\chapter{معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی}
\section{مقدمه}
معادلات دیفرانسیل در علوم کاربردی و مهندسی ریاضیات، فیزیک، ژئوفیزیک و مکانیک، مخابرات و ... کاربرد بسیاری دارد. اکثر پدید‌ه‌های موجود در طبیعت توسط معادلات دیفرانسیل فرمول بندی می شود. چنانچه، یک پدیده‌ فقط به یک متغیر وابسته باشد در این صورت معادله‌ی دیفرانسیل آن نیز تک متغیر بوده و به آن معادله‌ی دیفرانسیل معمولی یا یه اختصار ODE می‌گویند. اما، اگر برای توجیه یک پدیده‌ی بیش از یک متغیر نیاز باشد، معادله‌ی دیفرانسیل وابسته به آن را معادله‌ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا PDE‌ می‌گویند.\\
صرف‌نظر از معمولی یا جزئی بدون یک معادله‌ی دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل می‌توانند خطی یا غیرخطی باشند. یک معادله‌ی دیفرانسیل را خطی می‌گویند با این فرض که اگر دو جواب مستقل آن $ \psi $  و $ \varphi $ باشد، در این صورت هر ترکیب‌خطی از آن‌ها نیز جواب معادله‌ی دیفرانسیل محسوب شود.\\
نمایش کلی یک معادله‌ی دیفرانسیل از دیدگاه اپراتوری به صورت زیر است:\\
\begin{equation}
L\phi = F \nonumber
\end{equation}
که در این رابطه L‌ اپراتور و $ \phi $ تابع مجهول و F چشمه تولید یا تحلیل کمیتی است که مولد تابع مجهول $ \psi $ است.\\
اگر اپراتور L خطی باشد معادله‌ی دیفرانسیل وابسته آن نیز خطی است. مطابق با شرط خطی بودن می‌توان نوشت:
\begin{align*}
L\psi &=F\\
L\varphi &=G\\ 
L\left[a\psi+b\varphi\right] &=aL\psi+bL\varphi= aF+bG
\end{align*}