\chapter{????? ???????? ????? ?? ??? ????  ??? ?? ???????}
\label{chapterf2} 
\section{?????}
\label{Sec1} 
????? ??? ??? ?? ????? 
\cite{Sch5, Wend, Wu1, Nm2}
????? ??? ???. ???????? ?? ?? ??? ??? ???? ??? ????? ? ???? 
 \cite{Sea2}
  ???? ????? ?? ???? $2l$-????? $G$ ?? ??? ????? 
$\frac{l+3}{2}$
 ?? $P_l$-??????? ?????? ?? ????????. ???????????? ????? ??? ??? ?? ???? ?????:
 \begin{conjecture}
 \label{Conj11}
?? ???? $ 2l$-????? ?? 
$ P_l $
 -??????? ?????? ?? ????????.
\end{conjecture}
????????? ???? ????? ??? 
\ref{Conj11} 
???? ???? ???? ????? ??? ??? ?? ??? ???? ????????? ?? ??? ?????? ??
 $\frac{l+3}{2}$
???? ????? ????.
??? ???? ????? ?????? ????? ??? ?????? ???????? ????? ??? ??? ?? ???? ???????? ????? ? ?????  
\cite{Lav1}
????? ??? ???.
\begin{conjecture}
\label{Conj12}
??? ???? $ l $ ??  ??? ???? ??? ????. ??? $ G $ ?? ???? $ l $-????? ???? ?? ???? ?? ??????? ??? ???? ????? $ G $ ?? 
$ P_{l} $
 -??????? ?????? ?? ????????.
\end{conjecture}
????? ? ????????
 \cite{Wend}?
????? ?????? ????? $P_l$-??????? ?????? ?? ?? ???????? $ml$-????? ????? ????? ? ??? ??? ?? ????? ?????? ?? ????? ????? ???  
 \ref{Conj12} 
(???? (???) ???
 \ref{Conj13}
?? ??????) ? ??? ?????? ?? ??? 
 \ref{Conj11}
(???? (?) ???
\ref{Conj13}
?? ??????) ???. ?????? ???? ???  
\ref{Conj11} 
 ? ???? (?) ??? 
 \ref{Conj13}  
?? ???? ?????????? ????? ????? ?????? (?????? 
 \ref{Thm25}  
?? ??????).
\begin{conjecture}
\label{Conj13}
??? ???? $ m $ ? $ l $ ????? ???? ???? ?????. ????? ????? ??? ?????? ???:
\begin{itemize}
\item[???)]
??? $ l $ ??? ????? ????? ?? ???? $ ml $-????? ?? ???? $ m $ ?????? ???? ?? 
$ P_{l} $
 -???????  ?????? ?? ????????.
\item[?)]
?? ???? $ 2ml $-????? ?? 
$ P_{l} $
 -??????? ?????? ?? ????????.
\end{itemize} 
\end{conjecture}
???? ????? ??? ?? ???? (?) ??? 
 \ref{Conj13}?
?????? $ 2ml $?
$ml$
 ?? ?? $ m $ ??? ? $ l $ ??? ?????? ??????? ??? ?????? ???. ?? ?????? ??? $ G $ ?? ????
  $ ml $
-????? ?? $ n $ ??? ????? ????? 
$\vert E\left(G\right)\vert=\frac{nml}{2}$.  
? ??? $ G $ ?? 
$ P_{l} $
-???????  ?????? 
 $ \mathcal{D} $
 ?? ??????? ?????
  $ \vert \mathcal{D}\vert=\frac{nm}{2}$.
???????
 $\vert \mathcal{D}\vert=\frac{1}{2}\sum_{v\in V\left(G\right)}\mathcal{D}\left(v\right) $.
???
 $ \mathcal{D} $
?????? ????? ????? ???? 
  $ v\in V\left(G\right) $?
  $ \vert \mathcal{D}\vert=\frac{n\mathcal{D}\left(v\right)}{2} $.  
 ??????????
 $\frac{n\mathcal{D}\left(v\right)}{2}=\frac{nm}{2}$. 
 ???? ???? ?? 
 $ v\in V\left(G\right) $?
 $\mathcal{D}\left(v\right)=m $. 
??? ??? 
$ \mathcal{D} $
?? ????? ?? ???? ??? ? $ G $ ?????? ???? ?? ???? ?? ???
 $ v\in V\left(G\right) $?
 $ \mathcal{D}\left(v\right) $
 ???? ??? ????? ?? ?? ????? ???.\\
  ?? ??? ??? ???? ??????? $ g $? $ l$ ? $ k $? $ m $  ? $ r $ ????? ???? ???? ?? ???? ???????.
????????? ??? ??? ?? ??? ??? ???.\\
??? 
\ref{Sec2}?
 ?? ????? ????? ???? ??? ???? ???????? 
 \ref{Thm210}
  ? 
  \ref{Thm211} 
 ?????? ???? ??? ???. ????? ??????? ?? ???? (???) ??? \ref{Conj13} ???? ???????? $ ml $-????? 
 ?? ??? ????? $ g $ ? 
 $ m>2\lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor $
? ???? (?) ??? \ref{Conj13} ???? ???????? $ 2ml $-????? ?? ??? ????? $ g $ ?
  $ m>\lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor $
 ?????? ???. ???????? ??? ????? ???? ?????? ?? ???? (???) ??? \ref{Conj13} ???? ?? 
 $ m\geqslant 2l-3 $
? ???? (?) ??? \ref{Conj13} ???? ??
 $ m\geqslant l-1 $?
?????? ???????. ?? ??? 
 \ref{Sec3}?
????????? ?? ??? ????? $ l-1 $ ?? ?????? ????? ? ????? ??????? ?? ???? (???) ??? \ref{Conj13} ???? ??? ???? ?? ??????? ?????? ??? ? ?????? ??????? ?? ???? (?) ??? \ref{Conj13} ??? ???? ???? ????????? ?????? ???. ?? ???
   \ref{Sec4}?
???????? $ 2k $-????? ?? ??? ????? $ 2k-2 $? ?? ???? ?? ??? ??????? ??? ????? ?? ?????? ?????
 ? ???? ??????? ?? ???? ????????? ?????????? ??
 $ \frac{n}{2} $
  ???? ????? ????.
\section{????? ???????? ????? ?? ??? ???? ???}
\label{Sec2}
????? ???? ??? ???? ??????
 \ref{Thm210} ? \ref{Thm211}
????? ?? ????? ???? ???? ???????? ????? ?? ??? ???? ??? ?? ????? ??????? ?????????? ??? ??????? ????? ?? ???????? ?? ??? ???? ?? ???????. ???? ???????? ????? ?????? ?????????? ????? (?????? 
  \ref{Thm25}
  )
 ?? ?????? ??????? ?? ?? ????? ?? ??? ????? ?? ?????? ?????? ??? ?????? ??? ????? ?? ???? ?????  ??? ????? ?? ??????? ???? ??? ?? 
 \cite{WangH}?
  ?? ??
 \textbf{??? ?????}
 \footnote{Disentangling}
(?? \ref{Lem24}) 
 ?????? ??????? ????? ???????? 
(\ref{Lem21} ??)
 ? ????? ?? ???? ???? ??? ?? ?????? ????????.\\
??????? ??????? ?? ???????  $ l $-????? 
$ \mathcal{D} $
?????? ??? ??? ???? ??
 $ u,v\in V(G) $?
  $ \mathcal{D}(u)=\mathcal{D}(v) $.
 ?? 
\ref{Lem21}
???? ?????? ?? ????? ?????????  $ l $-??? ??????? ???? ?????? ?? ?? ???? ?????????  $ l $-??? ???????  $ pre $-???? ?????? ?????? ?????.
\begin{lemma}
\label{Lem21}
??? ???? $ k $?
 $ g $?
 $ l $ 
? $ r $ ???? ???? ???? ????? ? $ G $ ?? ???? ?? ??? ?????
$ g\geqslant 3 $ 
 ????. ??? 
$ r\geqslant \lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor $
 ? $ G $ ?? ???????  $ l $-?????? 
 $-pre-(k+r)$
???? ?????? ?? ??????? ????? $ G $ ?? ??????? $ l$-?????? $ k $-???? ?????? ?? ????????.
\end{lemma}
\begin{proof}
 ??? ????
$ \mathcal{D} $
???????  $ l $-??????
 $-pre-(k+r)$
???? ?????? ?? $ G $ ???? ?? 
$ \sum_{v\in V(G)}Hang\left(v,\mathcal{D}\right) $
?? ??????? ???????. ???? ??????? ?? $ \mathcal{D} $?
 $ k $
-???? ???? ???? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ G $?
  $ Hang\left(v,\mathcal{D}\right)>k $.\\ 
?????????? ????? ??? ????? $ \mathcal{D} $?
 $-k $
???? ????. ??? ??? $ v $ ?? $ G $ ???? ???? ???????????? 
$Hang\left(v,\mathcal{D}\right)\leqslant k $. 
??? $ \mathcal{D} $?
$-pre-(k+r)$
???? ???? ??  
$PerHang\left(v,\mathcal{D}\right)\geqslant k+r+1$.
?????????? ????? $ r+1 $ ??? ???-?????? ?? $ v $ ???? ???? ?? ??? ?????? ?? $ v $ ??????? ??? ?????? ??
$ x_{r+1}v,\ldots ,x_{1}v $
????????. ??? ????
$ T_{1}-y_{0}y_{1}\ldots y_{l} $
 ????? ?? $ \mathcal{D} $ ???? ?? ???? $ x_{1}v $ ???? ???? ???? ?? ???? ????? ??? ????
  $ y_{0}=x_{1} $ ? $ y_{1}=v $.
???? ???????
 $ X=\left\lbrace x_{1},\ldots ,x_{r+1}\right\rbrace $.\\ 
?????
$ x'_{s},\ldots ,x'_{1}$
???????? ?? $ X $ ????? ?? 
$ V(T_1) $
?????? ?? ???????? ????????? ?? $ y_{1} $ ?? ???????? 
$ T_{1}-y_{0}y_{1} $
???? ?????. ??? ???? $ l_{0} $ ??????? 
$ y_{1} $
 ?? 
 $ x'_{1} $
  ??
$ T_{1}-y_{0}y_{1} $
 ? $ l_{i} $ ??????? $ x'_{i} $ ??
$ x'_{i+1} $
   ??
$ T_{1}-y_{0}y_{1} $
  ????
$ 0<i\leqslant s-1 $
 ???? (??? \ref{Mp3} ?? ??????). ??? ??? $ G $ ????? $ g $ ???? ?????
$ l_{0}\geqslant g-1 $ ? $ l_{i}\geqslant g-2 $
 ????  $ 1\leqslant i\leqslant s-1 $. ??? 
$ x'_{s},\ldots ,x'_{1} $
???????? ????????? ?? 
$y_1$
??
 $ T_{1}-y_{0}y_{1} $
???? ?????? ??:
\begin{equation*}
	l-1\geqslant \sum_{i=0}^{s-1}l_{i}\geqslant g-1+\left(s-1\right)\left(g-2\right)=s\left(g-2\right)+1 
	\end{equation*}
????????
 $ s\leqslant \frac{l-2}{g-2} $?
 ?? ???? ?????? 
 $ s\leqslant r $
. ???????????
  $ \vert X\vert=r+1>s $?
 ?? ????? ?? ??? ?? $ X $ ???? ???? ?? ???? ?? 
   $ T_{1} $
 ????? ??? ??? ?? $ x_{p} $ ????????.\\
??? ????
 $ T_{p}=z_{0}z_{1}\ldots z_{l} $
????? ??
 $ \mathcal{D} $ 
???? ?? ???? $ x_{p}v $ ???. ???? ???? ?? ????? ????? ??? ??????? ?? 
$ z_{0}=x_{p} $ ? $ z_{1}=v $. 
?????
 $ T'_{1}=x_{p}y_{1}\ldots y_{l} $ ? $ T'_{p}=x_{1}z_{1}\ldots z_{l} $ 
 ?????. ???? ????? ????? ??
 \linebreak 
  $\; \bar{T'_{1}}=\bar{T_{1}}-x_{1}v+x_{p}v\; $ 
   ?  
   $ \;\bar{T'_{p}}=\bar{T_{p}}-x_{p}v+x_{1}v\; $
? ??? ????
 $ \mathcal{D}'=\mathcal{D}-T_{1}-T_{p}+T'_{1}+T'_{p}\; $.
???????? ??????? ????? ??? ??
  $ \mathcal{D}' $
?????? ???. ???
 $ x_{p} \notin V(T_{1}) $?
 ?? 
  $ d_{\bar{T'_{1}}}\left(x_{p}\right)=1$?
?? ???? ?????? $ x_{p}v $ ??? ?????? ?? $ v $ ?? 
 $ \mathcal{D}' $
???. ????????? 
  $ \sum_{v\in V(G)}Hang\left(v,\mathcal{D}'\right)>\sum_{v\in V(G)}Hang\left(v,\mathcal{D}\right)$?
 ?? ?????? ?? ??????? ????
   $ \sum_{v\in V(G)}Hang\left(v,\mathcal{D}\right) $
???.
\end{proof}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8 \textwidth, height=0.2\textheight]{D://Mp3}
\caption{?????? ????? $ l $-??????? $ k $-???? ?? $ l $-??????? $-pre-(k+r)$????}
\label{Mp3}
\end{figure}
??? ???? $ l $ ??? ???? ???? ?????  ??????  ??????? $ l $-????? $ \mathcal{D} $ ?? ???? $ G $ ???? ???? ????? ???? ??
 $ v\in V(G) $
??? ??? ?????? ????: ??? $ T $?
 $ l $
-??? ?????? ?? ???? $ G $ ???? ?? ???? $ v $ ?? ????? ??? ????? ???? ????? ??? ?????? $ vw $ ?? $ v $ ?? 
$ \mathcal{D} $
 ???? ???? ????????????
  $w\notin V(T) $.\\
?? ???? ????? ???? ???? ???? ????? ??????? $ l $-??? ?? ????? ??????.
\begin{lemma}
\label{Lem22}
??? ???? $ g $? 
 $ k $
? $ l $ ????? ???? ???? ????? ? $ G $ ?? ???? ?? ??? ????? 
$ g\geqslant 3 $
 ????. ??? 
 $ k\geqslant \lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor $
? $ \mathcal{D} $ ?? ???????  $ l $-??????  $ k $-???? ?? $ G $ ????? ????? $ \mathcal{D} $ ???? ???.
\end{lemma}
 \begin{proof}
????? $g$?
 $ k $?
 $ l $? 
 $ G $ ? $ \mathcal{D} $
 ?? ?????? ??? ?? ? 
 $ v\in V(G) $
?? ???? ?????? ????????. ??? ??????? $ T $ ?? $ l $-??? ?? $ G $ ???? ?? ???? $ v $ ???????? ??? ????? ???. ???????? ?? ??? $ \mathcal{D} $? 
  $ k $
-???? ????? ????? ???? ?? $v$ ?? $G$? 
$Hang(v,\mathcal{D})>k$.
? ???????????
$ \mathcal{D} $?
$ \lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor$
-???? ???? ??
 $ Hang\left(v,\mathcal{D}\right)>\lfloor \frac{l-2}{g-2}\rfloor $.
??? ???????
 $ vw_{\lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor+1},\ldots ,vw_{1} $
 ??????? ?????? ?? $ v $ ?? $ \mathcal{D} $ ?????? ? ???? ??????? 
 $ W=\left\lbrace w_{1},\ldots ,w_{\lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor+1}\right\rbrace $.
???? ??????? 
$ w_{i}\in W $
 ???????????
  $w_{i}\in V(T) $? 
???? ????. ?? ??? ???? $ T $ ?? $ v $? ?? ???
  $ T_{1} $ ? $ T_{2} $
?? ?????? ???????? ?? ????????? ??????? 
   $ l_{1} $ ? $ l_{2} $
 ?????. ????? ???????? ?? $ W $ ?? $ T_{i} $ ?? ?? 
  $ s_{i} $
  ???? ???????.\\
????? ??? ????
 $ s_{1}\geqslant 1 $.
  ??? ???? 
$ w'_{s_{1}},\ldots ,w'_{1} $
 ???????? ?? $ W $ ??
  $ V\left(T_{1}\right) $
?????? ?? ???????? ????? ?? $ v $ ?? $ T_{1} $ ???? ?????. ??? ???? $ d_{0} $ ??????? $ v $ ?? $ w'_{1} $ ?? 
 $ T_{1} $
 ? 
$ d_{i} $
 ???????
$ w'_{i} $
  ?? 
$ w'_{i+1} $
?? $ T_{1} $ ???? $ i>0 $ ?????. ??? $ G $ ??? ????? $ g $ ????? ??
 $ d_{0}\geqslant g-1 $ ? $ d_{i}\geqslant g-2 $
  ???? 
 $ 1\leqslant i\leqslant s_{1}-1 $. 
????????? 
\begin{equation*} 
 l_{1}\geqslant \sum_{i=0}^{s_{1}-1}d_{i} \geqslant g-1+\left(s_{1}-1\right)\left(g-2\right)=s_{1}\left(g-2\right)+1
\end{equation*}
????????????? ???
 $ s_{2}\geqslant 1 $?
????? 
$ l_{2}\geqslant s_{2}\left(g-2\right)+1 $.
 ????????? ??? 
 $ s_{1},s_{2}\geqslant 1 $?
 ????? 
 $ s_{1}+s_{2}\leqslant \frac{l-2}{g-2} $.
??? ??? ???? $ s_{1}=0 $. ??? $ v $ ??? ????? ?? $ T $ ???? ??
 $ l-1\geqslant l_{2}\geqslant s_{2}\left(g-2\right)+1 $?
?? ???? ?????? 
   $ s_{1}+s_{2}=s_{2}\leqslant \frac{l-2}{g-2} $.
?? ?? ?? ???? ?????
 $s_{1}+s_{2}\leqslant \lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor $. 
??? 
$ \vert W\vert\geqslant  \lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor+1 $?
 ?? ???
   $ w_{i}\in W $
 ???? ???? ?? ???? ?? 
  $ T_{1} $ ?? $ T_{2} $
 ????. 
\end{proof}
 ????? ??????? ?? ???? ?? ???? $D$ ?? ??????? ?????? 
 $\mathcal{D}$?
  ????? ???? ?????? ?? $D$ ?? ?? ?????? ?????? ?? ?? ??
     $ \bar {D}$ 
   ????? ?? ?? 
   $\tau(D)$
???? ???????. ????? ??????? ?? ?? ??? ?????? ???? ?? ????? ???? ?? \ref{Lem22}? ??????? ??? ?? ?? \cite{WangH} ????? ??? ??? ? ????? ?????? ?? \cite{Wend1}? ????.
\begin{lemma}
\label{Lem23}
??? ????  $ k $  ?  $ l $  ????? ???? ? $ G $ ?? ???? ????. ??? $ \mathcal{D} $ ???????  $ l $-??????  $ k $-???? ???? ?? $ G $ ???? ? 
$ \tau(\mathcal{D})>0 $
? ????? ???????  $ l $-????? 
$ \mathcal{D}' $ 
?? $ G $ ???? ???? ?????????? ????? ??? ?????? ????.
\flushright
\begin{itemize}
 \item
$ \tau ( \mathcal{D}')< \tau ( \mathcal{D})$;
 \item
 ???? ?? $ v\in V(G) $?
 $ \mathcal{D}'(v)=\mathcal{D}(v) $;
  \item
  $ \mathcal{D}' $?
  $ k $
  -???? ???.
\end{itemize}
\end{lemma}
\begin{proof}
?? ????  \cite{WangH} ???? ????.
\end{proof}
?????? ??????? ???? ???? ????? ?? ??? ????? ??? ??? ?? ?? ?? ????? ?????? ?? ??????? ?????? $ l $-???? ?? ?? ??????? $ l $-?????? 
$ \lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor $
-???? ?? ????????? ?? ??? ????? $ g $?  ?????? ?????.
\begin{lemma}
\label{Lem24}
(?? ??? ????? ???? ????????? ?? ??? ???? ???). 
??? ???? $g $ ? 
 $ k $
 ? $ l $ ????? ???? ???? ? $ G $ ?? ???? ?? ??? ????? $ g\geqslant 3 $ ????. ??? 
$ k\geqslant \lfloor \frac{l-2}{g-2} \rfloor $
 ?
$ \mathcal{D} $?
???????  $ l $-??????  $ k $-???? ?? $ G $ ????? ????? $ G $ ?? ??????? ?????? $ l $-?????  $ k $-???? $ \mathcal{D'} $ ?? ???????? ?????????? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ G $?
  $\mathcal{D'}(v)=\mathcal{D}(v)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
????? $ g $?
 $ k $?
 $ l $?
 $ G $ ? $ \mathcal{D} $
?? ?????? ??? ?? ?????? ????????. ??? ??????? 
 $ \mathbb{D} $
 ????????? ?? ????? ?????????  $ l $-?????? $ k $-????
 $ \mathcal{D'} $
?? $ G $ ???? ?????????? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ G $?
 $\mathcal{D'}(v)=\mathcal{D}(v) $.
 (???????
$ \mathbb{D}\neq \varnothing $).\\
?????
 $ \tau^ *=\left\lbrace \min \tau\left(\mathcal{D'}\right):\mathcal{D'}\in \mathbb{D} \right\rbrace $
 ? ?????? 
 $ \mathcal{D}_{\min} $
????? ?? $ \mathbb{D} $ ???? ??????????
 $ \tau\left(\mathcal{D}_{\min}\right)=\tau^* $.
 ??? $ \tau^*=0 $? ????? 
 $\mathcal{D}_{\min}  $
  ??????? ?????? $ l $-???? ??? ? ????? ???? ??????. ??? ??? ???? 
  $ \tau^* >0 $.\\
   ??????? ?? ??
\ref{Lem22}?
 $\mathcal{D}_{\min}  $
  ??????? $ l $-????? ???? ???. ?????????? 
$ \tau\left(\mathcal{D_{\min}}\right) $
 ???? ???? ?????????? ?? \ref{Lem23}? (?? 
 $ G , l , k$ ? 
 $\mathcal{D_{\min}}$
 ??????????? ???)? ???????  $ l $-?????? $ k $-???? 
 $\mathcal{D'}  $
 ?? $ G $ ???? ????
??????????
  $ \tau\left(\mathcal{D'}\right)<\tau\left(\mathcal{D_{\min}}\right)=tau^* $
? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ G $?  
 $ \mathcal{D'}(v)=\mathcal{D}(v) $.
????????? $\mathcal{D'} $ ????? ?? $\mathbb{D}$ ??
 $ \tau\left(\mathcal{D'}\right)<\tau\left(\mathcal{D_{\min}}\right) $
 ???? ?? ?????? ?? ??????? ???? $ \tau^*  $ ???.
  \end{proof}
  \begin{theorem}
  \label{Thm25}
 (?????? ?-?????????? ?????).
 ?? ???? $ 2l $-????? ?? ????? ?? $ 2$-???????? ?? ????????.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
\textbf{????? ???.}
??? ???? $ G $ ?? ???? $ 2l $-????? ?? ??????? 
  $ v_{n},\ldots ,v_{1} $
 ????? ?? ????? ?? $ G $ ?????? ?? ?? ??? ?????? ?????? $ c $ ???. ???? ?? ?????? ?? ???? 
 ??????? $H$ ?? ?? ??????? 
 $ u_{n},\ldots ,u_{1} $
 ?
 $ w_{n},\ldots ,w_{1} $ 
 ????? ??????? ?
  $ u_{i}\leftrightarrow w_{j} $
?? ?????? ????????? ??? $ v_{j} $ ???????? ??? ?? $ v_{i} $ ?? ???? ???? ??? $ c $ ???? ???. ??? $ c $? 
 $ k' $
 ??? ?? ?? ??? ???? ? ???? ?????? ?? $ H $?
 $ k' $
 -????? ???.\\
 \textbf{???? ???.}
  ?? ?? ???? ?????? ????? ???? ???????. $ H $ ?? $ 1$-?????? $M$ ????. ??? ??????? ??
 $ w_{i} $
 ?? $ H $ ?? ??? ????? 
 $ v_{i} $
?? $ c $ ?????? ???. ???????? $ 1$-?????? ?? $ H $ ?? ?? ??????? ?????? $ 2$-????? ?? ??? ????? ????? ??????. ?? ????? ??????? ???? ?? ??????? $ G $? ?? $ 2$-?????? ?? $ G $ ?????? ??????.
  \end{proof}
  \begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=0.6 \textwidth, height=0.2\textheight]{D://mp5}
  \caption{???? 2-??????}
  \label{mp5}
  \end{figure}
 ???? ????? ?????? 
   \ref{Thm28}?
????? ????  $G$ ?? ?? ???????????? ????? ??????? ?? ???????? ?? ??? 3 ?? ??????? ?? ??? 3 ????????? ??? ?? ??? ????  
 $ \left\lbrace P_{3},C_{3}\right\rbrace$  
-???????? ?? ????? ??????? ?????????? 3-????? ?? 3-?????? ??????? ????.
\begin{theorems}
\label{Thmba}
??? ???? $ G $? ???? $ r $-?????? $ 2 $-??? ????? ?? $ r $ ??? ????? ????? ???? ?? $ k $?
 $ 0<k\leqslant \frac{2}{3}r $? 
 $ G $
  ?? $ k $-?????? ???? 
  \cite{Akl}.
\end{theorems}
\begin{lemma}
\label{Lem26}
??? ???? $ G $ ?? ???? $ 3m$-????? ????? ????. ??? $ m $ ??? ?? ??? ???? ? $ G $ ??? ???? ?????? ????? ????? $ G $ ?? $ m $-?????? ???? 
\end{lemma}
\begin{proof}
 ???? $3m$-????? ????? $ G $ ?? ?????? ??????. ??? $ m=2t $? ????? ??? ?????? \ref{Thm25}? 
 $ G $? 
$ 2 $-?????????? 
 $ F _ {3t}, \ldots , F _ 2, F _ 1 $
???? ?
$ H=\bigcup_{i=1}^{t}F_{i} $
 ??  $ m $-?????? ??? ($t$ ?? ?? ??? 2-???????? ?? ?? ?? $m$-?????? ?? ????????) ???.
??? $ m $ ??? ????? ?????????? ?????? ??????
 $ G $
 ?? $ 2m $-?????? $ M $ ????? ?????????  
 $ G-E(M) $
  ?? $ m $-?????? ???.
\end{proof}
\begin{theorem}
\label{Thm27}
??? ???? $ G $ ???? $ 3m $-????? ???? ? $ H $ ?? $ m $-?????? ?? $ G $ ????. ?????
 $ \left\lbrace P_{3},C_{3}\right\rbrace $
-???????
  $ \mathcal{P} $
?? $ G $ ???? ???? ???????????? ?? ???????? ?????? ?? ??? ?? $ H $ ?? ????? ????. ???????????? ??? 
$ e $
 ??? ????? ?? ?? ???? ?? 
$ \mathcal{P} $
 ????? ?????
  $ e\in E(H) $. 
\end{theorem}
\begin{proof}
??? ???? $ G $ ?? ???? $ 3m $-????? ?? $ m $-?????? $ H $ ????. ????? $ H' $ ?? ?? ??????? ???? ?? ??? 
$ v\in V(H) $
 ?? $ m $ ???
  $ X_{v}=\left\lbrace v_{1},v_{2}\ldots ,v_{m}\right\rbrace  $
????????. ??? $ uv $ ???? ?? $ H $ ????? ????? ??? $ uv $ ?? ?? ???
 $ u_{i}v_{j} $
???? ???? ?? $ i $?? ? $ j $?? ??????? ??????? ?????????? $ H' $? ????? ? ?? ?????? ?? ????. ?????? ??? $X$ ? $Y$ ?? ?? ???? 
 $ X=V(H') $
  ?
 $ Y=\left\lbrace e \;|\; e\in E(G)-E(H)\right\rbrace $
 ?????? ????????. ???
  $ G(H) $
 ?? ??
 \linebreak
$ V\left(G(H)\right)=X\cup Y $ ?
$ E\left(G(H)\right)=E(H')\bigcup \left\lbrace u_{i}e \;|\; u_{i}\in X ,\; e\in Y,\; G \; \text{??} \; u \; \text{???????  ??}\;  e \; \right\rbrace $
 ????????. ?????? ??????? ??
$ D=G(H)-E(H') $
 ?? ???? ??????? $ 2m$-????? ???. ??? ???? $ M $ ?? $ 1 $-?????? ?? 
 $D $
????? ????????? 
 $ M\cup E(H') $
 ?? $ P_{3} $-?????? $ F $ ?? $ G(H) $ ???. ??? 
 $ l=ev_{i}u_{j}e'\in F $?
  ????? ??????? $ l' $ ?? $ G $ ?? ?? ???????
   $ \left\lbrace e,vu,e'\right\rbrace $
????? ?? $ e $ ??????? ?? $ v $ ? $ e' $ ??????? ?? $ u $ ???. ???
$ \left\lbrace l':l\in F\right\rbrace $
 ??
 \linebreak
  $ \left\lbrace P_{3},C_{3}\right\rbrace $
-????? ?? $ G $ ???.
\end{proof}
\begin{theorem}[???????-???-??\footnote{Heinrich-Liu-Yu}? 1999]
\label{Thm28}
??? ???? $ G $ ???? $ 3m $-????? ????? ???? ????? ??? $ m $ ??? ? ???? ??? ???? ????? ?????
 $ G $
?? $P_3 $-??????? ?????? ?? ????????.
\end{theorem}
\begin{proof}
 
???? $ 3m $-????? $ G $ ??  $ m $ ??? ? ???? ??? ???? ?? ?????? ????????. ??????? ?? ??
 \ref{Lem26}? 
 $ G $? 
  ?? $ m $-?????? $ H $ ???? ? ??????? ??? ???? 
 \ref{Thm27}? 
   ?? 
$ \left\lbrace P_{3},C_{3}\right\rbrace $
 -???????
 $ \mathcal{P} $
?? ???????? ?????????? ?? ??????? ?????? ???? ?? ??? ?? $ H $ ??? ? ??????? ?? ??? ????? ?? $ P_{3} $?? ???? ???? ?? $H$ ???. ???? ????? ?????? ??? $ m=1 $?????? $ G $ ?? 
$ P_{3} $
-??????? ??????  ?? ???????? (??????
\footnote{Kotzig}?\cite{Sea1}).
 ????????? ??? ??????? 
$m\geqslant 2 $. 
 ??? ??? ????? ??????? ??? ?????????? ?? ????? ???? ?????????? ????? $ C_{3} $?? ??
$ \mathcal{P} $
 ?? $ 3 $-?????? ??????? ????. ??? ?? ????? 
 $P_3$??
  ??? ?????? ???? ?? $H$ ??? ? 
 $G-E(H)$? 
$2m$
-????? ???? ?? ?? ???? ??? ?????? $2m$ ???? ???????? ??????????? ??????? ????? ?????? ????? ???.\\  
??? ????
$ T=xyzx $  
 ?? ???? ??
  $ \mathcal{P} $
 ???? ? 
 $ xy\in E(H) $.\\  
??? ???
 $ e=xu\in E(H) $
???? ????? ???? ?????????? $ e $ ?? ???? 
$ xuvx\in \mathcal{P} $ 
???? ????? ????? ????? ??? ?? ???? ?? ?? $ 3 $-??????? $ vuxz $ ? $ vxyz $ ??????? ???????. 
?? ?????? ??? 
\ref{Thm27} 
??
 $\left\lbrace P_{3},C_{3}\right\rbrace $
-?????? ?????? ????. ????? ??????? ??? ???? ?? ??? ?? $ H $ ?? ??????? ?? $ x $ ?? $ y $ ????? ??? ????? ?? ?? ???? ?? 
$ \mathcal{P} $
 ???. ??? ????  $ e=xu $ ???? ?? $ H $ ???? ? 
$ P\in \mathcal{P} $
 ????? ???? ??? ??? ????. ??? 
 $ P=vxuw (w\neq z)$
 ? ??????????? 
 $ T\cup P $
  ?? ?? 
  $ wuxz $
   ? 
   $ vxyz $
    ??????? ???????.\\
  ????
   $P=vxuz$
 ???? ????? ?????????? ???. ?? ??? ???? ????? $P$ ?? ????? ?? ???? ?? $ T $ ???? ???? (???  
  \ref{mp4} $(a)$
 ?? ?????? ?? ???? ??????? ?????????? ???? ?? $ H $ ?????). ??? ??? ???? ?? ?? ???? $ P $ ??
  $ \mathcal{P} $
 ?? ???? $ x $ ?? $ y $ ???????? ??? ????? ???? ?? ????? ?? ???? ?? $ T $ ???? ????.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6 \textwidth, height=0.2\textheight]{D://mp4}
\caption{}
\label{mp4}
\end{figure}
?? $ H $? ?????  
$m+m-2=2(m-1)$
???? ????????? ??? $ xy $ ???? ???? ?? ??????? ?? $ x $ ?? $ y $ ?????. ????? ?? ??? ???????? ??? ????? ?? ???? $ P $ ?? 
$ \mathcal{P} $
????? ?? ?? ?? ????? ?? ???? ?? $ T $ ???? ?????. ??????????? ?? ????? ?? ??? ??????? ???? ???? $ z $ ????. ????????? 
 $ 2\left(m-1\right) $
???? ???? $ z $ ???? ????. ???????  $ m $ ??? ?? $ H $ ???? ???? ?? ??????? ?? $ z $ ????? ? ????????? ???????????? $ m $ ??? ??????? ?? $ z $ ??? ?? ?? $ H $ ??????. ??????? ?? ??? $ zx $ ? $ zy $ ?? ????? (???  
\ref{mp4} $(b)$ 
  ?? ??????). ????????? 
 \begin{equation*}
  \centering
   d(z)\geqslant 2\left(m-1\right)+2m+2=4m \text{?}
 \end{equation*}
  
 ?? ?????? ?? $ d(z)=3m $ ???. ????????? ????? ?? 
  $ \mathcal{P} $   
 ???? ????? ?? ????  $x$ ?? $y$  ?? ????? ??? ????? ???? ? ???? ?? $T$ ?? ????? ?? ???? ????? ????. ????? ???? ??????.
 \end{proof}
\begin{proposition}
\label{Pro29}
?? ???? $ 4m $-????? ?? $ P_{2} $-????? ?????? ?? ????????.
\end{proposition}
\begin{proof}
??????? ?????? ?? $ G $ ?? ?????? ????????. ??? $ G $?  
 $4m$
-????? ???? ?? ???? ?? 
$ v\in V(G) $?
 $ d^{+}(v)=d^{-}(v)=2m $. 
???? ??
 $  v\in V(G) $?
???????? ??????? ????? ?? $ v $ ?? ?? $ m $ ???? ?? ??? $ 2 $ ????? ???????. ????? ??? $ 2 $-??????? ??????? ??????
 $ \mathcal{D} $
?? ????? ??????? ? ???? ????? ????? ?? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ V(G) $?
   $ \mathcal{D}(v)=d^{-}(v)=2m $. 
    ??? ????? ????? ???????.
\end{proof}
?????? \ref{Thm28} ? ??????? \ref{Pro29} ????????  ????? ?? ???? \ref{Thm210} ???? $ l=3 $ ? ????? ?? ???? \ref{Thm211} ???? $ l=2 $ ?????. ?????? ????? ???? ??? ??? ???? ?????? \ref{Thm210} ?  \ref{Thm211} ?? ?? ??????? ???  $l$ ????? ???????.
\begin{theorem}
\label{Thm210}
??? ???? $ g $?
 $ l $
? $ m $ ????? ???? ???? ????? ?????????? 
 $ g\geqslant 3 $?
 $ l $
 ??? ? 
 $ m> 2\lfloor \frac{l- 2}{g-2} \rfloor $
??????. ??? $ G $ ?? ????  $ ml $-????? ?? ??? ?????  $ g $ ???? ?? ???? ?? $ m $-?????? ???? ????? $ G $ ?? $ P_{l} $-??????? ?????? ?? ????????.
\end{theorem}
 \begin{proof}
?? ??????? ??? $ l $ ????? ???????. ??? ?????? 
 \ref{Thm28}?
????? ???? $ l=3 $ ?????? ???. ??? ???? ??? ???? $ l =2 $ ???? ????? ???? ??? ?? ???? 
  $ l\geqslant 5 $
????? ???????. \\
 ??? ???? $ M $ ?? $ m $-?????? ?? $ G $ ????. ??????????? 
 $G-E(M)$?
???? 
$m(l-1)$
-????? ??? ? ??? ?????? 
\ref{Thm25}? 
 ???????
  $ \left\lbrace F_{1},\ldots , F_{\frac{(l -1)m}{2}}\right\rbrace  $
?? $ 2 $-???????? ?? ????????. ??? ???? $ H $ ??????? ?? $ m $ ?? ?? ??? ???????? ????? 
?????????? $ H $?
  $2m$
-?????? ?? $ G $ ???. ???  
$ G'=G-E(H) $
 ?? ???? $ m(l -2) $-????? ?? ??? ????? $ g $ ? ???? ?? $ m $-?????? ???. ???? ????? ????? ???
  $ m> 2\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor \geqslant 2\lfloor \frac{l- 4}{g-2}\rfloor $.
????????? ?????????? ??? ????????  $ G' $?  ?? ??????? ?????? $ (l-2)$-???? ?????? $ \mathcal{D} $ ?? ????????.\\
 ???? ??????? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ V(G) $? 
  $\mathcal{D}(v)=m $.\\
??? ???? 
$ |V(G)|=n $.
 ???? ????? ????? ?? $ G' $ ???? 
$ \frac{nm(l -2)}{2} $
 ??? ???? ??? $ \mathcal{D} $ ????
  $ \frac{nm}{2} $
 ???? ?? ???
  $l-2$
???. ?????????  
  $\sum_{v\in V(G)}\mathcal{D}(v)=2|\mathcal{D}|=nm $. 
 ??? $ \mathcal{D} $ ?????? ???? ???? ?? ??? $ u $ ?? $ V(G) $ ??????
$\sum_{v\in V(G)}\mathcal{D}(v)=n\mathcal{D}(u)$.
 ????????? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ G $? 
   $ \mathcal{D}(v)=m $.
??????? ?????? ?? ???? $ H $ ?????? ???????
$(d_{H}^{+}(v)=d_{H}^{-}(v)=m)$.
 ???? ????? ????? ?? 
$ d_{H}^{+}(v)=m=\mathcal{D}(v) $.
 ????????? ????????? ?? ????? $ P$ ?? 
 $ \mathcal{D} $
?? ?? ????? ???? ???? ?? $ H $ ?? ?? ??? ?????? $P$ ????? ???? ? ???????  $ l $-??? ?????? ?? ?????? ?????. ??????? ?????? ?????? ???? ?? 
 $ \mathcal{D}'$
????????. ???? ????? ??? $H$ ?? ??????? ?????? ????? ?? ???? ?? ??? $ v $ ??
$V(G)$
$\mathcal{D}'(v) =d_{H}^{-}(v)=m $.
?????????
$ \mathcal{D}' $
 ?????? ???. ???? ??????? 
$ r=\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor  $
? 
   $ k=m-r-1 $.
???? ????? ????? ?? 
$ k=m-r-1>2\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor-\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor -1=\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor -1$?
 ??
  $k\geqslant \lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor $. 
??? ????? ??? ???-??????? ???????? ?? $ H $ ?? ??? ???? ????? $ v $ ?? ?? $ G $ ??? ???????? ?????? ??????? ???-?????? ??  $ v $  ?? 
$ \mathcal{D}' $ 
 ?????? ??? 
$ PreHang(v,\mathcal{D}')\geqslant m> m-1 $.
 ????????
 $ \mathcal{D}' $? 
  $-pre-(m-1)$
???? ???. ?????????? ??
 \ref{Lem21} 
 (??? $ g$?
  $ k $?
  $ l$ ? $ r $
 ??????????? ???)? ???? $ G $? ??????? $ l $-??????  $ k $-???? ??????
  $ \mathcal{D}'' $
?? ????????. ???
  $ k\geqslant \lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor$?
?????????? ?? \ref{Lem24}? ????? ???????? ?? $ G $? ??????? ??????  $ l $-?????  $ k $-???? ??????  ?? ????????.
 \end{proof}
 ????? ?????? \ref{Thm211} ????? ????? ?????? \ref{Thm210} ??? ? ?? ??????? \ref{Pro29} ?????? ?????? \ref{Thm28} ??????? ??????.
 \begin{theorem}
 \label{Thm211}
 ??? ???? $ g$?
  $ l $ ? $ m $
 ????? ???? ???? ????? ?????????? 
 $ g\geqslant 3 $
  ? 
  $ m> \lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor $.
   ??? $ G $ ?? ????  $ 2ml$-????? ?? ??? ?????  $ g $ ????? ????? $ G $ ?? $ P_{l} $-??????? ?????? ?? ????????.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
???? ?? ?????????? ??????? ??? $ l $ ????? ???????. ??? ??????? 
  \ref{Pro29}?
 ????? ???? $ l=2 $ ?????? ???. ??? ???? ??? ???? $ l-2 $ ???? ???? ? ?? ?? ????
  $ l\geqslant 5 $
????? ?? ????.\\
??? $ G $ ?? ???? $2ml?$-????? ???? ??? ??????
   \ref{Thm25}? 
 $G$ 
 ???????  
 $ \left\lbrace F_{1},\ldots, F_{ml}\right\rbrace $
  ?? $2$-???????? ?? ????????. ??? ???? $ H $ ??????? ?? $ 2m $ ?? ?? ??? ???????? ????? 
 ???????? $ H $? 
 $-4m$
?????? ?? $ G $ ???. ?????????? 
 \linebreak 
 $ G'=G-E(H) $
 ?? ???? 
 $2m(l-2)$
-????? ?? ??? ????? $ g $ ???. ???? ????? ????? ??
\linebreak
$ m>\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor \geqslant \lfloor \frac{l- 4}{g-2}\rfloor $.
 ????????? ??????????  ??? ???????? $ G' $?  ??????? ?????? $ (l-2)$-???? ??????
  $ \mathcal{D} $
?? ????????.\\
 ???? ?? ???? ???? ?? ??? $v$ ?? $V(G)$?
 $ \mathcal{D}(v)=2m$.\\
??? ????
 $ |V(G)|=n $.
  ???? ????? ????? ?? $ G' $ ????  
  $nm(l -2)$
??? ???? ?????????? $ \mathcal{D} $ ???? $ nm $ ???? ?? ??? 
$l-2$
???. ????????? 
$ \sum_{v\in V(G)}\mathcal{D}(v)=2|\mathcal{D}|=2mn$.
 ??? $ \mathcal{D} $ ?????? ???? ???? ?? ??? $ u $ ?? $ V(G) $ ??????
$\sum_{v\in V(G)}\mathcal{D}(v)=n\mathcal{D}(u)$.
 ????????? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ G $?
   $ \mathcal{D}(v)=2m $.
??????? ?????? ?? ???? $ H $ ?????? ???????
$(d_{H}^{+}(v)=d_{H}^{-}(v)=2m)$.
 ???? ????? ????? ??
  $ d_{H}^{+}(v)=2m=\mathcal{D}(v) $.
 ????????? ????????? ?? ????? $ P $ ?? $ \mathcal{D}  $ ?? ?? ????? ???? ???? ?? $ H $ ?? ?? ??? ?????? $ P $ ????? ???? ? ???????  $ l $-??? ?????? ?? ?????? ????????. ??????? ?????? ?????? ???? ??
  $ \mathcal{D}'$
 ????????. ???? ????? ??? $ H $ ?? ??????? ?????? ????? ?? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ V(G) $? 
  $  \mathcal{D}'(v) =d_{H}^{-}(v)=2m $.
 ????????? 
 $ \mathcal{D}'$ 
?????? ???. ???? ???????
  $ r=\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor  $
? 
   $. k=2r-m-1 $
 ???? ????? ????? ?? 
$ k\geqslant \lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor $. 
?????????? ????? ??? ???-??????? ???????? ?? $ H $ ?? ??? ???? ????? $ v $ ?? ?? $ G $ ??? ???????? ?????? ??????? ???-?????? ?? $v$ ??
$\mathcal{D}'$
 ?????? ??
$ Prehang(v,\mathcal{D}')\geqslant 2m > {2m-1} $. 
????????? $ \mathcal{D}' $? 
 $-pre-(2m-1)$
???? ???. ??? ?? \ref{Lem21} ( ?? $g $?
 $ k $?
 $  l$ ? $ r $
 ??????????? ???)? ???? $ G $? ??????? $ l $-??????  $ k $-???? ??????
   $ \mathcal{D}'' $
 ?? ????????. ??? 
$ k\geqslant \lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor  $?
 ?????????? ?? \ref{Lem24}? ????? ???????? ?? $ G $?  ??????? ?????? $ l $-????? $ k $-???? ??????  ?? ????????.
  \end{proof}
\begin{remark}
\label{Rem212}
?? ????? ?????? \ref{Thm210} ? \ref{Thm211}  ????????? ??? $ m $ ????? ??? ???. ??? ???? ???? ???????? ???? ??? ??? ?? ?????? ??? ??? ???? ????. ?????? ????? ??????? ?? ?????? \ref{Thm210} ( ??????????. ?????? \ref{Thm211}) ??????
 $ m>2\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor $ 
( ??????????. 
$ m>2\lfloor \frac{l- 2}{g-2}\rfloor $)
 ?? ?? ???????
$ g>\frac{2l+2m-4}{m} $ 
(??????????. 
$ g>\frac{2l +2m-4}{m} $)
 ??????? ???.
\begin{align*}
g>\frac{2l+2m-4}{m}&\longleftrightarrow gm>2l+2m-4\longleftrightarrow gm-2m>2l-4\\ \longleftrightarrow &m(g-2)>2(l-2)\longleftrightarrow m>2\frac{l-2}{g-2}
\end{align*}
\end{remark}
 ???????? ????? ?? ??? ??? ????? ????. ??????????? ?????? ???? ???? ????? ?????? ???????? ?? ?? ????? ???? ??? ???? ???????? ??????? ???? ?????? ??????? ????? ???? ?????? ????? ????? ???????. ??????? ??? ??????? ????? ?????? ?? ????? ?????????: ???? ????? $ l =5 $? $g=4  $ ? $ m=3 $ ????????? ?????? \ref{Thm210} ?? ??????? ???????? ??? ???? $ l =5 $ ? $ m=3 $? ??? 
$ g>\frac{2l+2m-4}{m} $
 ?? ????? ????? ?????? ????? ??
  $ g\geqslant 5 $
 ????. ?????????????? $ l =5 $?
$g=4 $
?
$ m=2 $
????????? ?????? \ref{Thm211} ?? ??????? ???????? ??? ????
$ l =5 $ 
  ? $ m=2 $? ??? 
 $ g>\frac{2l +2m-4}{m} $
?? ????? ????? ?????? ????? ?? $ g\geqslant 4 $ ????. ?????????? ??? ??????? ???? ???????? ????? ????? ??? ???????? ????? ?? ?? ????? ??? ???? (????? ??????) ??? ???????? ?????? ????. 
 \section{?????? ???????? ????? ?? ??? ????? $l-1$}
 \label{Sec3}
?? ??? ???? ????? ??????? ?? ???? ??? ??? \ref{Conj13} ???? ?????????? ?? ??? ????? $ l -1 $ ?????? ???. ??????? ?????? ??????? ?? ?????????? ????? ???????? ????? ????? ??????? ????? ???? ?? ???? ? ???  \ref{Conj13} ???? ???? ???? ????????? ?????? ???. \\
?? ???? ? ???  \ref{Conj13} ???? ???????. ???????? ?? ?? ??? ??? ????? ??? ?? ????? ?? $ m=1 $ ????? ??? ??? ?????? ?? ???  \ref{Conj11} ????? ???? ?? ???? ?????-???? 
 \cite{Sea2}  
 ???? ??? ??? ? ?? ?? «?? ???? $ 2l $-????? ?? $ P_{l} $-??????? ?????? ?? ????????».
????? ? ???? ??? \ref{Conj11} ?? ???? ???? ???? ?? ??? ????? 
$\frac{l+3}{2}$
????? ????????. ??? \ref{Conj11}? ?? ????? ?? $ l=4 $ ????? ?? ??? ??? ????? ??? ??? ? ?? ????? ??
$l\geqslant 5$?
?????  
$\frac{l+3}{2}\leqslant {l-1}$.
?? ???? ?? ???? ???? ??? ?????? ??????? ??? ?? ?????? ????????. 
\begin{theorem}
\label{Thm31}
?? ???? $ 2l $-????? ?? ??? ????? $( l -1 )$?  ??  $ P_{l} $-??????? ?????? ?? ????????.
\end{theorem}
\begin{proof}
?? ?????  \cite{Wu2} ?  \cite{Sea2}  ?????? ????.
\end{proof}
????????? ????? ????????? ???? ? ??? \ref{Conj13} ?? ???? $ m=1 $? ???? ?????????? ?? ??? ????? $ l -1 $ (?????? ???? ??????? ?? ??? ????? $ \frac{l+3}{2}$) ?????? ???.\\  
?????? ??? ???? ??? ???  \ref{Conj13} ????? ???????. ??? ?? ???????? $ ml $-????? ?????????? ?? ???? $ m $-?????? ? ??? ????? $ l -1 $ ?? $ l $ ??? ?????.\\
????? ???? ???? ?? ?????? \ref{Thm31} ???? ?????? ?? ???? ??? ???  \ref{Conj13} ??? ???? $ m=2 $ (?? ??? ????? ?????? ?????????? ?????? ???? ?? $ 2 $-?????? ?? ????? ??????) ???? ????????? ?? ??? ????? $ l-1 $ ?????? ???. ???? ??????? ?? ?????
 $ m\geqslant 3 $
? $ m=1 $ ??????????.
\flushright
\begin{itemize}
\item[???)]
???? $. m\geqslant 3 $
 ??????? ??? ???????? ?? ??????
  \ref{Thm210}
???? ????? ????: «??? ???? $ l $ ??? ???? ???? ??? ????. ??? $ G $ ?? ???? $ ml $-????? ?? ??? ????? $( l -1 )$ ???? ? ???? ?? $m$-?????? ?????   ?????  $ G $ ??  $ P_{l} $-??????? ?????? ?? ????????». ????????? ???? ??? ??? 
\ref{Conj13}
???? 
 $ m\geqslant 3 $
? ????????? ?? ??? ????? $ l -1 $ ?????? ???.
\item[?)]
???? $m=1 $.
????? ?? ????? $ P_{l} $-?????????? ?? ???????? $ l $-?????  ?????????? ?? ???? ??????? ??? ? ??? ????? $ l -1 $ ?? $ l $ ??? ?????. ?????? ??????? ????? ??? ?? 
\cite{Wu1}
?? ??????? ??????? ?? ?? ?? «?? ???? $ 5 $-????? ????-???? ?? ???? ?? ??????? ??? ????? ?? $ P_{5} $-????? ?? ????????.»
\end{itemize}
?????? ???? ?? ?? ??? ????? ??????? ??? ????? ?? ????? ??????.
\begin{theorem}
\label{Thm32}
??? ???? $ l $ ??? ???? ???? ??? ????. ??? $ G $? ?? ????  $  l $-????? ?? ??? ????? $ l -1 $ ???? ?? ???? ?? ??????? ??? ???? ?????  $ G $ ?? $ P_{l} $-????? ?????? ?? ????????.
\end{theorem}
??? ???? ???? ?????? ?? ??? ???? $G$ ????? ??? ????? $ l-1 $ ????? ???? ??? ???
 \ref{Conj13}
 ????  $ m=1 $ ?????? ???. ???????? ??? 
\ref{Conj12}
 ???? ???? ???? ????????? ?????? ???.\\ 
   
?? ??? ??? ???? ?? ?????? ?? ????? ?????? ??? ?? ????? ???? ?? ???? ???????? ??? ?????? 
\ref{Thm32}
?? ????? ???????.\\

 ??? ???? 
 $ \mathcal{D} $
 ??????? ?????? ?? ???? $ G $ ????. ???
  $ T=x_{0}\ldots x_{l} $
????? ??
   $ \mathcal{D} $
 ???? ?? ?? ???? ?? ????? ???????? ????? 
 $ x_{l}=x_{1} $. 
 ?????? $ x_{2} $ ??? ????? ?? $ T $ ? $ x_{1} $ ??? ????? ?? $ T $ ???. ???????
  $ \mathcal{D} $
 ??? ?????? ?????? ??? ????? ??? ?????? ????:
\flushright
\begin{itemize}
\item[???)]
?????? ?? ??? ???-?????? ?? ?? ??? $ v\in V(G) $ ???? ???? ?? ??? ????? ???? ?? ?????
 $ \mathcal{D} $
???.
\item[?)]
?? ??? ?? $ G $? ??? ????? ?????? ?? ???? ?? 
$ \mathcal{D} $
???.
\item[?)]
???
$ Q\in \mathcal{D} $
???? ?? ??? ???-?????? ?? ??? ????? 
$ T\in \mathcal{D} $
????? ????? $ Q $ ???? ???? $ T $ ????.
\end{itemize}
????????????? ????? ?????? ?? $ \mathcal{D} $ ?? ?? ???? ?? ?? $ G $ ????? ????????? ??
 $ \tau(\mathcal{D}) $
 ???? ??????? ( ???? ????? ????? ?? ??? ????? ?? ????? $ \tau $ ???? ??? ?? ??? 
\ref{Sec2} 
 ??????? ????).
\begin{proof}
????? ?? ?? ??????? ??? $ l $ ????? ???????.\\
???? $ l =3 $ ?? 
\cite{Kan1} ? \cite{Tho2}
 ????? ??? ???? ???????? ??? ???? 
 $\; l\geqslant 5 $.
????? $ G $ ???????? ???? ?? ?? ???? ???? ???? ?? ? $ M $ ?? ??????? ??? ?? $ G $ ????. ???? 
$ G'=G-E(M) $
 ?? ?? ??? ???? ??????? $ M $ ?? $ G $  ?????? ?? ???? $l-1 $-????? ???. ?????????? ?????? ?????????? ?????? 
$ G' $
???? $ 2$-?????? $ F $ ???. ????????? ???? 
$ G-E(F) $
 ?? ????  $(l -2) $-????? ?? ??? ????? $ l -1 $  ???. ???????? ?????????? ??? ??????? ????? ???????? ??
  $ G-E(F) $? 
 ??????? ?????? 
 $ \mathcal{D} $
?? ???????? ?? $ (l-2)$-???? ?????? ???. ???
$\sum_{v\in V(G)}\mathcal{D}(v)=2|\mathcal{D}|=2\frac{|E(G)|}{l -2}=n$
 ?  $ \mathcal{D} $ ?????? ???? ?? ???? ?? ??? $ v $ ?? $ V(G) $ ????? 
 $ \mathcal{D}(v)=1 $.
?? ??????? ?????? ?? ??????? $ F $ ?? ????? ??? ?? ???? 
$ P=x_{1}\cdots x_{l -1} $
 ?? 
 $ \mathcal{D} $
  ?? ?? ?? $ l $-??? ??????? 
$Q_p=x_{0}x_{1} \cdots x_{l-1}x_{l}$ 
 ????? ??????? ?????????? 
 $ x_{1}x_{0} $
  ?
$ x_{l -1} x_{l}$
???????? ?? $ F $ ????? ?? ???????? ???? $ x_{1} $ ? $ x_{l -1} $ ?? ??? ???????. ???? ????? ?????? ??? $ G $ ??? ??????? ?????? ??
 $ x_{l}\neq x_{l-2} $?
? ???
 $ x_{l} =x_{1}$?
  ????? 
$ x_{0}\neq x_{l-1} $.
????????????? ??? $ G $ ????? ??? ????? $ l-1 $ ???? ??
 $ x_{l} $
????????? ?? ?????? ?? ???? ????? ???? $ P $ ????? ????. ?????????? ?????? ??????? ?????? ???? 
$ x_{0} $
 ?????? ???. ????????????? ??? $ F $  ??????? ?????? ????? ?? 
$ x_{0}\neq x_{l} $.
?? ?????? ??? ?? ???????? ??? ???? $ Q_{p} $ ?? ??????:\\
(???) ????? ??????? $ Q_{p} $ ????????? (?) $ x_{l} =x_{1} $? (?) $ x_{0} =x_{l-1} $.\\
?? ???? (???)? $ Q_{p} $ ????? ?? $ l $ ??? ???? ?? ???? (?)? $ Q_{p} $ ?? ??? 
$ T=x_{0}x_{1}\ldots x_{l-1}x_{1} $
 ??? ? ?? ???? (?)? $ Q_{p} $ ??? 
 $ T'=x_{l-1}x_{1}\ldots x_{l-1}x_{l}  $
???. ??????????? $ (l-2)$-???? ?? 
$  \mathcal{D} $
 ?? $ l $-??? ?????? ????? ???????. ???????  $ l $-????? ?????? ???? ??
$\mathcal{D}' $
 ????????. ??? ???? ?? ??? $ v\in V(G) $?
  $ \mathcal{D}'(v) =d_{F}^{-}(v)=1 $? 
  ?? ?????? ?? ??? ???-?????? ?? ?? $ v\in V(G) $ ??
  $\mathcal{D}'$
   ???? ????. ??? ????? ??????? ?? 
 $ \mathcal{D}' $
  ??? ???. 
  \begin{itemize}
  \item[???)]
 ??????? ?? ????? ??? ??? ???? ???.
 \item[?)]
 ?? ??? ?? $ G $? ??? ????? ?????? ?? ???? ?? $ \mathcal{D}' $ ???.\\
  ???? ?????? ??? ???? ???? ?? $ G $ ???? ???? ?? ??? ????? ?? ???? ?? $ \mathcal{D}' $ ????  ??????????? ??? (???) ???? ???? ?? ???? ?? ??? ?? ????? ?? ??? ???-?????? ?? ??? ????? ???? ????? ????. ?? ??? ?? 
$d_{F}^{+}(v)=1$
 ?? ????? ???. 
\item[?)]
??? ????
 $Q\in \mathcal{D^{'}}$
 ???? ??? ???-?????? ?? ??? ????? ????
  $T\in \mathcal{D^{'}} $
????? ??? $G$ ??? ??????? ????? ? ??? $G$ ????? $l-1 $ ???? ?? ?????? ?? ???? $Q$  ?????????? ?? ???? $T$ ????? ?????? ?? ?????? $Q$ ???? ???? $T$ ????. ????????? ???????  $l$-????? 
$\mathcal{D^{'}}$
 ??? ???.
\end{itemize}
??? ???? $\mathcal{D^{''}}$ ???????  $l$-??? ??????? ??? ???? ?? 
$\tau(\mathcal{D^{''}})$
?? ?????? ??????. ??? 
$\tau(\mathcal{D^{''}})=0$?
 ????? 
$\mathcal{D^{''}}$
 ?? ????? ?? $l$-???? ??? ? ??? ???? ??????. ???????? ?????????? ?????? ??? ????
 $\tau(\mathcal{D^{''}})>0$ .\\
??? ???? 
$T=x_{0}...x_{l}$
????? ?? $\mathcal{D^{''}} $ ???? ?? ?? ???? ?? ????? ???????. ????? $Q$ ????? ?? $\mathcal{D^{''}}$ ???? ?? ???? ???  ???-?????? (????) ?? $x_{2}$ ???. ???????????? ????? $(T,Q)$ ?? ??? ??  $\mathcal{D^{''}} $ ???. ???????????? ?? ??? $(T,Q)$?
 $T$ ? $Q$
?? ????????? ???? ? ??????? ?? ??? $(T,Q)$ ????????. ??????? ?? ????? ?????? ??? $P_{l}$?? ????? ??? ???? ?? $\mathcal{D^{''}} $ ???? ? ????????? ??? ?? 
 $1$.$5$ 
 ??   
\cite{Wu1} 
 ? ??? $P_{l}$??  ?????? ??? ???? ??
  $ \mathcal{D^{''}} $
????. ????????? ?? ?????? ??? ????? ?? ??? $l$ ???? ?????.\\
??? ???? $H$ ???? ??????? ???? ???? ?????????? ???????? ?????? ?? 
 $\mathcal{D^{''}} $
???? ? ???? ?? ??? $(T,Q)$ ??
 $\mathcal{D^{''}} $?
?? ??? ?????? ?? $T$ ?? $Q$  ???? ?? ????. ????????? ??? $T$ ?? ???? ?? ????? ????? ????? 
$d_{H}^{+}(T)=1$?
 ?? ??? ????????? 
 $d_{H}^{+}(T)=0$
 (??? $T$ ?? ???? ?? ????? ???? ??????????? $T$ ?? ??? ???? ?? $\mathcal{D^{''}} $ ???? ????? ?? $d_{H}^{+}(T)=0$ ????? ???? ????????????? $T$ ?? ??? ???? ?? $H$ ???). ???? ?? $T$ ??  
 $\mathcal{D^{''}}$? 
   ???? ??????? ?? 
 $d_{H}^{+}(T)-d_{H}^{-}(T)\leqslant 0$ . \\
 ?????????? ?????? ??? ???? ???? $T$ ?? $\mathcal{D^{''}}  $ ???? ???? ??????????
 $d_{H}^{+}(T)=1$ ? $d_{H}^{-}(T)=0$. 
  ?????????? $T$ ?? ???? ?? ????? ???????? ??? ???? 
  $T=x_{0}...x_{l}$
 ? 
 $Q=y_{0}...y_{l}$
 ???? ?????????? $(T,Q)$ ?? ??? ? 
 $y_{1}y_{0}$
  ??? ???-?????? ?? 
  $y_{1}=x_{2}$
 ????. ????? ???? $T^{'}$ ? $Q^{'}$ ?? ?? ?????? ??? 
 $\bar{T^{'}}=\bar{T}-x_2x_1+x_2y_0\;$ 
 ? 
 $ \bar{Q^{'}}=\bar{Q}-y_1y_0+y_1x_1\;$
 ????????. ??????? $T^{'}$ ?? ???? ?? ????? ??????? ??
  $\mathcal{D}^{*}=\mathcal{D^{''}}-T-Q+T^{'}+Q^{'}$
 ?? ??????? $l$-??? ??????? ??? ??? ?????????? 
 $\tau(\mathcal{D}^{*})\leqslant\tau(\mathcal{D^{''}})-1$?
 ?? ?????? ?? ??????? ????  $\mathcal{D^{''}} $ ???. ????????? ???? ?? $T$ ??
   $\mathcal{D^{''}}$? 
   $d_{H}^{+}(T)-d_{H}^{-}(T)\leqslant 0$.
??? 
$\sum_{T\in \mathcal{D^{''}}}d_{H}^{+}(T)=\sum_{T\in \mathcal{D^{''}}}d_{H}^{-}(T) $?
?? ???? ?? 
$T\in \mathcal{D^{''}}$
 ??????
$d_{H}^{+}(T)-d_{H}^{-}(T)= 0$? 
 ???? $H$ ???? ??????? ??????? ??? ???? (? ??????? ???? ?? ????????? ???? ?? $\mathcal{D^{''}}$ ?????) ??? (??? 
 \ref{dic}
 ?? ??????).
\begin{figure}[H]
\centering
\subfigure{
\includegraphics[width=0.25 \textwidth, height=0.15\textheight]{./mp87}}
\label{mp87}
\hspace*{1cm}
\subfigure{
\includegraphics[width=0.25 \textwidth, height=0.15\textheight]{./mp88}}
\label{mp88}
\caption{????? ???? ?????? $H$? ?? ??? ?????$\mathcal D^{''}$.}
\label{dic}
\end{figure}
 ????? ?? ??? ?? ?????? ?? ?????? ????????. ??? ???? $(T, Q)$ ?? ??? ???? ?? 
 $T=x_0...x_{l}$
  ? 
 $Q=y_{0}...y_{l}$  
   ?? 
 $x_{l}=x_1$
    ? 
 $y_{l}=y_1$.
 ???? ????? ????? ?? $x_2 $  ??? ????? ?? $T$ ???. ??? 
 $y_1=x_2$
 ????? ????? ??? $(T, Q)$ ?? ?? ??? ?? ????????  ? ???  
$y_{l-1}=x_2$
   ???? ?????  $(T, Q)$  ?? ?? ??? ?? ???????? (???
 \ref{mp6}
    ????????).
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6 \textwidth, height=0.15\textheight]{D://mp6}
\caption{???????? ?? ??? ?? ? ??}
\label{mp6}
\end{figure}
??? ????
 $T_0...T_{k-1}$ 
???? ?? ????? $\mathcal{D^{''}} $ ????? ??  
$(T_{i},T_{i+1})$
 ????
$i=0,..., k-1$
 ?? ??? ?? 
 $\mathcal{D^{''}} $
??? (???? ??????? ?? ?? ???????? $k$ ??????). ??? ???? ???  $(T_0,T_1)$ ?? ??? ?? ???? ? 
 $\;T_{0}=x_0...x_{l}\;$
  ? 
  $\;T_1=y_0...y_{l}\;$ 
  ???? ??????? ?????????? 
 $x_{l}=x_1$ ? $y_{l}=y_{1}=x_2$.
 ??? ????
 $\;T_0^{'}=x_0x_{l}x_{l-1}...x_{2}y_{0}\;$
  ? 
 $\;T_1^{'}=x_1y_{1}y_{2}...y_{l}\;$ 
  ?????. ???? ???? ??  
$\;\bar{T^{'}}_{0}=\bar{T{0}}-x_{2}x_{1}+y_{1}y_{0}\; $
 ?
$\;\bar{T^{'}}_{1}=\bar{T{1}}-y_{1}y_{0}+x_{2}x_{1}\; $. 
????????? 
 $\;\mathcal{D}^{*}=\mathcal{D^{''}} -T_0-T_1+T_{0}^{'}+T_{1}^{'}\;$
 ?? ???????  $l$-??? ??????? ??? ??? ?????????? 
 $\tau(\mathcal{D} ^{*})=\tau(\mathcal{D}^{''})-1$?
?? ?????? ?? ??????? ????
   $\tau(\mathcal{D^{''}})$
???. ???? ??? ???? 
$(T_{i},T_{i+1})$
 ???? ??
$i=0,..., k-1$
?? ??? ?? ???. ??? $k$ ??? ????? ????? ??????? ??? 
 $T_{2i}\;,\;T_{2i-1}$
?? ???? 
 $i=0,...,\frac{k}{2} $ 
 ?? ??? ??? ????? ???????:
 $\;T_{2i-1}=x_0...x_{l}\;$ ? $T_{2i}=y_0...y_{l}\;$
???? ??????? ?????????? 
$y_{l-1}=x_2, y_{l}=y_{1} , x_{l}=x_1$.
 ???? 
$ T_{2i-1}^{'}\;$
?
$\;T_{2i}^{'}$
?? ???? ?????? ???????? ?? 
$\;\bar T_{2i-1}^{'}=\bar T_{2i-1}-x_2x_1+y_{l-1}y_{l}\; $
? 
$\;\bar T_{2i}^{'}=\bar T_{2i}-y_{l-1}y_{l}+x_{2}x_{1} \;$ 
  (??? 
\ref{mp7} 
$ (a)$ ? $ (b) $
 ?? ??????). ??? ??? ????? $k$ ??? ????. 
$\;T_{0}=x_0...x_{l}$? $T_{1}=y_0...y_{l}\;$
 ?
$T_{2}=z_0...z_{l}\; $
 ?? ?????? ???????? ??????????
$x_{l}=x_1$ ? $y_{l}=y_1$? $z_{l}=z_1$ ? $y_{l-1}=x_2$ ? $z_{l-1}=y_2$.
 ???? 
$i\in \{0, 1, 2\}$?  
$T_{i}^{'}\;$
 ??????? ??? ?????? ????????:
\begin{align*}
\bar{T_{0}^{'}}&=\bar{T_0}-x_2x_1+y_{l-1}y_{l}\\
\bar{T_{1}^{'}}&=\bar{T_1}-y_{l-1}y_{l}-y_{2}y_{1}-y_{1}y_{0}+x_2x_1+z_{l-1}z_{l}+z_1z_0\\
\bar{T_{2}^{'}}&=\bar{T_2}-z_{l-1}z_{l}-z_1z_0+y_{2}y_{1}+y_{1}y_{0}
\end{align*}
(??? ???
  \ref{mp7}
 $ (c) $ ? $ (d)$ 
 ?? ??????). ????????? ???? ??? ??? ???? 
$ k \geqslant 5$.
 ?? ??? ????? 
$T_3T_4 \cdots T_{k-1}$
????????? ?? ???????? ??? ???. ????????? ??????? ???
 $T_{2i+1}\;,\;T_{2i}$
 ?? ????
 $i=2,...,\frac{k-1}{2}$?
 ???????? ?? ???? $k$ ??? ????? ???? ?????? ????? ???????. ?? ??????  
 $\;\mathcal{D}^{*}=\mathcal{D^{''}}-T_0-\ldots T_{k}+T_0^{'}+\ldots T_{k}^{'}\;$
 ?? ??????? $l$-??? ??????? ??? ??? ??????? ?? 
 $\tau(\mathcal{D}^{*})<\tau(\mathcal{D^{''}})$.
 \begin{figure}[H]
 \centering
 \includegraphics[width=0.7\textwidth, height=0.3\textheight]{D://mp7}
 \caption{?? ???? ?????? ?? ?? ??? ?? ????? ????? ???}
 \label{mp7}
 \end{figure}
 ?? ?? ???? ?? ????? ?? ??????? ???? 
 $\tau(\mathcal{D^{''}})$
?????. ????????? 
$\tau(\mathcal{D^{''}})=0$?  
?? ??????
$\mathcal{D^{''}}$
?? $P_{l}-$??????? ?????? ?? ????????. ?????????? ????? ????? ???????.
\end{proof}
?????? ????? ????? ??? ???? ???? ??? ??? ?? ???? ??? ?? ??? 
\ref{Conj13}
 ???? ????????? ?? ??? ????? $l-1$ ?????? ???.