(x)=ax $ و $R_{b} : G\longrightarrow G $ با تعریف $R_{b}(x)=xb $ پیوسته باشد.

 \newpage
 \thispagestyle{empty}
 
 \resetlatinfont{
\begin{center}
{{\textbf{\large{Abstract}}}}
\end{center} 
\begin{LTRitems}

In this Thesis Several new facts concerning topologies of paratopological and semitopological groups are established.
It is proved that every symmetrizable paratopological group with the Baire property is
a topological group.If a paratopological group G is the preimage under a perfect homomorphism
of a topological group, then G is also a topological group. If a paratopological group G is a dense
$G_{\delta}$-subset of a regular pseudocompact space X, then G is a topological group.If a paratopological
group H is an image of a totally bounded topological group G under a continuous homomorphism,
then H is also a topological group. If a first countable semitopological group G is $G_{\delta}$-dense in some
Hausdorff compactification of G, then G is a topological group metrizable by a complete metric.We
also establish certain new connections between cardinal invariants in paratopological and semitopological
groups. In particular, it is proved that if G is a bisequential paratopological group such that
G × G is Lindelöf, then G has a countable network. This
sheds a new light on why the square of the Sorgenfrey line is not normal.\\
Keywords: Paratopological groups; Semitopological groups; Symmetrizable spaces; Baire property; Countable
network; Paracompact p-space.
 \newpage
 \vspace*{-21mm}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}


\thispagestyle{empty}
\vspace*{-19mm}
\centerline{\includegraphics[width=3cm]{logo.png}}

 \lr{{\Large\bf Zanjan\ University}}  \\ [2mm]

\lr{{\bf Science Faculty - Department of Mathematics}} \\ [11mm]
\lr{{\large\bf Master's\ Thesis}}  \\ [7mm]
\lr{{\large\bf Title:}} \\ [3mm]
\lr{{\Huge Paratopological and semitopological groups
versus topological groups  }} \\   [2mm]
%{\Huge Hyperconvex Metric Spaces  }\\   [3mm]{\Huge  \\   [3mm]
\lr{{\large\bf Author:}} \\ [2mm]
\lr{{\Large\bf Mohammad Mohammadi}} \\ [11mm] 
\lr{{\large\bf Supervisor:} } \\ [3mm] 
\lr{{\Large\bf Dr.\ Habib Amiri}} \\ [11mm]
\lr{{\large\bf Jan 2016}} \\   
\end{center}
\end{document}