\documentclass{book}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{xepersian}
\settextfont{XB Zar}
\setdigitfont{XB Zar}
\begin{document}
\chapter{نیروها و گشتاورها}
در این فصل قصد داریم به محاسبهی نیروها و گشتاورهای وارد بر بدنهی کوآدروتور بپردازیم.
\section{دینامیک موتورهای DC}
در این بخش، دینامیک موتورهای DC جاروبک دار
\lr{(Brushed DC-motor)} را بررسی میکنیم.
\subsection{بخش الکتریکی}
موتور DC بر اساس این اصل کار میکند که هر رسانای حامل
جریان در میدان مغناطیسی نیرویی به اندازهی $ F=i\times\phi$ متحمل میشود که در این رابطه $\phi$ شار میدان مغناطیسی و $i$ جریان داخل رساناست. هر موتور شامل یک بخش ثابت بهنام استاتور و یک بخش متحرک بهنام روتور میباشد که درون استاتور میچرخد. شکل \ref{F1}.
\begin{figure}
\hspace{2 cm}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Fig1-1.jpg}
\caption{موتور \lr{DC} مغناطیس دائم}
\label{F1}
\end{figure}
اگر استاتور یک شار مغناطیسی شعاعی $\phi$ تولید کند و جریان داخل روتور (که آرمیچر نیز نامیده میشود) $i_a$ باشد در اینصورت یک گشتاور به روتور اعمال شده و باعث دوران آن میشود. اندازه این گشتاور برابر است با:
\begin{equation}
\tau_m =K_1\phi i_a
\label{E1}
\end{equation}
که در این رابطه $\tau_m$ گشتاور موتور بر حسب نیوتن متر، $\phi$ شار مغناطیسی بر حسب وبر، $i_a$ جریان آرمیچر بر حسب آمپر و $K_1$ یک ثابت فیزیکی است.
از سوی دیگر، هنگامیکه یک رسانای حامل جریان داخل میدان مغناطیسی حرکت میکند، ولتاژی نظیر $V_b$ بهنام \lr{(back electromotive force)} یا به اختصار \lr{(back emf)} بین دو سر آن رسانا ایجاد میشود و پلاریتهی آن بهصورتی است که با جهت جریان داخل رسانا مخالفت میکند. بنابراین علاوه بر گشتاور $\tau_m$ در رابطهی \ref{E1}، رابطهی \lr{back emf} را نیز بهصورت زیر داریم:
\begin{equation}
V_b=K_2\phi \omega_m
\label{E2}
\end{equation}
که در این رابطه، $V_b$ بیانگر \lr{back emf} برحسب ولت، $\omega_m$ سرعت زاویهای برحسب رادیان بر ثانیه و $K_2$ ثابت تناسب است.
شکل \ref{F2} شماتیکی از مدار آرمیچر را نشان میدهد.
\begin{figure}
\hspace{3 cm}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{Fig1-2.jpg}
\caption{شماتیک مدار آرمیچر موتور \lr{DC}}
\label{F2}
\end{figure}
در این شکل، $V$ ولتاژ آرمیچر، $L$ اندوکتانس آرمیچر، $R$ مقاومت آرمیچر، $\theta_m$ موقعیت زاویهای روتور و $\tau_l$ گشتاور بار میباشد.
براساس قانون ولتاژ کیرشهف ،(KVL) معادلهی مدار آرمیچر بهصورت زیر نوشته میشود:
\begin{equation}
L\frac{di_a}{dt}+Ri_a=V-V_b
\label{E3}
\end{equation}
با فرض ثابت بودن شار $\phi$ روابط \ref{E1} و \ref{E2} بهشکل زیر ساده میشوند:
\begin{equation}
\tau_m =K_1\phi i_a=K_Ti_a
\label{E4}
\end{equation}
\begin{equation}
V_b=K_2\phi\omega_m =K_v\omega_m
\label{E5}
\end{equation}
\subsection{بخش مکانیکی}
با اعمال قانون دوم نیوتن برای موتور داریم:
\begin{equation}
J\frac{d^2\theta_m}{dt^2}+B\frac{d\theta_m}{dt}=\tau_m -\tau_l
\label{E6}
\end{equation}
که $J$ اینرسی موتور و $B$ ضریب اصطکاک موتور میباشد.
در حوزهی لاپلاس، معادلات \ref{E3}، \ref{E5} و \ref{E6} بهصورت زیر ترکیب میشوند:
\begin{equation}
(Ls+R)I_a(s)=V(s)-K_vs\theta_m(s)
\label{E7}
\end{equation}
\begin{equation}
(Js^2+Bs)\theta_m(s)=K_TI_a(s)-\tau_l(s)
\label{E8}
\end{equation}
بلوک دیاگرام سیستم معادلات \ref{E7} و \ref{E8} در زیر رسم شده است:
\begin{figure}[H]
%\hspace{2 cm}
\includegraphics[width=1\textwidth]{Fig1-3.jpg}
\caption{بلوک دیاگرام سیستم موتور \lr{DC}}
\label{F3}
\end{figure}
\subsection{پدیدهی اشباع}
در حالت تئوری میتوان با افزایش و تغییر دلخواه بهرهها، در کنترلرهای مختلف نظیر \lr{PID}، به پاسخهایی با خطای حالت ماندگار بسیار کوچک دست یافت. اما در عمل، ماکزیمم سرعت قابل دسترس برای یک سیستم محدود است. یک عامل بسیار مهم در ایجاد این محدودیت، اثر اشباع \lr{(saturation)} است که در واقع ناشی از محدودیت در ماکزیمم گشتاور قابل تولید توسط موتور است. در سیستمهای سرووی بسیاری از دستگاهها، از محدودکنندههای ولتاژ استفاده میکنند تا مانع از صدمهی احتمالی به سیستم بخاطر جریان کشیدن بیش از حد شوند.
\section{تراست و گشتاور}
شکل شماتیک سادهای از کوآدروتور در شکل \ref{F4}در زیر آورده شده است. دستگاه مختصات $x-y-z$ نشان داده شده، متصل به بدنه میباشد. بردار $\Omega={}^b[p,q,r]^T$ بردار سرعت زاویهای حول سه محور مختصات میباشد.
\begin{figure}
%\hspace{2 cm}
\includegraphics[width=1\textwidth]{Fig1-4.jpg}
\caption{شماتیک کوآدروتور به همراه نیروها و گشتاورها}
\label{F4}
\end{figure}
تراست حالت پایا که توسط یک روتور در حالت درجا (یعنی روتوری که بهصورت افقی و عمودی حرکت نمیکند) در هوای آزاد با استفاده از اصل مومنتم بهشکل زیر بیان میشود:
\begin{equation}
f_i=C_T\omega_i^2
\label{E9}
\end{equation}
که در این رابطه برای روتور $i$،$\omega_i$، سرعت زاویهای روتور، $C_T$ ضریب تراستیست که به هندسه و پروفیل روتور بستگی دارد و مقدار آن با آزمایش مشخص میشود.
\subsection{تراست و گشتاور کل اعمالی به کوآدروتور}
در بخش قبل مقدار تراست یک پروانه را بهصورت تابعی از ضریب تراست و سرعت زاویهای پروانه بهدست آوردیم. در این بخش میخواهیم برایند تراستها و گشتاورهای حاصل از این تراستها را روی بدنهی کوآدروتور بهدست آوریم.
با توجه به شکل \ref{F4}، برایند تراستها یک نیروی عمودی در راستای محور $z$ دستگاه مختصات متصل به بدنهی کوآدروتور مثل $T$ است:
\begin{equation}
T=\sum_i f_i \qquad i=1,2,3,4
\label{E17}
\end{equation}
اگر بردار موقعیت نیروی تراست هر پروانه را نسبت به مرکز ثقل کوآدروتور با $r_i=(x_i,y_i,z_i)$ نشان دهیم، گشتاور حاصل از هر نیروی تراست حول مرکز ثقل برابر است با:
\begin{equation}
M_i=r_i\times f_i
\label{E18}
\end{equation}
از آنجایی که نیروی تراست فقط در راستای محور $z$ دارای مولفه است، رابطهی \ref{E18} بهصورت زیر ساده میشود:
\begin{equation}
M_i=(y_if_i,-x_if_i,0)
\label{E19}
\end{equation}
در نهایت، گشتاور کل حاصل از تکتک نیروهای تراست روی بدنه در راستای محورهای $x$ و $y$ میشود:
\begin{align}
&M_x=\sum_i y_if_i\nonumber\\
&M_y=-\sum_i x_if_i\nonumber\\
\label{E20}
\end{align}
از طرف دیگر، هنگام دوران پروانه در هوا، گشتاوری ناشی از نیروی درگ هوا به هر پروانه اعمال میشود که مقدار آن برابر است با:
\begin{equation}
D_i=C_d\omega_i^2
\label{E21}
\end{equation}
که در آن $C_d$ ضریب درگ هواست که تابعی ازمشخصات و هوای اطراف روتور است.
با توجه به شکل \ref{F4}، که جهت دوران پروانهها روی آن مشخص شده است، گشتاور کل در راستای محور $z$ برابر است با:
\begin{equation}
M_z=+D_1-D_2+D_3-D_4
\label{E22}
\end{equation}
با تعریف $C_R=\frac{C_T}{C_d}$ داریم:
\begin{equation}
M_z=C_R(f_1+f_3-f_2-f_4)
\label{E23}
\end{equation}
\end{document}